Векторный vitvir- талбайтай перпендикуляр бүхэл псевдовектор, хоёр үржүүлэгчээр өдөөгдсөн бөгөөд энэ нь өчүүхэн Евклидийн орон зай дахь векторууд дээр "вектор үржүүлэх" хоёртын үйлдлийн үр дүн юм. Твир вектор нь скаляр вектор векторуудыг авч үзвэл, є вектор нь коммутатив ба ассоциатив (є антикомутатив) і хүч биш юм. Багатох техник, физикийн нэмэгдэлд өргөнөөр түрүүлсэн. Жишээлбэл, импульсийн момент ба Лоренцын хүчийг математикийн хувьд вектор үүсгэх хэлбэрээр бичдэг. Векторын нэмэлт нь векторуудын перпендикуляр байдлыг "үзүүлэн харуулах" шанцай юм - нэмэлтийн хаалганы хоёр векторын вектор нэмэлтийн модуль нь перпендикуляр өмхийрч, вектор нь тэг болж өөрчлөгддөг. зэрэгцээ эсвэл эсрэг параллель.

Харааны хувьд вектор нэмэхийг энгийн аргаар хийж болох ба онолын хувьд задгай орон зайд n хэмжээс байгаа эсэхээс үл хамааран нэг векторыг хасаад n-1 векторын тоог тооцоолох боломжтой. тэдгээрт перпендикуляр. Хэрэв твир нь векторын үр дүн бүхий хоёртын бус бүтээлүүдээр хүрээлэгдсэн бол уламжлалт вектор твир нь өчүүхэн, долоон хэмжээст орон зайг хасах зорилготой юм. Скаляр шиг вектор үүсгэх үр дүн нь Евклидийн метрийн орон зайд оршдог.

Өчүүхэн тэгш өнцөгт координатын систем дэх скаляр нэмэлтийн векторуудын координатыг тооцоолох томъёоны үндсэн дээр вектор нэмэлтийн томьёо нь тэгш өнцөгт координатын системийн зохион байгуулалтын хэлбэртэй abo, innax, ї "хирализм".

Визначення:
R 3 зайд a векторын вектор нэмэх векторыг в вектор гэж нэрлэдэг тул бид вимогам руу орохдоо баяртай байна:
нэмэлт вектор үүсгэх c тэдгээрийн хоорондох синус кута тутамд a ба b векторуудын нэмэлт үүсэлт:
| c | = | a || b | sin φ;
вектор c ортогональ ба арьсны z векторууд a і b;
Гурван вектор abc є зөв байхаар коньюгацийн в вектор;
R7 орон зайд a, b, c гэсэн гурван векторын ассоциатив байдал шаардлагатай.
Зориулалт:
c === a × b

Жижиг. 1. Параллелограммын талбай нь вектор үүсгэх модуль руу ордог

Вектор үүсгэх геометрийн хүч:
Тэг биш хоёр векторын хангалттай оюун санааны уялдаа холбоог хангах хэрэгцээ є вектор векторын тэгийг ижил тэнцүү болгох явдал юм.

Вектор tvuru модуль замын талбай Скоб болгон бууруулсан векторуудын үүсгэсэн паралелограмм аі б(Див. Зураг 1).

Якшо д- нэг вектор, ортогональ вектор аі бболон чичиргээ тийм, ямар trika а, б, д- эрх, ба С- параллелограммын талбайг тэдэн дээр зааж өгсөн (хавтан руу зааж), вектор үүсгэх томъёо нь хүчинтэй байна:
= S e

Зураг 2. Ob'єm параллелепипед векторын vicostann_ ба векторуудын скаляр нэмэх; Тасархай шугамууд нь a × b дээрх c векторын проекцийг, b × c дээрх a векторын проекцийг харуулсан бөгөөд эхний зүүгээр скаляр бүтээлийн утгыг илэрхийлнэ.

