Властивості скалярного твору

Скалярне твір векторів, визначення, властивості

Лінійні операції над векторами.

Вектори, основні поняття, визначення, лінійні операції над ними

Вектором на площині називається впорядкована пара її точок, при цьому перша точка називається початком, а друга кінцем – вектора

Два вектори називаються рівними, якщо вони рівні і сонаправлены.

Вектори, що лежать на одній прямій, називаються сонаправленными якщо вони сонаправленны з одним і тим самим вектором, що не лежать на цій прямій.

Вектори, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними, а колінеарні, але не сонаправленные – протилежно-спрямовані.

Вектори, що лежать на перпендикулярних до прямих, називаються ортогональними.

Визначення 5.4. Сумою a + b векторів a і b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b , якщо початок вектора b збігається з кінцем вектора а .

Визначення 5.5. Різниця а - b векторів а і b називається такий вектор з , який у сумі з вектором b дає вектор а .

Визначення 5.6. Творомk a вектора а на число kназивається вектор b , колінеарний вектор а , що має модуль, що дорівнює | k||a |, та напрямок, що збігається з напрямком | а при k>0 і протилежне а при k<0.

Властивості множення вектора на число:

Властивість 1. k(a + b ) = k a+ k b.

Властивість 2. (k + m)a = k a+ m a.

Властивість 3. k(m a) = (km)a .

Слідство. Якщо ненульові вектори а і b колінеарні, то існує таке число k, що b = k a.

Скалярним твором двох ненульових векторів aі bназивається число (скаляр), що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута φ між ними. Скалярний твір можна позначати різними способами, наприклад, як ab, a · b, (a , b), (a · b). Таким чином, скалярний добуток дорівнює:

a · b = |a| · | b| · cos φ

Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то скалярний добуток дорівнює нулю.

· Властивість перестановки: a · b = b · a(Від перестановки множників скалярне твір не змінюється);

· Властивість розподілу: a · ( b · c) = (a · b) · c(Результат не залежить від порядку множення);

· Властивість поєднання (стосовно скалярного множника): (λ a) · b = λ ( a · b).

· Властивість ортогональності (перпендикулярності): якщо вектора aі bненульові, їх скалярний добуток дорівнює нулю, тільки коли ці вектори ортогональні (перпендикулярні один до одного) a ┴ b;

· Властивість квадрата: a · a = a 2 = |a| 2 (скалярне твори вектора самого із собою дорівнює квадрату його модуля);

· Якщо координати векторів a=(x 1 , y 1 , z 1 ) b=(x 2 , y 2 , z 2 ), то скалярний добуток дорівнює a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Вектор проведення векторів. Визначення: Під векторним твором двох векторів і розуміється вектор, для якого:

Модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого даних векторах, тобто. , де кут між векторами та

Цей вектор перпендикулярний векторам, що перемножуються, тобто.

Якщо вектори неколлінеарні, вони утворюють праву трійку векторів.

Властивості векторного твору:

1.При зміні порядку співмножників векторний твір змінює свій знак зворотний, зберігаючи модуль, тобто.

2 .Векторний квадрат дорівнює нуль-вектору, тобто.

3 .Скалярний множник можна виносити за символ векторного твори, тобто.

4 .Для будь-яких трьох векторів справедлива рівність

5 . Необхідна і достатня умова колінеарності двох векторів і:

Визначення. Векторним твором вектора а (множинне) на колінеарний йому вектор (множник) називається третій вектор з (твір), який будується наступним чином:

1) його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма на рис. 155), побудованого на векторах тобто він дорівнює напрям перпендикулярно площині згаданого паралелограма;

3) при цьому напрям вектора з вибирається (з двох можливих) так, щоб вектори складали праву систему (§ 110).

Позначення: або

Доповнення до визначення. Якщо вектори колінеарні, то фігурі вважаючи її (умовно) паралелограмом, звичайно приписати нульову площу. Тому векторний добуток колінеарних векторів вважається рівним нуль-вектору.

Оскільки нуль-вектор можна приписати будь-який напрям, ця угода не суперечить пунктам 2 і 3 визначення.

Зауваження 1. У терміні «векторний твір» перше слово вказує на те, що результат дії є вектором (на противагу скалярному твору; порівн. § 104, зауваження 1).

Приклад 1. Знайти векторний твір, де основні вектори правої системи координат (рис. 156).

1. Оскільки довжини основних векторів дорівнюють одиниці масштабу, то площа паралелограма (квадрату) чисельно дорівнює одиниці. Отже, модуль векторного добутку дорівнює одиниці.

