Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 1

Лекція 9. Базис векторного простору.

Короткий зміст: система векторів, лінійна комбінація системи векторів, коефіцієнти лінійної комбінації системи векторів, базис на прямій, площині та у просторі, розмірності векторних просторів на прямій, площині та у просторі, розкладання вектора по базису, координати вектора щодо базису, теорема про рівність двох векторів, лінійні операції з векторами в координатній формі запису, ортонормована трійка векторів, права та ліва трійки векторів, ортонормований базис, основна теорема векторної алгебри.

Глава 9. Базис векторного простору та розкладання вектора за базисом.

п.1. Базис на прямій, на площині та у просторі.

Визначення. Будь-яке кінцеве безліч векторів називається системою векторів.

Визначення. Вираз , де
називається лінійною комбінацією системи векторів
, а числа
називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Нехай L, Р та S – пряма, площина та простір точок відповідно та
. Тоді
- Векторні простори векторів як спрямованих відрізків на прямій L, на площині Р і в просторі S відповідно.

називається будь-який ненульовий вектор
, тобто. будь-який ненульовий вектор колінеарний прямий L:
і
.

Позначення базису
:
- Базис
.

Визначення. Базисом векторного простору
називається будь-яка впорядкована пара неколлінеарних векторів простору
.

, де
,
- Базис
.

Визначення. Базисом векторного простору
називається будь-яка впорядкована трійка некомпланарних векторів (тобто не лежать в одній площині) простору
.

- Базис
.

Зауваження. Базис векторного простору не може містити нульового вектора: у просторі
за визначенням, у просторі
два вектори будуть колінеарні, якщо хоча б один із них нульовий, у просторі
три вектори будуть компланарні, тобто лежатимуть в одній площині, якщо хоча б один із трьох векторів буде нульовим.

п.2. Розкладання вектора за базисом.

Визначення. Нехай – довільний вектор,
- Довільна система векторів. Якщо виконується рівність

то кажуть, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінації цієї системи векторів. Якщо дана система векторів
є базисом векторного простору, то рівність (1) називається розкладанням вектора по базису
. Коефіцієнти лінійної комбінації
називаються в цьому випадку координатами вектора щодо базису
.

Теорема. (Про розкладання вектора за базисом.)

Будь-який вектор векторного простору можна розкласти за його базисом і єдиним способом.

Доведення. 1) Нехай L довільна пряма (або вісь) та
- Базис
. Візьмемо довільний вектор
. Так як обидва вектори і колінеарні однієї і тієї ж прямої L, то
. Скористаємося теоремою про колінеарність двох векторів. Так як
, то знайдеться (існує) таке число
, що
і тим самим ми отримали розкладання вектора по базису
векторного простору
.

Тепер доведемо єдиність такого розкладання. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
векторного простору
:

і
, де
. Тоді
та використовуючи закон дистрибутивності, отримуємо:

Так як
, то з останньої рівності випливає, що
, Ч.т.д.

2) Нехай тепер Р довільна площина та
- Базис
. Нехай
довільний вектор цієї площини. Відкладемо всі три вектори від якоїсь однієї точки цієї площини. Побудуємо 4 прямі. Проведемо пряму , на якій лежить вектор пряму
, на якій лежить вектор . Через кінець вектора проведемо пряму паралельну вектору і пряму паралельну вектору . Ці 4 прямі висікають паралелограм. нижче рис. 3. За правилом паралелограма
, і
,
,
- Базис ,
- Базис
.

Тепер, за вже доведеним у першій частині цього доказу, існують такі числа
, що

і
. Звідси отримуємо:

та можливість розкладання по базису доведено.

Тепер доведемо єдиність розкладання базисом. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
векторного простору
:
і
. Отримуємо рівність

Звідки слід
. Якщо
, то
, А т.к.
, то
та коефіцієнти розкладання рівні:
,
. Нехай тепер
. Тоді
, де
. За теоремою про колінеарність двох векторів звідси випливає, що
. Набули протиріччя умові теореми. Отже,
і
, Ч.т.д.

3) Нехай
- Базис
і нехай
довільний вектор. Проведемо такі побудови.

Відкладемо всі три базові вектори
та вектор від однієї точки та побудуємо 6 площин: площину, в якій лежать базисні вектори
, площина
та площина
; далі через кінець вектора проведемо три площини паралельно щойно побудованим трьом площинам. Ці 6 площин висікають паралелепіпед:

За правилом складання векторів отримуємо рівність:

. (1)

За побудовою
. Звідси, за теоремою про колінеарність двох векторів, випливає, що існує число
, таке що
. Аналогічно,
і
, де
. Тепер, підставляючи ці рівності (1), отримуємо:

та можливість розкладання по базису доведено.

Доведемо єдиність такого розкладання. Допустимо неприємне. Нехай є два розкладання вектора по базису
:

І. Тоді

Зауважимо, що за умовою вектори
некомпланарні, отже, вони попарно неколінеарні.

Можливі два випадки:
або
.

а) Нехай
, Тоді з рівності (3) випливає:

. (4)

З рівності (4) випливає, що вектор розкладається по базису
, тобто. вектор лежить у площині векторів
і, отже, вектори
компланарні, що суперечить умові.

б) Залишається випадок
, тобто.
. Тоді з рівності (3) отримуємо або

Так як
- базис простору векторів лежать у площині, а ми вже довели єдиність розкладання по базису векторів площини, то з рівності (5) випливає, що
і
, Ч.т.д.

Теорему доведено.

Слідство.

1) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору
і безліччю дійсних чисел R.

2) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору
та декартовим квадратом

3) Існує взаємно однозначна відповідність між безліччю векторів векторного простору
та декартовим кубом
множини дійсних чисел R.