Якшо ввектор нь, π - бе-яка тэгш байдал, вектороос хэрхэн өшөө авах вэ, д- талбайн ойролцоо орших нэг вектор π та ортогональ в, г- нэг вектор, талбай руу ортогональ π ба коньюгациуд нь гурван вектор байх болно экгє зөв, дараа нь хэн нэгний хувьд, hto талбайн хажууд хэвтэх π вектор атомъёо хүчинтэй байна:
= Pr e a | c | g
de Pr e a нь e-ийн а руу вектор проекц юм
| c | - s векторын модуль

Вектор ба скаляр үүсгэх нь ялах үед энэ нь коб хүртэл бууруулсан векторуудын өдөөгдсөн паралелепед obsyag virahuvati боломжтой юм. а, бі в... Ийм хэдэн гурван векторыг zmishanim гэж нэрлэдэг.
V = |a (b × c) |
Бяцхан дээр хэрхэн харилцахаа мэдэх хоёр арга байгааг харуулж байна: "скаляр" ба "вектор" бүтээлийг солих үед геометрийн үр дүнг дараах аргаар хадгалах боломжтой.
V = a × b c = a b × c

Векторын хэмжээ нь коб векторуудын хоорондох зүсэлтийн синус дээр байх тул векторыг векторуудын перпендикуляр байдлын алхмууд, түүнчлэн скалярыг параллелизмын алхамууд гэж харж болно. Замын хоёр дан векторын вектор нэмэх 1 (нэг вектор), коб векторууд перпендикуляр, зам нь 0 (тэг вектор), векторууд нь параллель эсвэл эсрэг параллель байх тул.

Декарт координат дахь вектор tvuru-д зориулсан Вираз
Якшо хоёр вектор аі бутгыг тэдгээрийн тэгш өнцөгт декарт координатаар, илүү нарийвчлалтайгаар - ортонормаль үндэслэлээр илэрхийлнэ.
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
мөн координатын систем зөв, тэгвэл їхній вектор tvіr maє viglyad
= (a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
Томьёог цээжлэхийн тулд:
i = ∑ε ijk a j b k
де тийм ээ- Леви-Чивити бэлгэдэл.

Визначення. Коллинеар вектор (үржүүлэгч) дээрх a (үржүүлэх) векторын вектор үржвэрийг гурав дахь вектор z (tvir) гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь дараагийн зэрэг болно.

1) р-р модулийн параллелограммын тоон том талбай. 155), векторууд дээр таасан параллелограммын талбайд шууд перпендикуляр хаалганы үүдэнд байхыг сануулсан;

3) векторын тодорхой хүчдэлд z чичиргээ (хоёр боломжитоос) вектор нь зөв системийг үүсгэсэн (§ 110).

Тэмдэглэл: abo

Viznachennya руу шинэчлэх. Хэрэв вектор нь collinear бол параллелограмм бүхий тоонууд нь вважаючи (ухаалаг) байвал үүнийг тэг талбайд хамааруулах хэрэгтэй. Үүний тулд коллинеар векторуудын вектор нэмэх нь тэг вектортой тэнцүү байна.

Утгын 2 ба 3-р цэгийг үл тоомсорлохгүйн тулд тэг векторын хэлбэлзлийг шууд холбож болно.

Хүндэтгэл 1. “Векторын твир” гэсэн нэр томьёоны эхний үгийг үр дүн нь вектор болсон хүмүүст хэрэглэнэ (скаляр үүсгэхээс ялгаатай; хааяа § 104, хүндэтгэсэн 1).

Хэрэглээ 1. Зөв координатын системийн гол вектор болох tvir векторыг мэдэх (зураг 156).

1. Үндсэн векторуудын хэлбэлзэл нь ижил масштабтай, дараа нь параллелограммын талбай (квадрат) тоон хувьд ижил масштабтай байна. Otzhe, вектор нэмэлт хаалганы нэгжийн модуль.

2. Тэгэхээр сарлагийн талбайтай перпендикуляр є тэр эргэлдэх векторын тэнхлэг tvir є вектор, коллинеар вектор; гэмт хэрэг өмхий модуль 1 бол, дараа нь shukaniy вектор хаалган дээр нэмэх, эсвэл k, эсвэл -k.

3. Гурван cich хоёр боломжит векторыг эхлээд чичиргээ хийх ёстой бөгөөд ингэснээр вектор зөв системийг тохируулах болно (мөн вектор нь үлдэх болно).