2. Так як перпендикуляр до площини є ось той шуканий векторний твір є вектор, колінеарний вектор; бо обидва вони мають модуль 1, то шуканий векторний добуток дорівнює або k, або -k.

3. З цих двох можливих векторів треба вибрати перший, так як вектори утворюють праву систему (а вектори ліву).

Приклад 2. Знайти векторний твір

Рішення. Як приклад 1, укладаємо, що вектор дорівнює або k, або -k. Але тепер треба вибрати -k, тому що вектори утворюють праву систему (а вектори ліву). Отже,

Приклад 3. Вектори мають довжини відповідно рівні 80 і 50 см, і утворюють кут 30°. Взявши за одиницю довжини метр, знайти довжину векторного твору

Рішення. Площа паралелограма, побудованого на векторах, дорівнює Довжина шуканого векторного твору дорівнює

Приклад 4. Знайти довжину векторного твору тих самих векторів, взявши за одиницю довжини сантиметр.

Рішення. Оскільки площа паралелограма, побудованого векторах дорівнює то довжина векторного добутку дорівнює 2000 див, тобто.

З порівняння прикладів 3 і 4 видно, що довжина вектора залежить як від довжин сомножителей але й від вибору одиниці довжини.

Фізичний зміст векторного твору.З численних фізичних величин, що зображуються векторним твором, розглянемо лише момент сили.

Нехай А є точка докладання сили Моментом сили щодо точки О називається векторний твір Оскільки модуль цього векторного твору чисельно дорівнює площі паралелограма (рис. 157), то модуль моменту дорівнює добутку основи на висоту, тобто силі, помноженій на відстань від точки О до прямої, вздовж якої діє сила.

У механіці доводиться, що з рівноваги твердого тіла необхідно, щоб дорівнювала нулю як сума векторів , які мають сили, прикладені до тіла, але й сума моментів сил. У тому випадку, коли всі сили паралельні одній площині, складання векторів, що представляють моменти, можна замінити додаванням та відніманням їх модулів. Але за довільних напрямів сил така заміна неможлива. Відповідно до цього векторний добуток визначається саме як вектор, а не як число.

Векторний витвір- це псевдовектор, перпендикулярний до площини, побудованої по двох співмножниках, що є результатом бінарної операції «векторне множення» над векторами в тривимірному Евклідовому просторі. Векторний твір не має властивості комутативності та асоціативності (є антикомутативним) і, на відміну від скалярного твору векторів, є вектором. Широко використовується в багатьох технічних та фізичних додатках. Наприклад, момент імпульсу і сила Лоренца математично записуються як векторного твори. Векторний добуток корисний для «вимірювання» перпендикулярності векторів - модуль векторного добутку двох векторів дорівнює добутку їх модулів, якщо вони перпендикулярні, і зменшується до нуля, якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Визначити векторний твір можна по-різному, і теоретично, у просторі будь-якої розмірності n можна обчислити твір n-1 векторів, отримавши у своїй єдиний вектор, перпендикулярний до них всім. Але якщо твір обмежити нетривіальними бінарними творами з векторними результатами, то традиційний векторний твір визначено лише у тривимірному та семимірному просторах. Результат векторного твору, як і скалярного, залежить від метрики Евклідова простору.

На відміну від формули для обчислення за координатами векторів скалярного добутку у тривимірній прямокутній системі координат, формула для векторного добутку залежить від орієнтації прямокутної системи координат або, інакше, її «хіральності».

Визначення:
Векторним добутком вектора a вектор b у просторі R 3 називається вектор c , що задовольняє наступним вимогам:
довжина вектора c дорівнює добутку довжин векторів a і b на синус кута між ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогональний кожному з векторів a і b;
вектор c спрямований так, що трійка векторів abc є правою;
у разі простору R7 потрібна асоціативність трійки векторів a, b, c.
Позначення:
c===a × b

Мал. 1. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного твору

Геометричні властивості векторного твору:
Необхідною та достатньою умовою колінеарності двох ненульових векторів є рівність нуля їхнього векторного твору.

Модуль векторного твору дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах aі b(Див. рис.1).

