Moć skalarnog stvaranja

Skalarni tv_r vektori, vrijednost, snaga

Linearne operacije nad vektorima.

Vektori, osnovno razumijevanje, vizualizacija, linearne operacije nad njima

Vektor na kvadratu naziva se uređenim parom točaka, istovremeno se točka naziva kob, a drugi kraj je vektor

Dva vektora nazivaju se rivni, jer su smradovi rívní i poravnati.

Vektori, koji leže na jednoj pravoj liniji, nazivaju se kosmjernim, jer su smradovi kosmjerni s jednim te istim vektorom, ali ne leže na istoj pravoj liniji.

Vektori, koji leže na jednoj pravoj liniji ili na paralelnim ravnim linijama, nazivaju se kolinearni, a kolinearni, iako nisu kosmjerni, nazivaju se protilno ravni.

Vektori koji leže okomito na ravne linije nazivaju se ortogonalnimi.

Poslovna vrijednost 5.4. Sumyu a + b vektor a і b nazvati vektorom, od klipa vektora a na kraju vektora b vektor klipa b riješite se kraja vektora a .

Vrijednost poslovanja 5.5. Riznytsia a - b vektor a і b nazvati takvim vektorom s , kao zbroj s vektorom b da vektor a .

Vrijednost poslovanja 5.6. Svježi sirk a vektor a po broju k nazvati vektorom b , kolinearni vektor a , scho maê modul, scho dorívnyuê | k||a |, to ravno, scho zbígaêtsya s ravno | a na k> 0 i više a na k<0.

Moć množenja vektora brojem:

Snaga 1. k (a + b ) = k a+ k b.

Snaga 2. (k + m)a = k a+ m a.

Snaga 3. k (m a) = (km)a .

Slidstvo. Iaksho ne-null vektori a і b kolinear, zatim i broj k, scho b = k a.

Skalarni umnožak dva vektora različita od nule aі b Broj (skalar) naziva se broj (skalar) koji može dodati veći broj vektora kosinusu reza φ između njih. Skalarni tvir može se definirati na različite načine, na primjer, jak ab, a · b, (a , b), (a · b). U takvom rangu, skalarni dodaci:

a · b = |a| · | b| Cos φ

Ako želite da jedan od vektora ide na nulu, tada mu skalarni zbroj ide na nulu.

Permutacija snage: a · b = b · a(Zbog permutacije množitelja u skalarnom twir-u se ne mijenja);

Snaga rozpodila: a · ( b · c) = (a · b) · c(Rezultat nije po redu veličine);

Snaga po jedinici (100% skalarni množitelj): (λ a) · b = λ ( a · b).

Moć ortogonalnosti (okomitosti): kao vektori aі b ne-null, njihov skalarni dodatak nuli, samo ako su vektori ortogonalni (okomiti jedan prema jedan) a ┴ b;

Snaga kvadrata: a · a = a 2 = |a| 2 (skalarno kreirati vektore od sebe do kvadrata modula);

Koordinate vektora a= (x 1, y 1, z 1) b= (x 2, y 2, z 2), zatim skalarni dodatak na vrata a · b= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Vektorski vektori. Viznachennya: za vektorski kreativ dva vektora i vektor, za koji:

Modul prostora paralelograma, potaknut zadanim vektorima, tobto. , de cut mízh vektori ma

Tsey je vektor okomit na vektore, koji se mogu množiti, tobto.

Kako vektori nisu kolinearni, smrad postavlja prava tri vektora.

Moć stvaranja vektora:

1.Prilikom promjene redoslijeda množitelja, vektorski signal se mijenja, zvorotny znak, modul se sprema, tobto.

2 .Vektor kvadrat na nulti vektor, tobto.

3 Skalarni množitelj se može koristiti za simbol kreiranja vektora, tobto.

4 .Za bilo koja tri vektora jednakost je pravedna

5 ... Postoji potreba i dovoljna inteligencija za kolinearnost dvaju vektora:

Viznachennya. Vektorski umnožak vektora a (množenje) na kolinearni vektor (množitelj) naziva se treći vektor z (tvir), koji će biti sljedeći rang:

1) modul brojčano velika površina paralelograma na sl. 155), naveden na vektorima da budu u vratima izravno okomito na područje nagađanog paralelograma;

3) pri određenom naponu vektora z vibriraju (od dva moguća) tako da vektor tvori pravi sustav (§ 110).

