អំណាចនៃការបង្កើតមាត្រដ្ឋាន

Scalar tv_r វ៉ិចទ័រ តម្លៃ ថាមពល

ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រ ការយល់ដឹងជាមូលដ្ឋាន ការមើលឃើញ ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរលើពួកគេ។

វ៉ិចទ័រ​លើ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជា​គូ​នៃ​ចំណុច​ដែល​បាន​បញ្ជា​ទិញ ហើយ​នៅ​ពេល​ជាមួយ​គ្នា​នោះ​ចំណុច​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា cob និង​ចុង​ម្ខាង​ទៀត​ជា​វ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានគេហៅថា rivni ដោយសារតែក្លិនស្អុយគឺrіvnіហើយត្រូវបានតម្រឹម។

វ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហៅថា សហទិស ព្រោះក្លិនស្អុយមានទិសដៅរួមជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រតែមួយ ប៉ុន្តែកុំកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។

វ៉ិចទ័រ ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ឬនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល ត្រូវបានគេហៅថា collinear ហើយ collinear ទោះបីជាមិនមានទិសដៅរួមគ្នាក៏ដោយ ត្រូវបានគេហៅថា protylny-straight ។

វ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់កាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ។

តម្លៃអាជីវកម្ម 5.4. ស៊ូមយូ ក + ខ វ៉ិចទ័រ ក і ខ ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ ពី cob នៃវ៉ិចទ័រ ក នៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ខ វ៉ិចទ័រ cob ខ កម្ចាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក .

តម្លៃអាជីវកម្ម 5.5. រីហ្សីនីសៀ ក - ខ វ៉ិចទ័រ ក і ខ ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័របែបនេះ ស ដូចជាផលបូកជាមួយវ៉ិចទ័រ ខ បាទєវ៉ិចទ័រ ក .

តម្លៃអាជីវកម្ម 5.6 ។ ឈីក្រុម Fulhamk ក វ៉ិចទ័រ ក តាមលេខ kត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ខ , វ៉ិចទ័រ collinear ក , scho maє ម៉ូឌុល, scho dorіvnyuє | k||ក |, ថាត្រង់, scho zbіgaєtsya s ត្រង់ | ក នៅ k> 0 និងច្រើនទៀត ក នៅ k<0.

អំណាចនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ៖

ថាមពល ១. k (ក + ខ ) = គ ក+ ក ខ.

ថាមពល ២. (k + m)ក = គ ក+ ម ក.

ថាមពល ៣. k (ម ក) = (គ.ម)ក .

Slidstvo ។ Iaksho វ៉ិចទ័រ​មិន​ទទេ ក і ខ collinear បន្ទាប់មកក៏លេខ k, scho b = k ក.

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ កі ខលេខ (មាត្រដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថាលេខ (មាត្រដ្ឋាន) ដែលអាចបន្ថែមវ៉ិចទ័រមួយចំនួនទៅកូស៊ីនុសនៃការកាត់φរវាងពួកវា។ Scalar tvir អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​វិធី​ផ្សេង​គ្នា​ឧទាហរណ៍ យ៉ាក ab, ក · ខ, (ក , ខ), (ក · ខ) នៅក្នុងចំណាត់ថ្នាក់បែបនេះ កម្មវិធីបន្ថែម scalar៖

ក · ខ = |ក| · | ខ| ខូស φ

ប្រសិនបើអ្នកចង់ឱ្យវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទៅសូន្យ នោះមាត្រដ្ឋានបន្ថែមទៅវាទៅសូន្យ។

ការផ្លាស់ប្តូរថាមពល៖ ក · ខ = ខ · ក(ដោយសារតែការផ្លាស់ប្តូរនៃមេគុណនៅក្នុង scalar twir មិនផ្លាស់ប្តូរ);

ថាមពលរបស់ rozpodil៖ ក · ( ខ · គ) = (ក · ខ) · គ(លទ្ធផលគឺមិនមែនតាមលំដាប់នៃរ៉ិចទ័រទេ);

ថាមពលក្នុងមួយឯកតា (100% មេគុណមាត្រដ្ឋាន): (λ ក) · ខ = λ ( ក · ខ).

អំណាចនៃ orthogonality (កាត់កែង): ជាវ៉ិចទ័រ កі ខមិនមែនជាមោឃៈ, їх scalar បន្ថែមទៅសូន្យ លុះត្រាតែវ៉ិចទ័រមានរាងមូល (កាត់កែងពីមួយទៅមួយ) ក ┴ ខ;

អំណាចនៃការ៉េ៖ ក · ក = ក 2 = |ក| 2 (បង្កើតវ៉ិចទ័រពីខ្លួនវាទៅការ៉េនៃម៉ូឌុល);

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ក= (x 1, y 1, z 1) ខ= (x 2, y 2, z 2) បន្ទាប់មក scalar add-on ទៅទ្វារ ក · ខ= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ។

វ៉ិចទ័រអនុវត្តវ៉ិចទ័រ។ វីហ្សាណាឆេនយ៉ា៖ សម្រាប់វ៉ិចទ័រច្នៃប្រឌិត វ៉ិចទ័រពីរ និងវ៉ិចទ័រ ដែល៖