Хавсралт 2. Твир векторыг мэдэх

Шийдвэр. Сарлагийн өгзөг 1, тохируулах, scho вектор dorіvnyuє аль нь к, эсвэл -k. Одоо та -k чичиргээ хийх хэрэгтэй, тэгэхээр вектор нь системийг баруун тийш тохируулах болно (мөн вектор нь үлдэх болно). Отже,

Өгзөг 3. Векторууд нь 80 ба 50 см-тэй тэнцүү байж болох ба зүсэлтийг 30 ° болгон тохируулна. Нэг нэгжид тоолуур авч, вектор үүсгэхийг мэддэг

Шийдвэр. Вектороор түлхэгдсэн параллелограммын талбай Довжингийн шуканы векторыг үүсгэх,

Хэрэглээ 4. Векторын суут ухааныг мэдэхийн тулд векторууд өөрсдөө чимээгүй, сантиметрийг нэг нэгж болгон авдаг.

Шийдвэр. Параллелограммын талбайн хэлбэлзэл нь векторын векторууд, дараа нь векторын векторууд, 2000 divs, tobto.

3-аас 4 хүртэл вектор нь бие биенийхээ хүчин зүйлүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байгааг харж болно.

Вектор үүсгэх физик змист.Вектор үржвэр болгон дүрсэлж болох гурван физик хэмжигдэхүүн нь хүчний моментийг алдах болно.

Nekhai A є хүчийг илэрхийлэх цэг буюу О цэгээс ирэх хүчний моментийг Оскилкагийн вектор tvir гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ вектор үүсгэх модуль нь параллелограммын талбайн хувьд тоон ач холбогдолтой (Зураг 157), дараа нь модуль. моментийг өндрөөс хамааран агшинд нэмдэг бөгөөд ингэснээр оноо нь бүх агуу хүчийг үржүүлнэ.

Механикууд үүнийг хатуу байдлын түвшинд хүргэх шаардлагатай бөгөөд ингэснээр энэ нь хүчтэй байж болох векторуудын хэмжээ, түвшин, тэр ч байтугай хүчний моментуудын хэмжээгээр тэг байх болно. Энэ тохиолдолд, хэрэв бүх хүчнүүд ижил талбайд параллель байвал нугалах векторууд, та мөчүүдийг төсөөлж болно, нэмэлт болон тусгай модулиудыг орлуулж болно. Хүчний хүчтэй омгийн хувьд ийм орлуулагч нь эвгүй байдаг. Үнэн хэрэгтээ векторын зүйл нь векторын дугаараас биш харин вектор өөрөө эхэлдэг.

Скаляр бүтээлийн хүч

Скаляр tv_r векторууд, утга, хүч

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд.

Векторууд, үндсэн ойлголт, дүрслэл, тэдгээрийн шугаман үйлдлүүд

Квадрат дээрх векторыг эрэмбэлэгдсэн хос цэг, нэгэн зэрэг цэгийг коб, нөгөө төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг.

Хоёр векторыг rivni гэж нэрлэдэг, учир нь өмхий үнэр нь rіvnі бөгөөд хоорондоо уялдаатай байдаг.

Нэг шулуун дээр орших векторуудыг нэг шулуун дээр хэвтдэггүй, өмхий нь нэг вектортой хамтран чиглэлтэй байдаг тул тэдгээрийг чиглэлтэй гэж нэрлэдэг.

Нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар, харин хамтарсан чиглэлтэй биш ч коллинеарыг протилны шулуун гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамд перпендикуляр байрлах векторуудыг ортогональ гэж нэрлэдэг.

Бизнесийн үнэ цэнэ 5.4. цүнх a + b вектор а і б векторын кобоос вектор гэж нэрлэнэ а векторын төгсгөлд б коб вектор б векторын төгсгөлөөс салах а .

Бизнесийн үнэ цэнэ 5.5. Ризнициа а - б вектор а і б ийм вектор гэж нэрлэнэ с , вектортой нийлбэр шиг б тийм вектор а .