Oznaka: abo

Nadogradite na viznachennya. Ako je vektor kolinearan, onda su figure vvazhayuchi (pametno) s paralelogramom, treba ga pripisati nultom području. Za to se koristi vektorsko zbrajanje kolinearnih vektora jednako nultom vektoru.

Oscilacije nultog vektora mogu se pripisati ili izravno, kako se ne bi zanemarile točke 2 i 3 vrijednosti.

Poštovanje 1. U izrazu "vektorski tvir", prva riječ se primjenjuje na one čiji je rezultat vektor (za razliku od skalarnog stvaranja; povremeno § 104, poštovan 1).

Primjena 1. Poznajte vektor tvir, de glavni vektor desnog koordinatnog sustava (sl. 156).

1. Oscilacije glavnih vektora u istom mjerilu, tada je površina paralelograma (kvadrata) brojčano u istom mjerilu. Otzhe, modul vektorske dodatne jedinice od vrata do vrata.

2. Dakle yak okomito na područje ê os tog vektora vrtloga tvir ê vektor, kolinearni vektor; ako je prekršaj smrdljiv modul 1, tada vektor shukaniy dodaje vratima, ili k, ili -k.

3. Tri cich dva moguća vektora treba vibrirati, tako da će vektor postaviti pravi sustav (a vektor će biti lijevi).

Dodatak 2. Poznavati vektor tvir

Odluka. Yak stražnjica 1, postavljanje, scho vektor dorívnyuê ili k, ili -k. Ale sada, trebate vibrirati -k, tako da će vektor postaviti sustav udesno (a vektor će biti lijevo). otzhe,

Butt 3. Vektori mogu biti jednaki 80 i 50 cm, i postaviti rez na 30 °. Uzimajući metar za jednu jedinicu, znajte stvaranje vektora

Odluka. Područje paralelograma, potaknuto vektorima, do Dovzhinovog shukany vektora do stvaranja, do

Primjena 4. Da biste spoznali genijalnost vektora, sami vektori su tihi, uzimajući centimetar kao jednu jedinicu.

Odluka. Oscilacije površine paralelograma, izazvane vektorima vektora, zatim vektora vektora, 2000 divs, tobto.

Od 3 do 4 može se vidjeti da je vektor jednak jednom od faktora jedan drugog.

Fizički zmist stvaranja vektora. Tri numeričke fizičke veličine, koje se mogu vizualizirati kao vektorski proizvod, izgubit će moment sile.

Nekhai A ê točka predstavljanja sile ili Moment sile iz točke O naziva se vektor tvir Oskilke, modul ovog vektorskog stvaranja je brojčano značajan za područje paralelograma (slika 157), zatim modul moment se dodaje momentu na temelju visine, tako da se bodovi množe na svu veliku snagu.

Potrebno je da ga mehanika dovede na razinu čvrste čvrstoće, tako da postoje nulti vektori, koji mogu biti jaki, aplicirani do trenutka snage. U ovom slučaju, ako su sve sile paralelne s istim područjem, preklapajući vektori, možete zamisliti trenutke, možete zamijeniti dodatne i specifične module. Ale za jaka naprezanja sila, takva je zamjena neugodna. Zapravo, sama vektorska stavka počinje samim vektorom, a ne brojem vektora.

Vectorniy vitvir- cijeli pseudovektor, okomit na područje, potaknut s dva množitelja, što je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trivijalnom euklidskom prostoru. Vektor tvir nije potencija komutativnog i asocijativnog (ê antikomutativnog) í, s obzirom na skalarne vektorske vektore, ê vektor. Veliki pobjednik u bagatokh tehničkim i fizičkim dodacima. Na primjer, moment pulsa i Lorentzova sila matematički su zapisani kao vektor stvaranja. Vektorski dodatak je cimet za "vizualizaciju" okomitosti vektora - modul vektorskog dodatka od dva vektora do vrata dodatka, jer smrdi okomito, i mijenja se na nulu, kako je vektor paralelno ili antiparalelno.