ម៉ូឌុល​នៃ​លំហ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​ជំរុញ​ដោយ​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​, tobto ។ , de កាត់mіzhវ៉ិចទ័រ ma

Tsey គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ ដែលអាចគុណបាន តូតូ។

ដោយសារ​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ ក្លិនស្អុយ​កំណត់​វ៉ិចទ័រ​បី​ត្រឹមត្រូវ។

អំណាចនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ:

1.When ការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃមេគុណ, សញ្ញាវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរ, សញ្ញា zvorotny, ម៉ូឌុលត្រូវបានរក្សាទុក, tobto ។

2 .វ៉ិចទ័រការ៉េទៅសូន្យវ៉ិចទ័រ, tobto ។

3 មេគុណមាត្រដ្ឋានអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់និមិត្តសញ្ញាបង្កើតវ៉ិចទ័រ តូតូ។

4 .សម្រាប់វ៉ិចទ័របីណាមួយ សមភាពគឺយុត្តិធម៌

5 ... មានតម្រូវការ និងបញ្ញាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ៖

វីហ្សាណាឆេនយ៉ា។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a (គុណ) នៅលើវ៉ិចទ័រ collinear (មេគុណ) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រទីបី z (tvir) ដែលនឹងក្លាយជាចំណាត់ថ្នាក់បន្ទាប់៖

1) ម៉ូឌុលលេខជាលេខ ផ្ទៃធំនៃប្រលេឡូក្រាមក្នុងរូប។ 155), បានជម្រុញនៅលើវ៉ិចទ័រដើម្បីឱ្យមាននៅក្នុងច្រកទ្វារដោយផ្ទាល់កាត់កែងទៅនឹងតំបន់នៃប៉ារ៉ាឡែលទាយ;

3) នៅវ៉ុលជាក់លាក់នៃវ៉ិចទ័រ z ញ័រ (ពីពីរអាចធ្វើទៅបាន) ដូច្នេះវ៉ិចទ័របានបង្កើតប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវ (§ 110) ។

ការ​ចាត់​តាំង​: ab

ធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងទៅ viznachennya ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា នោះតួលេខគឺ vvazhayuchi (ឆ្លាត) ជាមួយនឹងប្រលេឡូក្រាម វាគួរតែត្រូវបានសន្មតថាជាតំបន់សូន្យ។ ដល់នោះ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានប្រើស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

លំយោលនៃវ៉ិចទ័រសូន្យអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈដោយផ្ទាល់ សម្រាប់ការមិនប្រតិកម្មខ្លាំងពេកចំពោះចំណុច 2 និង 3 នៃតម្លៃ។

ការគោរព 1. នៅក្នុងពាក្យ "vectorial tvir" ពាក្យទីមួយត្រូវបានអនុវត្តចំពោះអ្នកដែលលទ្ធផលជាវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹងការបង្កើតមាត្រដ្ឋាន ម្តងម្កាល§ 104 គោរព 1)។

កម្មវិធី 1. ស្គាល់វ៉ិចទ័រ tvir, de វ៉ិចទ័រសំខាន់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រឹមត្រូវ (រូបភាព 156) ។

1. លំយោលនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់ទៅមាត្រដ្ឋានដូចគ្នា បន្ទាប់មកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (ការេ) ជាលេខទៅមាត្រដ្ឋានដូចគ្នា។ Otzhe, ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័របន្ថែមលើឯកតាទ្វារទៅទ្វារ។

2. ដូច្នេះ yak កាត់កែងទៅផ្ទៃ є អ័ក្សនៃវ៉ិចទ័រ whirring tvir є វ៉ិចទ័រ, វ៉ិចទ័រ collinear; ប្រសិនបើបទល្មើសមានក្លិនស្អុយ ម៉ូឌុល 1 នោះវ៉ិចទ័រ shukaniy បន្ថែមទៅទ្វារ ទាំង k ឬ -k ។

3. វ៉ិចទ័រដែលអាចកើតមានចំនួនបី ត្រូវការរំញ័រ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រនឹងកំណត់ប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវ (ហើយវ៉ិចទ័រនឹងនៅខាងឆ្វេង)។

ឧបសម្ព័ន្ធទី 2. ស្គាល់វ៉ិចទ័រ tvir

ការសម្រេចចិត្ត។ Yak butt 1, set-up, scho vector dorіvnyuє ទាំង k, ឬ -k ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវញ័រ -k ដូច្នេះវ៉ិចទ័រនឹងកំណត់ប្រព័ន្ធទៅខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័រនឹងនៅខាងឆ្វេង) ។ Otzhe,

Butt 3. វ៉ិចទ័រអាចស្មើនឹង 80 និង 50 សង់ទីម៉ែត្រហើយកំណត់ការកាត់ទៅ 30 °។ យកម៉ែត្រសម្រាប់ឯកតាមួយដឹងពីការបង្កើតវ៉ិចទ័រ

ការសម្រេចចិត្ត។ តំបន់នៃ paralelogram ដែលជំរុញដោយវ៉ិចទ័រទៅវ៉ិចទ័រ shukany របស់ Dovzhin ទៅការបង្កើត

ពាក្យស្នើសុំ 4. ដើម្បីដឹងពីភាពប៉ិនប្រសប់នៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រខ្លួនឯងស្ងាត់ ដោយយកសង់ទីម៉ែត្រជាឯកតាមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ លំយោលនៃផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម, ជម្រុញដោយវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ, បន្ទាប់មកនៃវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ, នៃ 2000 div, tobto ។