Якщо e- одиничний вектор, ортогональний вектор aі bі вибраний так, що трійка a,b,e- права, а S- площа паралелограма, побудованого на них (наведених до загального початку), то для векторного твору справедлива формула:
=S e

Рис.2. Об'єм паралелепіпеда при використанні векторного та скалярного добутку векторів; пунктирні лінії показують проекції вектора c на a × b та вектора a на b × c, першим кроком є ​​знаходження скалярних творів

Якщо c- якийсь вектор, π - будь-яка площина, що містить цей вектор, e- одиничний вектор, що лежить у площині π та ортогональний до c,g- одиничний вектор, ортогональний до площини π і спрямований так, що трійка векторів ecgє правою, то для будь-кого, хто лежить у площині π вектора aсправедлива формула:
=Pr e a |c|g
де Pr e a векторна проекція e на a
|c|-модуль вектора

При використанні векторного та скалярного творів можна вирахувати обсяг паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах a, bі c. Таке твір трьох векторів називається змішаним.
V=|a (b×c)|
На малюнку показано, що цей обсяг може бути знайдений двома способами: геометричний результат зберігається навіть при заміні «скалярного» та «векторного» творів місцями:
V=a×b c=a b×c

Величина векторного твору залежить від синуса кута між початковими векторами, тому векторний твір може сприйматися як ступінь перпендикулярності векторів так само, як і скалярний твір може розглядатися як ступінь паралельності. Векторний добуток двох одиничних векторів дорівнює 1 (поодинокому вектору), якщо початкові вектори перпендикулярні, і дорівнює 0 (нульовому вектору), якщо вектори паралельні або антипаралельні.

Вираз для векторного твору в декартових координатах
Якщо два вектори aі bвизначені своїми прямокутними декартовими координатами, а точніше кажучи - представлені в ортонормованому базисі
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
а система координат права, то їхній векторний твір має вигляд
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запам'ятовування цієї формули:
i = ∑ε ijk a j b k
де ε ijk- символ Леві-Чівіти.

7.1. Визначення векторного твору

Три некомпланарних вектори a, b і с, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця третього вектора з найкоротший поворот від першого вектора а до другого вектора b видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки, і ліву, якщо за годинниковою (див. рис. 16).

Векторним добутком вектора на вектор b називається вектор з , який:

1. Перпендикулярний векторам a і b, тобто з ^ а і с ^ b;

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах а іbяк у сторонах (див. рис. 17), тобто.

3. Вектори a, b і з утворюють праву трійку.

Векторний твір позначається а х b або [а, b]. З визначення векторного твору безпосередньо випливають такі співвідношення між ортами i , jі k(див. рис. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Доведемо, наприклад, що i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, але | i x j| = | i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j та kутворюють праву трійку (рис. 16).

7.2. Властивості векторного твору

1. При перестановці співмножників векторне твір змінює знак, тобто. а хb = (b хa) (див. рис. 19).

Вектори а хb і b ха колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки а, b, а хb і a, b, b x a протилежної орієнтації). Стало бути a xb = -(b xa).

2. Векторний твір має поєднану властивість щодо скалярного множника, тобто l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Нехай l>0. Вектор l (а хb) перпендикулярний векторам а та b. Вектор ( lа) х bтакож перпендикулярний векторам а і b(Вектори а, lа лежать у одній площині). Значить, вектори l(а хb) та ( lа) х bколінеарні. Очевидно, що й напрямки збігаються. Мають однакову довжину:

Тому l(a хb) = lа хb. Аналогічно доводиться при l<0.

3. Два ненульові вектори а і bколінеарні тоді й тільки тоді, коли їхній векторний твір дорівнює нульовому вектору, тобто а ||b<=>а хb = 0.

Зокрема, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторний твір має розподільну властивість:

(a + b )хс = а хс + bхс.

Приймемо без підтвердження.

7.3. Вираз векторного твору через координати

Ми будемо використовувати таблицю векторного твору векторів i , jі k:

якщо напрям найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то добуток дорівнює третьому вектору, а то й збігається - третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори а = а х i + a y j+a z kі b = b x i+b y j+b z k. Знайдемо векторний твір цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (відповідно до властивостей векторного твору):

Отриману формулу можна записати ще коротше:

оскільки права частина рівності (7.1) відповідає розкладу визначника третього порядку за елементами першого рядка.Рівність (7.2) легко запам'ятовується.

7.4. Деякі програми векторного твору

Встановлення колінеарності векторів

Знаходження площі паралелограма та трикутника

Згідно з визначенням векторного твору векторів аі b |а хb | =|а | * | b | sin g, т. е. S пар = | а x b |. І, отже, D S = 1/2 | а х b |

Визначення моменту сили щодо точки

Нехай у точці А прикладена сила F = АВі нехай Про- Деяка точка простору (див. рис. 20).