Vizualno, vektorski TV se može koristiti na jednostavan način, a teoretski, na otvorenom prostoru, bez obzira da li postoji neka dimenzija n, moguće je izračunati broj n-1 vektora, uklonivši iz vlastitog jedan vektor, koji je okomita na sve njih. Ako je tvir okružen netrivijalnim binarnim kreacijama s vektorskim rezultatima, tada je tradicionalni vektorski tvir zamišljen da bude lišen trivijalnih i sedmodimenzionalnih prostora. Rezultat stvaranja vektora, poput skalarnog, leži u euklidskom metričkom prostoru.

Na temelju formula za izračunavanje koordinata vektora skalarnog dodatka u trivijalnim pravokutnim koordinatnim sustavima, formula za vektorski dodatak je u obliku organizacije pravokutnog koordinatnog sustava abo, innax, í̈ "kiralnost".

Viznachennya:
Vektorski zbroj vektora a vektora b u prostoru R 3 naziva se vektor c, tako da rado zakoračimo u vimogam:
dodatna generacija vektora c dodatna dodatna generacija vektora a i b po sinusnoj kuti između njih:
| c | = | a || b | sin φ;
vektor c ortogonan na kožni z vektori a í b;
vektor c konjugacija tako da postoje tri vektora abc ê desno;
za prostor R7 potrebna je asocijativnost tri vektora a, b, c.
Oznaka:
c === a × b

Mali. 1. Područje paralelograma ide na modul stvaranja vektora

Geometrijska moć stvaranja vektora:
Potreba za tom dovoljnom mentalnom kolinearnošću dva vektora različita od nule je jednakost nule vektorskog vektora istom.

Vektorski tvoru modul cestovno područje S paralelogram induciran vektorima svedenim na klip aі b(Div. Slika 1).

Yaksho e- jednostruki vektor, ortogonalni vektor aі b a vibracije pa, kakva trika a, b, e- prava, i S- područje paralelograma, koje se na njima pojavi (pokazuje na klip), tada je formula vrijedi za kreiranje vektora:
= S e

sl. 2. Ob'êm paralelepiped s vicoristann_ vektora i skalarno zbrajanje vektora; isprekidane linije pokazuju projekciju vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvo heklanje je značenje skalarnih tvorevina

Yaksho c je vektor, π - be-yaka ravnost, kako se osvetiti vektoru, e- jedan vektor, koji se nalazi u blizini područja π ta ortogonalno na c, g- jednostruki vektor, ortogonan na površinu π i konjugacije tako da postoje tri vektora ekgê pravo, onda za nekoga, hto ležati uz područje π vektor a formula vrijedi:
= Pr e a | c | g
de Pr e a je vektorska projekcija e na a
| c | -modul vektora

Uz viktorijanski vektor i skalarnu kreaciju, moguće je virahuvati obsyag paraleleped, potaknut vektorima svedenim na klip a, bі c... Također, tri vektora nazivaju se zmishanim.
V = | a (b × c) |
Na malom je pokazano da postoje dva načina kako se znati komunicirati: geometrijski rezultat može se spremiti zamjenom "skalarne" i "vektorske" kreacije pomoću:
V = a × b c = a b × c

Veličina vektora treba ležati na sinusu reza između vektora cob, tako da se vektor može vidjeti kao koraci okomitosti vektora, kao i skalar kao koraci paralelizma. Vektorsko zbrajanje dvaju pojedinačnih vektora na cesti 1 (jedan vektor), oba vektora cob su okomita, a cesta je 0 (nulti vektor), oba vektora su paralelna ili antiparalelna.

Viraz za vektorsku tvoru u kartezijanskim koordinatama
Yaksho dva vektora aі b vrijednosti po njihovim pravokutnim kartezijanskim koordinatama, točnije, očito, predstavljene u ortonormalnoj bazi
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
a koordinatni sustav je ispravan, tada njihov vektor tvír maê viglyad
= (a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
Da zapamtite formulu:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- simbol Levi-Chiviti.