ពី 3 ទៅ 4 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងកត្តាមួយនៃកត្តាមួយផ្សេងទៀត។

zmist រូបវិទ្យានៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ។បរិមាណរូបវន្តជាលេខបី ដែលអាចមើលឃើញជាផលិតផលវ៉ិចទ័រ នឹងបាត់បង់កម្លាំង។

Nekhai A є ចំណុចនៃការបង្ហាញនៃកម្លាំង ឬពេលនៃកម្លាំងពីចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ tvir នៃ Oskilka ម៉ូឌុលនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រនេះគឺមានសារៈសំខាន់ជាលេខសម្រាប់តំបន់ប៉ារ៉ាឡែល (រូបភាព 157) បន្ទាប់មកម៉ូឌុលនៃ ពេល​ត្រូវ​បាន​បន្ថែម​ទៅ​ពេល​ដោយ​ផ្អែក​លើ​កម្ពស់ ដូច្នេះ​ពិន្ទុ​ត្រូវ​បាន​គុណ​ទៅ​នឹង​កម្លាំង​ដ៏​អស្ចារ្យ​ទាំង​អស់។

វាចាំបាច់សម្រាប់មេកានិកដើម្បីនាំវាទៅកម្រិតនៃកម្លាំងរឹងដើម្បីឱ្យមានវ៉ិចទ័រសូន្យដែលអាចរឹងមាំបានអនុវត្តរហូតដល់ពេលនៃកម្លាំង។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើកម្លាំងទាំងអស់ស្របគ្នានឹងផ្ទៃតែមួយ បត់វ៉ិចទ័រ អ្នកអាចស្រមៃមើលពេលណាមួយ អ្នកអាចជំនួសម៉ូឌុលបន្ថែម និងជាក់លាក់។ Ale សម្រាប់កម្លាំងខ្លាំង ការជំនួសបែបនេះគឺមិនស្រួល។ តាមការពិត ធាតុវ៉ិចទ័រខ្លួនវាចាប់ផ្តើមដោយវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង មិនមែនលេខវ៉ិចទ័រទេ។

វ៉ិចទ័រនីវីវី- pseudovector ទាំងមូល កាត់កែងទៅតំបន់ ដែលជំរុញដោយមេគុណពីរ ដែលជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការប្រព័ន្ធគោលពីរ "គុណវ៉ិចទ័រ" លើវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលំហអឺគ្លីដដ៏កម្រ។ វ៉ិចទ័រ tvir មិនមែនជាអំណាចនៃ commutative និង associative (є anticomutative) і ក្នុងទិដ្ឋភាពនៃវ៉ិចទ័រ scalar є វ៉ិចទ័រ។ ទទួល​បាន​ជ័យ​ជម្នះ​យ៉ាង​ទូលំ​ទូលាយ​ក្នុង​ការ​បំប៉ន​បច្ចេក​ទេស និង​រូបវន្ត bagatokh។ ឧទាហរណ៍ ពេល​ទៅ​ជីពចរ និង​កម្លាំង Lorentz ត្រូវ​បាន​សរសេរ​តាម​គណិតវិទ្យា​ជា​វ៉ិចទ័រ​បង្កើត។ វ៉ិចទ័រ add-on គឺ cinnamon សម្រាប់ "ការមើលឃើញ" នៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ - ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័របន្ថែមនៃវ៉ិចទ័រពីរទៅទ្វារនៃ add-on ព្រោះវាក្លិនកាត់កាត់កែង ហើយប្តូរទៅសូន្យ ដោយសារវ៉ិចទ័រគឺ ប៉ារ៉ាឡែល ឬប្រឆាំងប៉ារ៉ាឡែល។

តាមទស្សនៈ ទូរទស្សន៍វ៉ិចទ័រអាចប្រើក្នុងវិធីសាមញ្ញមួយ ហើយតាមទ្រឹស្ដីក្នុងចន្លោះបើកចំហ ថាតើមានវិមាត្រ n ណាក៏ដោយ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាចំនួនវ៉ិចទ័រ n-1 ដោយបានដកចេញពីវ៉ិចទ័រមួយរបស់អ្នក។ គឺកាត់កែងទៅនឹងពួកវាទាំងអស់។ ប្រសិនបើ tvir ត្រូវបានហ៊ុំព័ទ្ធដោយការបង្កើតប្រព័ន្ធគោលពីរដែលមិនមែនជារឿងតូចតាចជាមួយនឹងលទ្ធផលវ៉ិចទ័រ នោះ tvir វ៉ិចទ័រប្រពៃណីគឺមានន័យថាត្រូវបានដកហូតនូវចន្លោះតូចតាច និងប្រាំពីរវិមាត្រ។ លទ្ធផលនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ ដូចជាមាត្រដ្ឋានមួយ ស្ថិតនៅក្នុងលំហរម៉ែត្រ Euclidean ។

នៅលើមូលដ្ឋាននៃរូបមន្តសម្រាប់គណនាកូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៃកម្មវិធីបន្ថែមមាត្រដ្ឋាននៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែង រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមវ៉ិចទ័រគឺនៅក្នុងទម្រង់នៃការរៀបចំនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ abo, innax, ї "ភាពរីករាយ" ។