Бизнесийн үнэ цэнэ 5.6. Зуслангийн бяслагк а вектор а тоогоор квектор гэж нэрлэнэ б , коллинеар вектор а , scho maє модуль, scho dorіvnyuє | к||а |, тэр шулуун, scho zbіgaєtsya ын шулуун | а цагт к> 0 ба түүнээс дээш а цагт к<0.

Векторыг тоогоор үржүүлэх чадвар:

Эрчим хүч 1. k (a + b ) = к а+ к б.

Эрчим хүч 2. (k + м)а = к а+ м а.

Эрчим хүч 3. к (м а) = (км)а .

Слидство. Иакшо тэг биш векторууд а і б collinear, дараа нь мөн тоо к, scho b = к а.

Хоёр тэгээс өөр векторын скаляр үржвэр аі бТоо (скаляр) нь тэдгээрийн хоорондох φ зүсэлтийн косинус дээр хэд хэдэн вектор нэмж болох тоо (скаляр) гэж нэрлэгддэг. Скаляр твирийг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно, жишээлбэл, сарлаг ab, а · б, (а , б), (а · б). Ийм зэрэглэлд скаляр нэмэлтүүд:

а · б = |а| · | б| Cos φ

Хэрэв та векторуудын аль нэгийг тэг болгохыг хүсвэл түүнд нэмэх скаляр тэг болно.

Эрчим хүчний өөрчлөлт: а · б = б · а(Скаляр twir дахь үржүүлэгчийн сэлгэлтийн улмаас өөрчлөгддөггүй);

Розподилийн хүч: а · ( б · в) = (а · б) · в(Үр дүн нь хэмжээний дарааллаар биш);

Нэгжийн хүч (100% скаляр үржүүлэгч): (λ а) · б = λ ( а · б).

Ортогональ байдлын хүч (перпендикуляр): вектор хэлбэрээр аі бтэг биш, їх скалярыг тэг дээр нэмэх, зөвхөн векторууд ортогональ (нэг перпендикуляр) байвал. а ┴ б;

Талбайн хүч: а · а = а 2 = |а| 2 (модулийн квадрат хүртэл өөрөөсөө векторуудыг скаляраар үүсгэх);

Векторуудын координатууд а= (x 1, y 1, z 1) б= (x 2, y 2, z 2), дараа нь хаалганы скаляр нэмэлт а · б= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

Вектор явуулах вектор. Визначення: Векторын хувьд бүтээлч хоёр вектор ба вектор, үүнд:

Өгөгдсөн векторуудын өдөөсөн параллелограммын орон зайн модуль, tobto. , де тайрах mіzh векторууд ма

Tsey нь векторуудад перпендикуляр вектор бөгөөд үржүүлж болно, tobto.

Векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй байдаг тул өмхий үнэр нь зөв гурван векторыг тогтоодог.

Вектор үүсгэх хүч:

1.Үржүүлэгчийн дарааллыг өөрчлөхөд вектор дохио өөрчлөгддөг, zvorotny тэмдэг, модуль хадгалагдана, tobto.

2 .Тэг вектор руу вектор квадрат, tobto.

3 Скаляр үржүүлэгчийг tobto гэсэн вектор үүсгэх тэмдэгт ашиглаж болно.

4 .Аливаа гурван векторын хувьд тэгш байдал шударга байна

5 Хоёр векторын уялдаа холбоотой байх шаардлагагүй бөгөөд хангалттай оюун ухаан:

Визначення. a векторыг b векторт нэмэх вектор нь вектор бөгөөд үүнийг [α, b] (abo lxb) тэмдгээр тэмдэглэнэ, жишээлбэл 1) векторын урт [a, b] нь зам (p, de y - a ба b векторуудын хооронд kut (2) вектор [a, b) a і b векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл. векторуудын перпендикуляр талбайнууд; 3) эсрэг талын сум харагдах үед векторын төгсгөлөөс a-аас b хүртэлх хамгийн богино эргэлт харагдахуйцаар тэгшлэх вектор [a, b] байна (Зураг 32). Жижиг. 32 Зураг 31 Ямар нэг шалтгаанаар a, b ба [a, b) векторууд зөв гурван векторыг тогтоов. roztashovani тийм, их, vz_vny тэр баруун гарын дунд хуруу. Доод талд, хэрэв а ба b векторууд нь хоорондоо уялдаатай байвал [a, b] = 0 байх нь чухал. Векторын утгын улмаас векторын загвар нь параллелограммын талбайн Sa-ыг тоон хэмжээгээр авах эрхтэй (Зураг 33), үржих векторууд дээр индукцлагдсан ба талууд ба b: 6.1. Вектор үүсгэх хүч 1. Тэг векторт вектор нэмэх нь todi ба зөвхөн векторуудын аль нэгийг авбал үрждэг векторууд нь тэг, векторууд нь коллинеар байвал (векторууд хоёулаа байх ба тэдгээр нь тэг болно. олон) ... Хэрэв та ямар нэгэн вектортой коллинеар байхын тулд тэг векторыг ашиглавал a, b векторуудын коллинеар байвал 2-ыг хувиргаж болно гэдгийг үгүйсгэхэд амархан. Үнэн, векторууд (a, b) адилхан сайн, коллинеар байж болно. Эсрэг талын векторуудын шулуун шугамууд, векторын төгсгөлийн хэсгүүд [a, b], а-аас b хүртэлх хамгийн богино эргэлт нь эсрэг талын сум харагдах үед, харин векторын төгсгөлөөс [b, a] - жилийн шугамын ард 34). 3. Векторын tvir нь огнооноос өмнөх тархалттай холбоотой байж болно 4. Векторын вектор тэмдэгт L тоон үржүүлэгчийг буруутгах боломжтой 6.2. Суурь дахь координатаар нь тодорхойлсон вектор ба ба b-ийн Hex координатаар тодорхойлогдсон векторуудын вектор нэмэх. Бүтээлийн векторын хүчийг зэврүүлээрэй, бид өгөгдсөн координатын вектор нэмэлтүүдийг мэддэг. Zmіshany tvіr. Вектор координат үүсгэх (Зураг 35): Вектор векторын хувьд а ба b векторуудыг довтолгооны виразын томъёоноос (3) таньж болно. : Карт эзэмшигчийг 1-р эгнээний элементүүдийн ард нугалж, та үүнийг хийж болно ( 4). дээр тавих. 1. Шукан талбайн векторууд дээр санал болгосон параллелограммын талбайг мэдэх. Энэ нь мэдэгдэж байгаа = од 2. Трикотын талбайг мэдэх (Зураг 36). Zrozumіlo, scho талбай б "г гурван дугуйт BAT зам талбайн хагас S параллелограмм O AS V. Олон тооны вектор хатуу биетүүд (a, b | векторууд a = OA і b = ob, энэ нь ойлгомжтой. Чухал ач холбогдолтой. , a = ss j maєmo § 7. Векторуудын аливаа өөрчлөлт Nehai maєmo гурван вектор a, b і с. Үүний үр дүнд бид [a, 1>] векторыг гаргаж чадна.Үүнийг z вектороор скаляраар үржүүлбэл: (kb), c) ([a, b], e) тоог a, b векторын өөрчлөлт гэнэ. . (a, 1), e) тэмдгээр тэмдэглэнэ. ижил талбай (a, b і с векторуудыг ерөнхийд нь coplanar гэж нэрлэдэг), дараа нь tvir-ийн өөрчлөлт ([a, b], c) = 0. Энэ нь вектор [a, b | , і вектор s. / Якшо ба t eyepieces O, A, B, C нь нэг хавтгайд хэвтэхгүй (векторууд a, b і s хос хавтгай биш), тэдгээр нь OA, OB болон OS параллелепипедийн ирмэг дээр байх болно (Зураг 38 a). Вектор үүсгэх утгуудын хувьд maєmo (a, b) = Тэгэхээр, de So нь OADB параллелограммын талбай, h нь a ба b в векторуудад перпендикуляр нэг вектор бөгөөд триика a, b, c зөв, тэгэхээр. векторууд a, b і і і і і і і іѕ энэ нь гайхалтай, тэр нь баруун гарын дунд хуруу (Зураг 38 b). Баруун талд байгаа тэгш байдлын үлдсэн хэсгийн зөрчлийг вектороор скаляраар үржүүлэх; Zmіshany tvіr. Хүссэн параллелепипедийн prc тоо голчлон h, "+" тэмдгээр авсан, векторуудын хоорондох зүсэлт нь хост (гурван a, b, c - баруун), і нь "-" тэмдэг, зүсэлт болно. дүлий (гурван a, b, c - liv), тиймээс Тим өөрөө a, b, z векторуудыг V параллелепипедийн эзэлхүүн болгон өөрчилдөг бөгөөд энэ нь гурван a, b, c - баруун гэх мэт ирмэг дээр cix векторууд дээр гарч ирдэг. , i -V, гурв шиг a , B, h - liva. Эмх замбараагүй бүтээлийн геометрийн утгаараа та хээ үүсгэж болно, гэхдээ a, b векторуудыг үржүүлж, ямар ч дарааллаар нь бид үргэлж +7, эсвэл -K-ийн аль нэгийг нь хасах болно. Тэмдэглэгээ нь Зураг. 