7.1. Vrijednost stvaranja vektora

Tri nekoplanarna vektora a, b í s, uzeta navedenim redoslijedom, uspostavljaju pravi tropravac, jer od kraja trećeg vektora od najkraće rotacije od prvog vektora a do drugog vektora b možete vidjeti da idemo protiv div. sl. 16).

Vektorsko dodavanje vektora vektoru b naziva se vektor z, a to je:

1. Okomito na vektore a í b, tobto s ^ a í s ^ b;

2. Ma dovzhin, brojčano jednak površini paralelograma, potaknut je na vektore a ib jak na stranama (div. sl. 17), tobto.

3. Vektori a, b í s potvrđuju desnu od tri.

Vektor twir označava se a x b abo [a, b]. Od vrijednosti vektora do stvaranja bez a priori vyplivayut takve spivvidnoshennya mízh orami i, jі k(div. sl. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Donio vam je, na primjer, scho i hj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, ale | i x j| = | ja | | J | sin (90°) = 1;

3) vektori i, j su k odobriti desnu trojicu (sl. 16).

7.2. Moć stvaranja vektora

1. Kod preuređivanja množitelja u vektoru nema predznaka, tobto. a hb = (b ha) (div. sl. 19).

Vektori a xb í b su kolinearni, mogu biti istih modula (područje paralelograma postaje nevažno), ali su također dugotrajno ispravljeni (tris a, b, a xb í a, b, bxa su prototipno orijentiran). Postao čizma a xb = -(b xa).

2. Moći vektora možemo dati snagu skalarnog množitelja, tako da je l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Hajde l> 0. Vektor l (a xb) okomit na vektore a i b. Vektor ( l a) x b također okomito na vektore a i b(Vektor a, l i leže u blizini jednog područja). Dakle vektorski l(a xb) ma ( l a) x b kolinearna. Očito, ne ide ravno. Neka ista večera:

Tom l(a hb) = l a xb. Slično treba izvijestiti kada l<0.

3. Dva nenulta vektora a i b kolinearni todi i samo todi, ako vektor tvir ide u nulti vektor, pa a || b<=>a xb = 0.

Zokrem, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorska snaga se razlikuje od snage:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Prihvatljivo bez potvrde.

7.3. Viraz vektor tvoru kroz koordinate

Koristit ćemo tablicu vektora stvaranja vektora i u i, j ja k:

Ako idemo ravno od prvog vektora do drugog, idemo ravno kroz strelice, zatim idemo do trećeg vektora, a zatim idemo do trećeg vektora – treći vektor se uzima iz znaka minus.

Nemojte dati dva vektora a = a x i + a y j+ a z kí b = b x i+ b y j+ b z k... Poznato je da se vektor twir vektora množi s vektorom okretanja (ovisno o snazi ​​vektora):

Otrimanova formula može se napisati u kraćem obliku:

Oscilacije prava dijela jednakosti (7.1) dovest će do raspodjele nositelja kartice trećeg reda za elemente prvog reda Paritet (7.2) se lako pamti.

7.4. Kreiranje vektora programa Deyaki

Umetanje kolinearnosti vektora

Značajna površina paralelograma i tricikla

Dobro je znati vrijednosti vektorskih vektora a ja b | a xb | =| a | * | b | sin g, odnosno S parova = | a x b |. Í, također, D S = 1/2 | a x b |

Vrijednost trenutka snage ili točke

Neka sila djeluje na točku A F = ABí ne Oko- Deyaka pokazuju na prostor (div. sl. 20).

Z fiziki vidomo, scho trenutak snage F shodo bodova Oko nazvati vektorom M, kako proći kroz točku Oko da:

1) okomito na područje, prođite kroz točke O, A, B;

2) brojčano, dodatna snaga na ramenu

3) Provjeravam tri desna od vektora OA i A.

Otzhe, M = OA x F.

Značajna loza shvidkosti omatanje

Ubrzati v točke M čvrstog tijela, koje se može umotati u kocku shvidkistyu w U blizini nestabilne osi, počinje s Eulerovom formulom v = w xr, de r = OM, de O-deyaka točka osi je neposlušna (div. sl. 21).