Viznachennya៖
ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a វ៉ិចទ័រ b ក្នុងលំហ R 3 ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដូច្នេះយើងរីករាយក្នុងការឈានជើងចូលទៅក្នុង vimogam:
ជំនាន់បន្ថែមនៃវ៉ិចទ័រ c ជំនាន់បន្ថែមនៃវ៉ិចទ័រ a និង b ក្នុង sine kuta រវាងពួកវា៖
|c|=|a||b|sin φ;
វ៉ិចទ័រ c orthogonal ទៅ cutaneous z វ៉ិចទ័រ a і b;
វ៉ិចទ័រ c នៃ conjugations ដូច្នេះមានវ៉ិចទ័របី abc є ត្រូវ;
សម្រាប់ចន្លោះនៃ R7 ការផ្សារភ្ជាប់នៃវ៉ិចទ័រទាំងបី a, b, c ត្រូវបានទាមទារ។
ការកំណត់:
c === ក × ខ

តូច។ 1. ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមទៅម៉ូឌុលនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ

អំណាចធរណីមាត្រនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ:
តម្រូវការសម្រាប់ភាពស្របគ្នាផ្លូវចិត្តគ្រប់គ្រាន់នៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ є សមភាពនៃសូន្យនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រទៅដូចគ្នា។

ម៉ូឌុល tvoru វ៉ិចទ័រ តំបន់ផ្លូវ សប្រលេឡូក្រាមដែលជំរុញដោយវ៉ិចទ័រកាត់បន្ថយទៅ cob កі ខ(រូបភាពទី 1) ។

យ៉ាកសូ អ៊ី- វ៉ិចទ័រទោល វ៉ិចទ័រ orthogonal កі ខនិងការរំញ័រដូច្នេះតើអ្វីទៅជាទ្រីកា a, b, e- សិទ្ធិ និង ស- ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលជម្រុញលើពួកវា (ចង្អុលទៅពស់) បន្ទាប់មករូបមន្តមានសុពលភាពសម្រាប់ការបង្កើតវ៉ិចទ័រ៖
= ស អ៊ី

រូប ២. Ob'єm parallelepiped ជាមួយ vicoristann_ នៃវ៉ិចទ័រ និង scalar បន្ថែមនៃវ៉ិចទ័រ; បន្ទាត់ដាច់ ៗ បង្ហាញពីការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ c នៅលើ a × b និងវ៉ិចទ័រ a នៅលើ b × c, crochet ដំបូងគឺជាអត្ថន័យនៃការបង្កើតមាត្រដ្ឋាន

យ៉ាកសូ គគឺជាវ៉ិចទ័រ π - be-yaka flatness, របៀបសងសឹកវ៉ិចទ័រ, អ៊ី- វ៉ិចទ័រតែមួយដែលនៅជិតតំបន់ π ta orthogonal ទៅ c, g- វ៉ិចទ័រ​តែមួយ រាង​ជ្រុង​ទៅ​នឹង​ផ្ទៃ π និង conjugations ដូច្នេះមានវ៉ិចទ័របី ឧє ត្រូវហើយសម្រាប់នរណាម្នាក់ hto កុហកដោយតំបន់ π វ៉ិចទ័រ ករូបមន្តមានសុពលភាព៖
= Pr e a|c|g
de Pr e a គឺជាការព្យាករវ៉ិចទ័រនៃ e ទៅលើ a
| c | -module នៃវ៉ិចទ័រ

ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រ victorian និងការបង្កើតមាត្រដ្ឋាន វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បី virahuvati obsyag paraleleped, ជំរុញដោយវ៉ិចទ័រកាត់បន្ថយទៅ cob ក, ខі គ... ផងដែរ វ៉ិចទ័រទាំងបីត្រូវបានគេហៅថា zmishanim ។
V=|a(b×c)|
វាត្រូវបានបង្ហាញនៅលើកូនតូចថាមានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការដឹងពីរបៀបទំនាក់ទំនង: លទ្ធផលធរណីមាត្រអាចត្រូវបានរក្សាទុកនៅពេលជំនួសការបង្កើត "មាត្រដ្ឋាន" និង "វ៉ិចទ័រ" ដោយមធ្យោបាយ:
V = a × b c = a b × c

ទំហំនៃវ៉ិចទ័រគឺស្ថិតនៅត្រង់ប្រហោងឆ្អឹងនៃការកាត់រវាងវ៉ិចទ័រ cob ដូច្នេះវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាជំហាននៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ ក៏ដូចជាមាត្រដ្ឋានអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាជំហាននៃភាពស្របគ្នា។ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទោលពីរនៅក្នុងផ្លូវ 1 (វ៉ិចទ័រទោល) ដោយសារវ៉ិចទ័រកាត់កែង ហើយផ្លូវគឺ 0 (វ៉ិចទ័រសូន្យ) ព្រោះវ៉ិចទ័រស្របគ្នា ឬប្រឆាំងប៉ារ៉ាឡែល។