38 Гурван багц векторууд зөв үү, үгүй ​​үү, үрждэг тул бид үүнийг тавих боломжгүй болно. Хэрэв a, b, векторууд зөв гурвыг баталгаажуулвал b, c, a, c, a, b гэсэн гурван шугам мөн зөв байх болно. Яг тэр цагт гурван гурвалсан b, a, h; a, c, b ба c, b, a - livi. Тим өөрөө, (а, б, в) = (б, в, а) = (в, а, б) = - (б, а, в) = - (а, в, б) = - (в, б) a). Зөвхөн a, b, z векторууд хоорондоо уялдаатай байх хүртэл зам дээр нэмэлт вектор байхгүй гэдгийг дахин нэг удаа зөвшөөрнө: (a, b, s coplanar) 7. 2. i, j, k суурийн өгөгдсөн координатаар a, b, із векторын Hexai координат дахь нэмэгдлийг өөрчлөх: а = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2) , c = (x3, uz, 23). Бид хорон муу амьтдын хувьд виразыг мэддэг (a, b, c). i, J үндсэн дээр координатаар нь өгөгдсөн векторуудын 3-р дараалал хүртэл маш их өөрчлөлт гардаг бөгөөд тэдгээрийн эгнээ нь векторуудаас эхний, нөгөө, гурав дахь координатуудын дагуу нугалж байна. үржүүлж байна. Y |-ийн довтолгооны дүрслэлд a y \, Z |), b = (x Y2. 22), z = (zh, uz, 23) векторуудын уялдаа холбоотой байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. z, a2 y2 -2 = 0. Апп. Засвар, энд є coplanar векторууд „= (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17). Үзэж буй вектор нь эхний эгнээнд байхгүй тул уринш дахь копланар эсвэл хосгүй байх болно. 7.3. Субстратын вектор tvir Дэд мөр вектор tvir [a, [b, c]] нь a і [b, c] векторуудад перпендикуляр вектор юм. Энэ нь b ба with векторуудын талбайд байх ёстой бөгөөд векторуудад байрлуулж болно. [a, [!>, C]] = b (a, e) - c (a, b) томъёо хүчинтэй болохыг харуулж болно. Баруун 1. Гурван вектор AB = c, F? = ойролцоогоор CA = b нь трикотын хажуугийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Гурвалсан дугуйны AM, DN, CP медиануудаар дүрслэгдсэн a, b і векторуудаар дамжуулан Виразити. 2. Би p ба q векторуудыг, дараа нь тэдгээрийн хооронд p + q dliv kut векторыг navpil холбоно гэж би яаж хэлэх вэ? Үүнийг шилжүүлж, бүх гурван векторыг zalny cob руу авчирдаг. 3. a = 5p + 2q ба b = p - 3q векторууд дээр индукцлагдсан параллелограммын диагональуудын гин хүртэл тоол, хэрэв vidomo бол хэн | p | = 2v / 2, | q | = 3 H- (p7ci) = f. 4. Ромбын хажуу талуудыг b-ээр тэмдэглээд гадна оройноос гарч ромбын диагональыг харилцан перпендикуляр болгоно. 5. a = 4i + 7j + 3k ба b = 31 - 5j + k векторуудын скаляр нэмэхийг тооцоол. 6. a = (6, 7, -6) вектортой параллель a0 дан векторыг мэдэх. 7. a = l + j-kHa векторын проекцийг мэдэх b = 21 - j - 3k вектор. 8. А (-4,0,4), В (-1,6,7), С (1,10,9) IS «w векторуудын хоорондох зүсэлтийн косинусыг мэд. 9. a = (3, 6, 8) вектор болон Ox тэнхлэгт нэг цаг перпендикуляр p ° дан векторыг мэдэх. 10. Хажуу талдаа a = 2i + J-k, b = i-3j + k yak векторууд дээр индукцлагдсан параллелофамын диагональуудын хоорондох зүсэлтийн синусыг тоол. a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k векторууд дээр санал болгосон параллелепипедийн өндөр h-ийг тооцоол, хэрэв параллелограммыг үндэс болгон авбал a ба I векторууд дээрх урамшууллыг). Відповіді