Viznachennya. Vektorski dodatak vektora a vektoru b naziva se vektor, koji je označen simbolom [α, b] (abo lxb), kao što je 1) duljina vektora [a, b] dorívnyuê (p, de u - kut mízh vektora a i b (2) vektor [a, b) okomit je na vektore a í b, tj. okomite površine vektora; 3) vektor [a, b] ravnanja tako da se s kraja vektora vidi najkraći zavoj od a do b kada vidimo suprotnu strelicu (slika 32). Mali. 32 Slika 31 Iz nekog razloga vektori a, b i [a, b) postavljaju prava tri vektora, tako da. roztashovani tako, kao velik, vz_vny taj srednji prst desne ruke. Pri dnu, ako su vektori a i b kolinearni, važno je da je [a, b] = 0. Zbog vrijednosti vektora, vektorski dizajn brojčano zaslužuje površinu Sa paralelograma (slika 33), inducirano na vektore da se množe, a stranice i b kao: 6.1. Moć stvaranja vektora 1. Vektorski dodaci nultom vektoru su todi i samo onima, ako se uzme jedan od vektora, koji se množi, ê je nula, ako su vektori kolinearni (kao da su vektori oba, a oni su višestruko)... Lako je pogriješiti jer ako koristite nulti vektor da bude kolinearan bilo kojem vektoru, onda ako imate kolinearnost vektora a i b, možete ga promijeniti ovako 2. Vektor TV je antikomutativan, tako da je uvijek. Istina, vektori (a, b) mogu biti kolinearni na isti način. Ravne linije vektora u suprotnim, krhotine s kraja vektora [a, b], najkraći zavoj od a do b će se vidjeti kada se vidi suprotna strelica, a od kraja vektora [b, a] - iza crte godine 34). 3. Vektorski dodatak može se pripisati distribuciji prije datuma 4. Brojčani množitelj A može se koristiti za predznak vektorskog dodatka 6.2. Vektorsko zbrajanje vektora, specificiranih koordinatama Hex vektora i i b, specificiranih njihovim koordinatama u bazi. Nagrizaju snagu vektora na stvaranje, znamo vektorske dodatke zadanih koordinata. Zmíshany tvír. Kreirajte vektorske koordinate (Sl. 35): Za vektorski vektor, vektori a i b mogu se prepoznati iz formule (3) ofenzivni viraz. : Rasklopite držač kartice iza elemenata 1. reda, možete ga napraviti ( 4). stavi ga. 1. Znati površinu paralelograma, podstaknuto na vektorima područja Shukan. To je poznato = zvijezde 2. Znati površinu trikota (Sl. 36). Zrozumílo, scho područje b "d tricikl BAT cesta polovica površine S paralelograma O AS V. Brojna vektorska tijela (a, b | vektori a = OA í b = ob, razumljivo je. Vrlo važno. , za a = ss j maêmo § 7. Svaka promjena vektora Nehai maêmo tri vektora a, b í s. U rezultatu možemo izvesti vektor [a, 1>]. Pomnožimo ga skalarno s vektorom z: (kb), c) Broj ([a, b], e) naziva se promjena vektora u a, b. označeno simbolom (a, 1), e) 7.1 Geometrijska promjena do razlike do stvaranja U odnosu na vektor a, b iz točke O (slika 37) Kako sve točke O, A, B, C leže u iste površine (vektori a, b í s se općenito nazivaju komplanarni), tada je promjena tvir ([a, b], c) = 0. To znači da je vektor [a, b | , í na vektor s. / Yaksho i t okulari O, A, B, C ne leže u istoj ravnini (vektori a, b i s nekoplanarni), bit će na rubovima OA, OB i OS paralelepipeda (slika 38 a) . Za vrijednosti stvaranja vektora, maêmo (a, b) = So c, de So je površina paralelograma OADB, a c je jedan vektor okomit na vektore a í b í takav da je triika a , b, c su u pravu, tako da. vektori a, b í í í í í je da je to sjajno, da je srednji prst οdesne ruke (slika 38 b). Pomnožite prekršaj dijela