Viraz សម្រាប់វ៉ិចទ័រ tvoru នៅក្នុងកូអរដោណេ cartesian
Yaksho វ៉ិចទ័រពីរ កі ខតម្លៃដោយកូអរដោនេ Cartesian មុំខាងស្តាំរបស់ពួកគេ ឬជាក់ស្តែង តំណាងនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
និងប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រឹមត្រូវ បន្ទាប់មក їхній វ៉ិចទ័រtvіr maє viglyad
=(a y b z −a z b y, a z b x −a x b z, a x b y -a y b x)
ដើម្បីទន្ទេញរូបមន្ត៖
i = ∑ε ijk a j b k
ដឺ ε ijk- និមិត្តសញ្ញា Levi-Chiviti ។

៧.១. តម្លៃនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រ​បី​ដែល​មិន​មែន​ coplanar a, b і с ដែល​បាន​យក​តាម​លំដាប់​ដែល​បាន​បង្ហាញ បង្កើត​បន្ទាត់​បី​ខាង​ស្ដាំ ដូច​ជា​ពី​ចុង​វ៉ិចទ័រ​ទី​បី​ពី​វេន​ខ្លី​បំផុត​ពី​វ៉ិចទ័រ​ទីមួយ a ទៅ​វ៉ិចទ័រ b អ្នក​អាច​មើល​ឃើញ​ថា យើងនឹងឃើញ div ។ រូបភព ១៦) ។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទៅវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ z ដែលជា:

1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a і b, tobto s ^ a і с ^ ខ;

2. Ma dovzhin ដែល​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​បាន​ជម្រុញ​លើ​វ៉ិចទ័រ a និងខ yak នៅចំហៀង (div. រូបភព 17), tobto ។

3. វ៉ិចទ័រ a, b і s បញ្ជាក់សិទ្ធិទាំងបី។

វ៉ិចទ័រ twir ត្រូវបានតំណាង a x b abo [a, b] ។ ពីតម្លៃនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រដោយមិនចាំបាច់មានកណ្តាលយើងអាចប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចគ្នា, jі k(រូបភាពទី ១៨)៖

i x j = k, j x k = i, k x i = j ។
បាននាំមកជូនអ្នកឧទាហរណ៍ schoខ្ញុំ хj = k ។

1) k^i, k ^ j;

2) |k|=1, ale| ខ្ញុំ x j| = | ខ្ញុំ | |J | sin (90°) = 1;

3) វ៉ិចទ័រ i, j គឺ kអនុម័តសិទ្ធិបី (រូបភាព 16) ។

៧.២. អំណាចនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ

1. នៅពេលរៀបចំមេគុណឡើងវិញក្នុងវ៉ិចទ័រ នោះគ្មានសញ្ញាទេ តូតូ។ a хb = (b хa) (div ។ រូបភព 19) ។

វ៉ិចទ័រ a xb і b គឺ collinear ពួកវាអាចជាម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមក្លាយជាមិនសំខាន់) ប៉ុន្តែពួកវាក៏ត្រូវបានតម្រង់ជាប់គ្នាផងដែរ (tris a, b, a xb і a, b, bxa គឺជាគំរូដើម តម្រង់ទិស) ។ បាន​ក្លាយ​ជា​អ្នក​កាប់ មួយ xb = -(b xa).

2. ថាមពលវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្តល់ថាមពលនៃមេគុណមាត្រដ្ឋានដូច្នេះ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ។

មក l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a i ខ(វ៉ិចទ័រ ក, លីត្រហើយ​នៅ​ជិត​តំបន់​មួយ​) ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) ម៉ា ( លីត្រក) x ខ collinear ។ ជាក់ស្តែង វា​មិន​មែន​ត្រង់​ទេ។ សូមឱ្យអាហារពេលល្ងាចដូចគ្នា:

ថម លីត្រ(a хb) = លីត្រមួយ xb ។ វាគួរតែត្រូវបានរាយការណ៍ស្រដៀងគ្នានៅពេល លីត្រ<0.

3. វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាមោឃៈពីរ a i ខ collinear todi ហើយមានតែ todi ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ tvir ទៅវ៉ិចទ័រសូន្យ ដូច្នេះ a || b<=>a xb = 0 ។

Zokrem, i * i = j * j = k * k = 0 ។

4. ថាមពលវ៉ិចទ័រខុសពីថាមពល៖

(ក + ខ) xc = a xc + ខ xc

អាចទទួលយកបានដោយគ្មានការបញ្ជាក់។

៧.៣. Viraz វ៉ិចទ័រ tvoru តាមរយៈកូអរដោនេ

យើងនឹង vikoristovuvat តារាងនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រ i ក្នុង i, jខ្ញុំ k:

ប្រសិនបើយើងតម្រង់ផ្លូវខ្លីពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅមួយទៀត កាត់តាមព្រួញ បន្ទាប់មកទៅកាន់វ៉ិចទ័រទីបី ហើយបន្ទាប់មកទៅកាន់វ៉ិចទ័រទីបី - វ៉ិចទ័រទីបីគឺយកចេញពីសញ្ញាដក។

កុំផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y j+ a z kі b = b x ខ្ញុំ+ ខ y j+ b z k... គេដឹងថាវ៉ិចទ័រ twir នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹងវ៉ិចទ័រនៃការងាក (អាស្រ័យលើថាមពលនៃវ៉ិចទ័រ):

រូបមន្តរបស់ Otriman អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ខ្លីជាងនេះ៖