З фізики відомо, що моментом сили F щодо точки Проназивається вектор М,який проходить через точку Прота:

1) перпендикулярний площині, що проходить через точки О, А, В;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами ОА та A .

Отже, М = ОА х F .

Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість vточки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю wнавколо нерухомої осі визначається формулою Ейлера v = w хr , де r = ОМ , де О-деяка нерухома точка осі (див. рис. 21).

Визначення. Векторним добутком вектора а на вектор b називається вектор, що позначається символом [«, Ь] (або л х Ь), такий, що 1) довжина вектора [а, b] дорівнює (р, де у - кут між векторами а і b ( 2) вектор [а, Ь) перпендикулярний векторам а і Ь, тобто. перпендикулярний площині цих векторів; 3) вектор [а, Ь] спрямований так, що з кінця цього вектора найкоротший поворот від а до b видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 32). Мал. 32 Рис.31 Інакше кажучи, вектори a, b і [а,Ь) утворюють праву трійку векторів, тобто. розташовані так, як великий, вказівний та середній пальці правої руки. У випадку, якщо вектори а і b колінеарні, вважатимемо, що [а, Ь] = 0. За визначенням довжина векторного твору чисельно дорівнює площі Sa паралелограма (рис. 33), побудованого на векторах, що перемножуються, а і b як на сторонах: 6.1 . Властивості векторного твору 1. Векторний добуток дорівнює нульовому вектору тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів, що перемножуються, є нульовим або коли ці вектори колінеарні (якщо вектори а і b колінеарні, то кут між ними дорівнює або 0, або 7г). Це легко отримати з того, що Якщо вважати нульовим вектором колінсарним будь-якому вектору, то умова колінеарності векторів а і b можна виразити так 2. Векторний твір антикоммутативно, тобто завжди. Справді, вектори (а, Ь) мають однакову довжину і коллинеарны. Напрямки цих векторів протилежні, оскільки з кінця вектора [а, Ь] найкоротший поворот від а до b буде видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки, а з кінця вектора [Ь, а] - за годинниковою стрілкою (рис. 34). 3. Векторний добуток має розподільну властивість по відношенню до додавання 4. Числовий множник Л можна виносити за знак векторного добутку 6.2. Векторний добуток векторів, заданих координатами Нехай вектори а та Ь задані своїми координатами в базисі. Користуючись розподільчою властивістю векторного твору, знаходимо векторний добуток заданих координатами. Змішаний твір. Випишемо векторні твори координатних ортів (рис. 35): Тому для векторного твору векторів а і b отримуємо з формули (3) наступний вираз Формулу (4) можна записати в символічній формі, що легко запам'ятовується, якщо скористатися визначником 3-го порядку: Розкладаючи цей визначник за елементами 1-го рядка, отримаємо (4). приклади. 1. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах Шукана площа Тому знаходимо = звідки 2. Знайти площу трикутника (рис. 36). Зрозуміло, що площа б"д трикутника ВАТ дорівнює половині площі S паралелограма О АС В. Обчислюючи векторний твір (а, Ь| векторів а = OA і b = оЪ, отримуємо Звідси Зауваження. Векторний твір не асоціативно, тобто рівність ( (а, Ь),с) = [а, |Ь,с)) неправильно, наприклад, при а = ss j маємо § 7. Змішаний добуток векторів Нехай маємо три вектори а, Ь і с. і 1> скторно.В результаті отримаємо вектор [а, 1>].Помножимо його скалярно на вектор з: (к Ь), с) Число ([а, Ь], е) називається змішаним твором векторів а, Ь. і позначається символом (а, 1), е) 7.1 Геометричний зміст змішаного твору Відкладемо вектори а, b і з точки О (рис. 37) Якщо всі чотири точки О, А, В, С лежать в одній площині ( вектори a, b і с називаються в цьому випадку компланарними), то змішане твір ([а, Ь], с) = 0. Це випливає з того, що вектор [а, Ь|перпендикулярний площині, в якій лежать вектори а і 1 », а значить, і вектору с./ Якщо ж т окуляри О, А, В, С не лежать в одній плоскості (вектори a, b і з некомпланарні), побудуємо на ребрах OA, OB та ОС паралелепіпед (рис. 38 а). За визначенням векторного