ЗМИШАНИЙ ТВОР ГУРВАН ВЕКТОРІV ТА YOGO POWER

Zmіshanim бяслаггурван вектор нь тохирох тоог нэрлэнэ. Гарын үсэг зурах ... Энд эхний хоёр векторыг вектороор, шүргэх замаар векторыг гурав дахь вектороор скаляраар үржүүлнэ. Мэдээжийн хэрэг, ийм tvir є kilka.

Муу амьтны хүч нь илт харагдаж байна.

1. Геометрийн zm_stбүтээлийн ёс бус байдал. Zmіshane tvіr 3 векторууд яг нарийнаас параллелепипедийн тэмдэг хүртэл, cich векторуудаар өдөөгдөж, ирмэг, tobto гэх мэт. ...

   Ийм зэрэглэлд, i .

   

   Доведення... Векторууд нь тэдгээр дээр параллель байх кобоос ирсэн бололтой. Чухал ач холбогдол бүхий, биширдэг, scho. Скаляр утгуудын хувьд

   Үнэнийг хэлэхэд би дамжуулан тэмдэглэсэн hпараллелепипедийн өндрийг хүртэл мэддэг.

   Энэ зэрэглэл, хамт

   Якшо, дараа нь y. Отже,.

   Обь'

   Viplivia-ийн чанарыг баталгаажуулснаар гурван вектор зөв, өөрчлөлт нь зөв, хэрэв байгаа бол - лива.

2. Аливаа векторын хувьд тэгш байдал шударга байна

   Хүчний хүчнээс сэрэмжийн хүчийг батлах 1. Шударга, і гэдгийг харуулахад амархан. Тэр болтол "+" i "-" тэмдгийг нэг шөнийн дотор авдаг, учир нь kuti mіzh векторууд ба тэр даруй gostrі abo тэнэг.

3. Хоёр үржүүлэгч өөрчлөлт байгаа эсэхийг дахин цэгцлэх үед тэмдэг өөрчлөгдөнө.

   Үнэн, хэрэв tvir дахь өөрчлөлтүүд мэдэгдэхүйц байвал, жишээ нь, эсвэл

4. Хэрэв зам дээрх үржүүлэгчдийн аль нэг нь тэг эсвэл векторууд хоорондоо уялдаатай байвал.

   Доведення.

   Үүнд 3 векторын шаардлагатай бөгөөд хангалттай оюун санааны уялдаа холбоог бий болгоход тэгтэй тэнцүү байна. Үүнээс гадна, гурван вектор нь өргөн уудам байдлын үндэс суурийг тавьсан нь гайхалтай юм.

   Хэрэв векторуудыг координат хэлбэрээр өгвөл дараах томъёоны хувьд ийм байгааг харуулж болно.

   .

   Тиймээс гурав дахь эрэмбийн зочинд өөрчлөлт орсон бөгөөд эхний мөрөнд эхний векторын координат, нөгөө мөрөнд өөр векторын координат, гурав дахь эгнээнд гурав дахь векторын координат байна.