លំយោលនៃសិទ្ធិនៃផ្នែកនៃសមភាព (7.1) នឹងនាំទៅដល់ការចែកចាយនៃអ្នកកាន់កាតលំដាប់ទីបីសម្រាប់ធាតុនៃជួរទីមួយ។ parity (7.2) ងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។

៧.៤. កម្មវិធី Deyaki បង្កើតវ៉ិចទ័រ

ការបញ្ចូលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

តំបន់សំខាន់នៃប៉ារ៉ាឡែលនិងកង់បី

វាជាការល្អក្នុងការដឹងពីតម្លៃនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ កខ្ញុំ ខ |a xb| =|a| * | ខ | sin g នោះគឺ S គូ = | a x b | І, ផងដែរ, D S = 1/2 | a x b |

តម្លៃនៃកម្លាំង ឬចំណុចមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តទៅចំណុច A F = ABទេ អំពី- Deyaka ចង្អុលទៅលំហ (div ។ រូបភព 20) ។

Z fiziki vidomo, scho ពេលនៃកម្លាំង ច ពិន្ទុ shodo អំពីត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ មរបៀបឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អំពីនោះ៖

1) កាត់កែងទៅតំបន់, ឆ្លងកាត់ចំណុច O, A, B;

2) ជាលេខ កម្លាំងបន្ថែមលើស្មា

3) ខ្ញុំបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវបីនៃវ៉ិចទ័រ OA និង A ។

Otzhe, M = OA x F ។

ខ្សែបន្ទាត់សំខាន់នៃការរុំ shvidkosti

ល្បឿន vចំណុច M នៃរាងកាយរឹងដែលអាចត្រូវបានរុំនៅក្នុងគូប shvidkistyu វនៅជិតអ័ក្សមិនស្ថិតស្ថេរ វាចាប់ផ្តើមដោយរូបមន្តអយល័រ v = w xr, de r = OM, de O-deyaka ចំនុចនៃអ័ក្សមិនស្ថិតស្ថេរ (div ។ រូបភព។ 21) ។