твору маємо (a,b) = So с, де So - площа паралелограма OADB, а с - одиничний вектор, перпендикулярний векторам а і Ь і такий, що трійка а, Ь, с - права, тобто. вектори a, b і з розташовані відповідно як великий, вказівний та середній пальці правої руки (рис. 38 б). Помножуючи обидві частини останньої рівності справа скалярно на вектор, отримуємо, що векторний добуток векторів заданих координатами. Змішаний твір. Число ргс дорівнює висоті h побудованого паралелепіпеда, взятого зі знаком «+», якщо кут між векторами с і з гострий (трійка а, Ь, с - права), і зі знаком «-», якщо кут - тупий (трійка а, Ь, с - ліва), так що Тим самим змішаний добуток векторів а, Ь і з дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах, якщо трійка а, Ъ, с - права, і -V, якщо трійка а , Ь, з - ліва. Виходячи з геометричного сенсу змішаного твору, можна зробити висновок, що, перемножуючи тс ж вектори a, b і з будь-якому іншому порядку, ми завжди будемо отримувати або +7, або -К. Знак произ- Рис. 38 ведення залежатиме лише від того, яку трійку утворюють вектори, що перемножуються, - праву або ліву. Якщо вектори а, Ь, утворюють праву трійку, то правими будуть також трійки Ь, с, а і с, а, Ь. У той самий час всі три трійки Ь, а, з; а, с, Ь і с, Ь, а – ліві. Тим самим, (а,Ь, с) = (Ь,с, а) = (с,а,Ь) = -(Ь,а,с) = -(а,с,Ь) = -(с,Ь а). Ще раз підкреслимо, що змішаний добуток векторів дорівнює нулю тоді тільки тоді, коли перемножуються вектори а, Ь, з компланарні: (а, Ь, з компланарні) 7.2. Змішаний добуток у координатах Нехай вектори а, Ь, з заданими своїми координатами в базисі i, j, k: а = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (х3, уз,23). Знайдемо вираз для їхнього змішаного твору (а, Ь, с). Маємо змішаний добуток векторів, заданих своїми координатами в базисі i, J, до, дорівнює визначнику третього порядку, рядки якого складені відповідно з координат першого, другого та третього з векторів, що перемножуються. Необхідна і достатня умова компланарності векторів а у \, Z |), b = (х У2. 22), з = (жз, уз, 23) запишеться в наступному вигляді У | z, аг2 у2 -2 = 0. Приклад. Перевірити, чи є компланарними вектори „ = (7,4,6), Ь = (2, 1,1), с = (19, II, 17). Вектори, що розглядаються, будуть компланарні або некомпланарні в залежності від того, дорівнюватиме нулю чи ні визначник Розкладаючи його за елементами першого рядка, отримаємо Д = 7- 6- 4- 15 + 6-3 = 0^- вектори n, Ь, з компланарними. 7.3. Подвійний векторний подвійний подвійний векторний добуток [а, [Ь, с]] являє собою вектор, перпендикулярний до векторів а і [Ь, с]. Тому він лежить у площині векторів b і с і може бути розкладений цим векторам. Можна показати, що справедлива формула [а, [!>, с]] = Ь(а, е) - с(а, Ь). Вправи 1. Три вектори АВ = с, Ж? = про СА = b служать сторонами трикутника. Виразити через a, b і вектори, що збігаються з медіанами AM, DN, CP трикутника. 2. Якою умовою мають бути пов'язані вектори р і q, щоб вектор р + q ділив кут між ними навпіл? Передбачається, що всі три вектори віднесені до загального початку. 3. Обчисліть довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах а = 5р + 2q та b = р - 3q, якщо відомо, що | р | = 2v/2, | q | = 3 H-(p7ci) = f. 4. Позначивши через а та b сторони ромба, що виходять із загальної вершини, доведіть, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. 5. Обчисліть скалярний добуток векторів а = 4i + 7j + 3k та b = 31 - 5j + k. 6. Знайдіть одиничний вектор а0, паралельний вектору а = (6, 7, -6). 7. Знайдіть проекцію вектора a = l + j-kHa вектор b = 21 - j - 3k. 8. Знайдіть косинус кута між векторами IS «ж, якщо А(-4,0,4), В(-1,6,7), С(1,10.9). 9. Знайдіть одиничний вектор р°, одночасно перпендикулярний вектору а = (3, 6, 8) та осі Ох. 10. Обчисліть синус кута між діагоналями паралелофама, побудованого на векторах a = 2i+J-k, b=i-3j + k як на сторонах. Обчисліть висоту h паралелепіпеда, побудованого на векторах а = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, якщо за основу взято паралелограм, побудований на векторах а та I). Відповіді