preostale jednakosti na desnoj strani skalarno s vektorom; Zmíshany tvír. Broj prc pretežno h pozvanog paralelepipeda, uzet znakom "+", kao rez između vektora sa je domaćin (tri a, b, c - desno), í je znak "-", kao rez je glup (tri a, b , c - liv), pa Tim sam mijenja vektore a, b i z na volumen V paralelepipeda, potaknut na cix vektore yak na rubovima, kao tri a, b, c - desno , i -V, kao tri a , B, h - liva. Iz geometrijskog smisla zabrljane kreacije, možete stvoriti uzorak, ali vektori a, b i pomnoženi bilo kojim redoslijedom, uvijek ćemo izrezati ili +7, ili -K. Simbol je sl. 38 nećemo ga moći položiti zbog činjenice da se tri seta vektora množe - ispravno ili ne. Ako vektori a, b potvrde prava tri, tada će tri retka b, c, a i c, a, b također biti ispravne. U tom času, tri su trojke b, a, h; a, c, b i c, b, a - livi. Tim sam, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b a). Još jednom, prihvatljivo je da nema dodatnih vektora na cesti samo ako se vektori a, b, s koplanarni ne pomnože: (a, b, z koplanarni) 7. 2. Promjena sabiraka u Hexai koordinatama vektora a, b, z date njegove koordinate u bazi i, j, k: a = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (x3, uz, 23). Viraz znamo za zlo stvorenje (a, b, c). Množe se mnoge promjene vektora, zadane njihovim koordinatama u bazi i, J, trećem redu, čiji su redovi presavijeni prema koordinatama prvog, drugog i trećeg iz vektora. Potrebno je i dovoljno u smislu komplanarnosti vektora a y \, Z |), b = (x Y2. 22), z = (zh, uz, 23) zabilježiti u uvredljivom pogledu na Y | z, a2 y2 -2 = 0. App. Revizija, gdje je koplanarni vektori „= (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17). Vektor koji se promatra bit će komplanaran ili nekoplanaran u ugari zbog činjenice da nije dostupan za prvi red.complanar. 7.3. Podvektorski pod-podvektorski dodatak [a, [b, c]] je vektor okomit na vektore a í [b, c]. To bi trebalo ležati na području vektora b i sa i može se smjestiti u vektore. Može se pokazati da vrijedi formula [a, [!>, C]] = b (a, e) - c (a, b). Desno 1. Tri vektora AB = c, F? = oko CA = b služiti kao stranice trikota. Viraziti kroz a, b í vektore, koji su prikazani s medijanima AM, DN, CP tricikla. 2. Kako mogu reći da ću vezati vektore p i q, a zatim vektor p + q dliv kut između njih navpil? Prenosi se, sva tri vektora dovode se do zalnog klipa. 3. Brojite do gina dijagonala paralelograma induciranih na vektorima a = 5p + 2q i b = p - 3q, ako je vidomo, tko | p | = 2v / 2, | q | = 3 H-(p7ci) = f. 4. Nakon što smo označili stranice romba kroz a da b, izlaze iz vanjskog vrha, dovedi dijagonalu romba međusobno okomito. 5. Izračunajte skalarno zbrajanje vektora a = 4i + 7j + 3k i b = 31 - 5j + k. 6. Poznajte jedan vektor a0, paralelan s vektorom a = (6, 7, -6). 7. Znati projekciju vektora a = l + j-kHa vektora b = 21 - j - 3k. 8. Znati kosinus reza između vektora IS «w, gdje je A (-4,0,4), B (-1,6,7), C (1,10.9). 9. Poznajte jedan vektor p °, jedan sat okomit na vektor a = (3, 6, 8) i os Ox. 10. Izbrojite sinus reza između dijagonala paralelofama induciranog na vektorima a = 2i + J-k, b = i-3j + k yak na stranicama. Izračunajte visinu h paralelepipeda, potaknutog na vektorima a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, kada se paralelogram uzme kao osnova, poticaji na vektore a i I). Odgovori