   дээр тавих.

Сансар огторгуй дахь АНАЛИТИК ГЕОМЕТР

Ривняння F (x, y, z)орон зайн хувьд = 0 ОксизДээр нь deyaku, tobto. геометрийн янз бүрийн цэгүүд, координатууд x, y, z rivnyannya-д сэтгэл хангалуун байна. Үнэ нь гадаргуутай тэнцүү гэж нэрлэгддэг ба x, y, z- нарийн координатууд.

Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ гадаргууг тэгш байлгахыг шаарддаггүй, харин өргөн уудам байдлыг гайхшруулдаг бөгөөд энэ нь энэхүү хүчийг нууж болзошгүй юм. Мөн энд геометрийн эрх мэдэлтнүүдийн гадаргуугийн түвшинг мэдэх шаардлагатай.

БҮС.

Хэвийн талбайн ВЕКТОР.

РИВНЯННЯЫН ТАЛБАЙ, ӨГСӨН ЦЭЦЭЭР ДАМЖУУЛАХ СЧО.

Нутаг дэвсгэрийн өргөн уудам нь тодорхой. Энэ нь тухайн суурин цэгт перпендикуляр векторын тэмдэглэгээнд үндэслэсэн байх ёстой М 0(x 0, y 0, z 0), σ талбайн ойролцоо байрладаг.

σ талбайд перпендикуляр векторыг нэрлэнэ хэвийнтөв хэсгийн вектор. Векторыг координат болго.

Цэгээр дамжин өнгөрөх Виведемо хавтгай талбай σ М 0і бол ердийн вектор. σ талбайн тодорхой хэмжээний зайны хувьд тодорхой цэг M (x, y, z)мөн вектор нь харагдаж байна.

Байх цэгийн хувьд МÎ σ вектор.Үүнд їх скаляр 0-д нэмэгдэнэ. Ця пивнист - санаагаа бодоорой МÎ σ. Энэ нь цэг шиг бүхэл бүтэн талбайн бүх цэг, нуралтын хувьд үнэн юм Мσ талбайтай байрлалаа доошлуул.

Цэгийн радиус вектороор хэрхэн яаж тэмдэглэх вэ М, Энэ нь цэгийн радиус вектор юм М 0, дараа нь та вигляд дээр бичиж болно

Цэ ривнянняг дуудах хэрэгтэй векторРивнянням дүүрэг. Координат хэлбэрээр бичих боломжтой його. Оскилки, тэгвэл

Otzhe, бид otrimali rіvnyannnya талбай, scho цэгийг нэвтрүүлэх. Ийм зэрэглэлд хавтгай талбайг хамрахын тулд хэвийн векторын координат болон тухайн талбайд хэвтэх бодит цэгийн координатыг мэдэх шаардлагатай.

Талбай нь 1-р шатны түвшин болон одоогийн координаттай тэнцүү байгаа нь гайхалтай юм x, yі z.

дээр тавих.

ЗАГАЛНЭ РИВНЯННЯ ТАЛБАЙ

Декарт координат руу орох эхний алхам нь rіvnyannya шиг болохыг харуулах боломжтой. x, y, zє Rivnyannyam deyakoi бүс. Tse rivnyannya сарлаг элсүүлэх:

Ax + By + Cz + D=0

намайг дуудна гэрийн эздэдталбай, координат A, B, Cэнд є нь тухайн талбайн хэвийн векторын координат юм.

Эх орныхоо өнгө төрхийг тодорхой харах. З'ясуємо, координатын системийн талбай өөрчлөгдөх тул стандартын нэг буюу коэффициентийн тоог тэг болгон тохируулах болно.

A - tse dovzhina vіdrіzka, бид тэнхлэг дээрх талбайг харж байна Үхэр... Үүний нэгэн адил та үүнийг харуулж чадна бі в- Довжини видризкив, энэ нь тэнхлэгүүд дээр дүн шинжилгээ хийсэн талбайгаас харагдаж байна Өөі Оз.

vidrizkah ойролцоох талбайн Rivnyannyam гараар corystuvatis талбайг өдөөдөг.