វីហ្សាណាឆេនយ៉ា។ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a ទៅវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា [α, b] (abo lxb) ដូចជា 1) ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ [a, b] dorіvnyuє (ទំ, de у - kut mіzh វ៉ិចទ័រ а និង b (2) វ៉ិចទ័រ [a, b) គឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a і b នោះគឺ។ តំបន់កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ; 3) វ៉ិចទ័រ [a, b] នៃការធ្វើឱ្យត្រង់ ដូច្នេះពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ វេនខ្លីបំផុតពី a ទៅ b អាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅពេលដែលយើងឃើញព្រួញផ្ទុយ (រូបភាព 32) ។ តូច។ 32 រូបភព 31 សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន វ៉ិចទ័រ a, b និង [a, b) កំណត់វ៉ិចទ័របីយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ roztashovani ដូច្នេះ, ជាការអស្ចារ្យ, vz_vny ថាម្រាមដៃកណ្តាលនៃដៃស្តាំ។ នៅខាងក្រោម ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a និង b ជាប់គ្នា វាសំខាន់ដែល [a, b] = 0 ។ ដោយសារតម្លៃនៃវ៉ិចទ័រ ការរចនាវ៉ិចទ័រជាលេខសមនឹងតំបន់ Sa នៃប្រលេឡូក្រាម (រូបភាព 33) ។ ជំរុញ​លើ​វ៉ិចទ័រ​ដើម្បី​គុណ និង​ជ្រុង និង b ដូច : 6.1 ។ អំណាចនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ 1. ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រទៅនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យគឺ todi ហើយត្រឹមតែ 0 ប្រសិនបើយើងទទួលយកវ៉ិចទ័រមួយនោះ វាត្រូវបានគុណ є គឺសូន្យ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រជាគូ (ដូចវ៉ិចទ័រគឺជាចំនួនលីនេអ៊ែរ វ៉ិចទ័រ) ... វាងាយស្រួលក្នុងការច្រានចោលការពិតដែលថា ប្រសិនបើអ្នកប្រើវ៉ិចទ័រសូន្យដើម្បីធ្វើជាគូជាមួយវ៉ិចទ័រណាមួយ នោះប្រសិនបើអ្នកមានវ៉ិចទ័រ a និង b ជាប់គ្នា អ្នកអាចបំប្លែងបាន ដូច្នេះ 2. វ៉ិចទ័រ tvir គឺប្រឆាំង ដូច្នេះវាតែងតែ។ ពិត វ៉ិចទ័រ (a, b) អាច​ជា​បន្ទាត់​ដូចគ្នា​។ បន្ទាត់ត្រង់នៃវ៉ិចទ័រក្នុងការប្រឆាំង ការបំបែកពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ [a, b] វេនខ្លីបំផុតពី a ទៅ b នឹងត្រូវបានគេមើលឃើញនៅពេលដែលឃើញព្រួញផ្ទុយ ហើយពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ [b, a] - នៅខាងក្រោយបន្ទាត់ឆ្នាំ 34) ។ 3. កម្មវិធីបន្ថែមវ៉ិចទ័រមានថាមពលដាច់ដោយឡែកទាក់ទងនឹងកាលបរិច្ឆេទមុនកាលបរិច្ឆេទ 4. មេគុណលេខ A គឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឈ្នះសម្រាប់សញ្ញានៃវ៉ិចទ័របន្ថែម 6.2 ។ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រដែលបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេនៃ Hex នៃវ៉ិចទ័រនិងនិង b បញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេនៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ Corrode អំណាចនៃវ៉ិចទ័រទៅនឹងការបង្កើត យើងដឹងពីការបន្ថែមវ៉ិចទ័រនៃកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទូរទស្សន៍Zmіshany។ បង្កើតកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ (រូបទី 35)៖ សម្រាប់វ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រ a និង b អាចត្រូវបានគេទទួលស្គាល់ពីរូបមន្ត (3) វីរ៉ាសវាយលុក។៖ បត់សន្លឹកបៀដែលនៅពីក្រោយធាតុនៃជួរទី 1 អ្នកអាចធ្វើវាបាន ( ៤). ដាក់វានៅលើ។ 1. ដើម្បីដឹងពីតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម, ជម្រុញលើវ៉ិចទ័រនៃតំបន់ Shukan នោះត្រូវបានគេស្គាល់ = ផ្កាយ 2. ដើម្បីដឹងពីតំបន់នៃ tricot (រូបភាព 36) ។ Zrozumіlo, តំបន់ scho b "d កង់បី BAT ផ្លូវពាក់កណ្តាលនៃតំបន់ S ប្រលេឡូក្រាម O AS V. វ៉ិចទ័រជាច្រើន (a, b | វ៉ិចទ័រ a = OA і b = ob វាអាចយល់បាន មានសារៈសំខាន់ណាស់។ , សម្រាប់ a = ss j maєmo § 7. ការផ្លាស់ប្តូរណាមួយនៅក្នុងវ៉ិចទ័រ Nehai maєmo វ៉ិចទ័របី a, b і с ។ ក្នុងលទ្ធផលយើងអាចកាត់វ៉ិចទ័រ [a,1>] គុណវាតាមមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រ z: (kb), c) ចំនួន ([a, b], e) ត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រក្នុង a, ខ. កំណត់ដោយនិមិត្តសញ្ញា (a, 1), e) 7.1 ការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រទៅនឹងភាពខុសគ្នាទៅនឹងការបង្កើត ទាក់ទងនឹងវ៉ិចទ័រ a, b ពីចំណុច O (រូបភាព 37) ដូចដែលចំណុចទាំងអស់ O, A, B, C ស្ថិតនៅក្នុង តំបន់ដូចគ្នា (វ៉ិចទ័រ a, b і с ត្រូវបានគេហៅថា coplanar ជាទូទៅ) បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរ tvir ([a, b], c) = 0. វាមានន័យថាវ៉ិចទ័រ [a, b | , і ទៅវ៉ិចទ័រ s ។ / Yaksho និង t eyepieces O, A, B, C មិនកុហកនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា (vectors a, b і s non-coplanar) ពួកគេនឹងស្ថិតនៅលើគែម OA, OB និង OS parallelepiped (រូបភាព 38 a) . សម្រាប់តម្លៃនៃការបង្កើតវ៉ិចទ័រ maєmo (a, b) = ដូច្នេះ c, de So គឺជាតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម OADB ហើយ c គឺជាវ៉ិចទ័រតែមួយកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a і b і ដូចនេះ បី a , b, c ត្រូវហើយ ដូច្នេះ។ វ៉ិចទ័រ a, b і і і і і і і і і і і і а а а а раруста , នោះគឺជាម្រាមដៃកណ្តាលនៃដៃស្តាំ (រូបភាព 38 ខ) ។ គុណការបំពាននៃផ្នែកនៃសមភាពដែលនៅសល់នៅខាងស្តាំធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រ; ទូរទស្សន៍Zmіshany។ លេខ prc លើសលុប h នៃ parallelepiped ដែលត្រូវបានជម្រុញដោយសញ្ញា "+" ដែលជាការកាត់រវាងវ៉ិចទ័រជាមួយម៉ាស៊ីន (បី a, b, c - ស្តាំ) і s សញ្ញា "-", ជាការកាត់ គឺល្ងង់ (បី a, b, c - liv) ដូច្នេះ Tim ដោយខ្លួនឯងផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រ a, b និង z ទៅជាបរិមាណនៃ V parallelepiped ដោយបានជម្រុញនៅលើវ៉ិចទ័រ cix yak នៅលើគែមដូចជាបី a, b, c - ស្តាំ , i -V, ដូចជាបី a , B, h - liva ។ ក្រៅ​ពី​ន័យ​ធរណីមាត្រ​នៃ​ការ​បង្កើត​ដែល​រញ៉េរញ៉ៃ អ្នក​អាច​បង្កើត​លំនាំ ប៉ុន្តែ​វ៉ិចទ័រ a, b និង​ត្រូវ​បាន​គុណ​តាម​លំដាប់​ណា​មួយ យើង​នឹង​កាត់​ទាំង +7 ឬ -K ជានិច្ច។ និមិត្តសញ្ញាគឺរូបភព។ 38 យើងនឹងមិនអាចដាក់វាចុះបានឡើយ ព្រោះថាសំណុំវ៉ិចទ័រទាំងបីដែលគុណ-ត្រូវ ឬមិនត្រូវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a, b, បញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវទាំងបី នោះបន្ទាត់ទាំងបី b, c, a និង c, a, b ក៏នឹងត្រឹមត្រូវ។ ក្នុង​ម៉ោង​នោះ​មាន​បី​ដង b, a, h; a, c, b និង c, b, a - livi ។ ធីមខ្លួនឯង, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b) ក) ជាថ្មីម្តងទៀត វាអាចទទួលយកបានថាមិនមានវ៉ិចទ័របន្ថែមនៅក្នុងផ្លូវទេ លុះត្រាតែវ៉ិចទ័រ a, b, s coplanar ត្រូវបានគុណ៖ (a, b, z coplanarni) ៧. 2. ការផ្លាស់ប្តូរនៃការបន្ថែមនៅក្នុងកូអរដោនេ Hexai នៃវ៉ិចទ័រ a, b, z ដែលបានផ្តល់កូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងមូលដ្ឋាន i, j, k: a = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (x3, uz, 23) ។ យើងស្គាល់វីរ៉ាសសម្រាប់សត្វអាក្រក់ (a, b, c) ។ មានការផ្លាស់ប្តូរជាច្រើននៃវ៉ិចទ័រដែលផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេនៅក្នុងមូលដ្ឋាន i, J រហូតដល់លំដាប់ទីបីដែលជួរដេកត្រូវបានបត់តាមកូអរដោនេនៃទីមួយ មួយទៀត និងទីបីពីវ៉ិចទ័រដែល ត្រូវបានគុណ។ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ coplanarity នៃវ៉ិចទ័រ a y \, Z |), b = (x Y2. 22), z = (zh, uz, 23) ដែលត្រូវកត់ត្រាក្នុងទិដ្ឋភាពវាយលុករបស់ Y | z, a2 y2 −2 = 0. កម្មវិធី។ ការពិនិត្យឡើងវិញ, ដែលជាកន្លែងដែលє coplanar វ៉ិចទ័រ "= (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) ។ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មើល​ទៅ​នឹង​ជា​ coplanar ឬ​ non-coplanar ក្នុង​ភាព​ទំនេរ​ព្រោះ​ថា​វា​មិន​មាន​សម្រាប់​ជួរ​ទីមួយ​ coplanar ។ ៧.៣. វ៉ិចទ័ររងរង បន្ថែមលើ [a, [b, c]] គឺជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a і [b, c] ។ នោះគួរតែស្ថិតនៅតំបន់វ៉ិចទ័រ ខ និងជាមួយ និងអាចដាក់ក្នុងវ៉ិចទ័រ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថារូបមន្ត [a, [!>, C]] = b (a, e) - c (a, b) គឺត្រឹមត្រូវ។ ស្តាំ 1. វ៉ិចទ័របី AB = c, F? = អំពី CA = b ដើម្បីធ្វើជាផ្នែកនៃ tricot ។ Viraziti តាមរយៈវ៉ិចទ័រ a, b і ដែលត្រូវបានបង្ហាញជាមួយ medians AM, DN, CP នៃត្រីចក្រយានយន្ត។ 2. តើខ្ញុំអាចនិយាយថាខ្ញុំនឹងចងវ៉ិចទ័រ p និង q ហើយបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ p + q dliv kut រវាងពួកវា navpil? វាត្រូវបានផ្ទេរវ៉ិចទ័រទាំងបីត្រូវបាននាំយកទៅ zalny cob ។ 3. រាប់ដល់ gin នៃអង្កត់ទ្រូងនៃ parallelogram induced លើវ៉ិចទ័រ a = 5p + 2q និង b = p − 3q បើ vidomo អ្នកណា | ទំ | = 2v/2, | q | = 3 H- (p7ci) = f ។ 4. ដោយបានកំណត់ជ្រុងនៃ rhombus តាមរយៈ a ដែល b ចេញពី vertex ខាងក្រៅ នាំយកអង្កត់ទ្រូងនៃ rhombus កាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក។ 5. គណនាមាត្រដ្ឋានបូកនៃវ៉ិចទ័រ a = 4i + 7j + 3k និង b = 31 − 5j + k ។ 6. ស្គាល់វ៉ិចទ័រតែមួយ a0 ស្របនឹងវ៉ិចទ័រ a = (6, 7, −6) ។ 7. ដឹងពីការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ a = l + j-kHa វ៉ិចទ័រ b = 21 − j − 3k ។ 8. ដឹងពីកូស៊ីនុសនៃការកាត់រវាងវ៉ិចទ័រ IS « w ដែល A (-4,0,4), B (-1,6,7), C (1,10.9) ។ 9. ស្គាល់វ៉ិចទ័រតែមួយ p° មួយម៉ោងកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a = (3, 6, 8) និងអ័ក្សអុក។ 10. រាប់ស៊ីនុសនៃការកាត់រវាងអង្កត់ទ្រូងនៃ parallelopham ដែលជម្រុញលើវ៉ិចទ័រ a = 2i + J-k, b = i-3j + k yak នៅលើជ្រុង។ គណនាកម្ពស់ h នៃ parallelepiped ដែលជម្រុញលើវ៉ិចទ័រ a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k នៅពេលដែលប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាន ការលើកទឹកចិត្តលើវ៉ិចទ័រ a និង I) ។ Відповіді