Доведення. Доведемо третє твердження. Перші два доводяться аналогічно.

Виберемо та зафіксуємо у просторі
якийсь базис
і влаштуємо відображення
за наступним правилом:

тобто. кожному вектору поставимо у відповідність упорядкований набір координат.

Так як при фіксованому базисі кожен вектор має єдиний набір координат, то відповідність, що задається правилом (6), дійсно є відображенням.

З доказу теореми випливає, різні вектори мають різні координати щодо однієї й тієї ж базису, тобто. відображення (6) є ін'єкцією.

Нехай
довільний упорядкований набір дійсних чисел.

Розглянемо вектор
. Цей вектор має координати
. Отже, відображення (6) є сюр'єкцією.

Відображення, яке одночасно ін'єктивне та сюр'єктивне є бієктивним, тобто. взаємно однозначним, ч.т.д.

Слідство доведено.

Теорема. (Про рівність двох векторів.)

Два вектори рівні тоді й лише тоді, коли рівні їхні координати щодо однієї базису.

Доказ одразу ж випливає із попереднього слідства.

п.3. Розмір векторного простору.

Визначення. Число векторів у базисі векторного простору називається його розмірністю.

Позначення:
- Розмірність векторного простору V.

Таким чином, у відповідність до цього та попередніх визначень, маємо:

1)
- Векторний простір векторів прямої L.

- Базис
,
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координата вектора щодо базису
.

2)
- Векторний простір векторів площини Р.

- Базис
,
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координати вектора щодо базису
.

3)
– векторний простір векторів у просторі точок S.

- Базис
,
,
- Розкладання вектора
по базису
,
– координати вектора щодо базису
.

Зауваження. Якщо
, то
і можна вибрати базис
простору
так що
- Базис
і
- Базис
. Тоді
, і
, .

Таким чином, будь-який вектор прямої L, площини Р та простору S можна розкласти по базису
:

Позначення. У силу теореми про рівність векторів, ми можемо ототожнити будь-який вектор із впорядкованою трійкою дійсних чисел та писати:

Це можливо лише в тому випадку, коли базис
фіксований і нема небезпеки сплутатися.

Визначення. Запис вектора у вигляді впорядкованої трійки дійсних чисел називають координатною формою запису вектора:
.

п.4. Лінійні операції з векторами в координатній формі запису.

Нехай
– базис простору
і
– два його довільні вектори. Нехай
і
– запис цих векторів у координатній формі. Нехай, далі,
- Довільне дійсне число. У цих позначеннях має місце така теорема.

Теорема. (Про лінійні операції з векторами в координатній формі.)

2)
.

Іншими словами, для того, щоб скласти два вектори, потрібно скласти їх відповідні координати, а щоб помножити вектор на число, потрібно кожну координату даного вектора помножити на дане число.

Доведення. Оскільки за умовою теореми , то використовуючи аксіоми векторного простору, яким підкоряються операції складання векторів і множення вектора на число, отримуємо:

Звідси випливає .

Аналогічно доводиться друга рівність.

Теорему доведено.

п.5. Ортогональних векторів. Ортонормований базис.

Визначення. Два вектори називаються ортогональними, якщо кут з-поміж них дорівнює прямому куту, тобто.
.

Позначення:
- Вектори і ортогональні.

Визначення. Трійка векторів
називається ортогональною, якщо ці вектори попарно ортогональні один одному, тобто.
,
.

Визначення. Трійка векторів
називається ортонормованою, якщо вона ортогональна і довжини всіх векторів дорівнюють одиниці:
.

Зауваження. З визначення слідує, що ортогональна і, отже, ортонормована трійка векторів є некомпланарною.

Визначення. Впорядкована некомпланарна трійка векторів
, відкладених від однієї точки, називається правою (правоорієнтованою), якщо при спостереженні з кінця третього вектора на площину, в якій лежать перші два вектори і , найкоротший поворот першого вектора до другого відбувається проти годинникової стрілки. В іншому випадку трійка векторів називається лівою (лівоорієнтованою).

Тут, на рис.6 зображено праву трійку векторів
. На наступному рис.7 зображено ліву трійку векторів
:

Визначення. Базис
векторного простору
називається ортонормованим, якщо
ортонормована трійка векторів.

Позначення. Надалі ми користуватимемося правим ортонормованим базисом.
див. наступний малюнок.

Лінійна залежність та лінійна незалежність векторів.
Векторні бази. Афінна система координат

В аудиторії знаходиться візок із шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка – аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У цій статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони вживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! …млинець, ну і нісенітниця суперечок. Хоча гаразд, забивати не буду, зрештою, на навчання має бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторівта ін терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчний сенс. Саме поняття «вектор» з погляду лінійної алгебри – це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині чи просторі. За доказом далеко не треба ходити, спробуйте намалювати вектор п'ятивимірного простору. . Або вектор погоди, за яким я щойно сходив на Гісметео: – температура та атмосферний тиск відповідно. Приклад, звичайно, некоректний з точки зору властивостей векторного простору, проте ніхто не забороняє формалізувати дані параметри вектором. Дихання осені.

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозумітивизначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) придатні до всіх векторів з точки зору алгебри , але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно та наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитись з уроками Вектори для чайниківі Як визначити обчислювач?

Лінійна залежність та незалежність векторів площини.
Базис площини та афінна система координат

Розглянемо площину комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, стільниця має довжину і ширину, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектори. Одного вектора явно мало, три вектори – зайва.

2) На основі обраного базису встановити систему координат(координатну сітку), щоб присвоїти координати всім предметам, що знаходяться на столі.

Не дивуйтесь, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої рукина край стільниці так, щоб він дивився на монітор. Це буде вектор. Тепер помістіть мізинець правої рукина край столу так само - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Усміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? Дані вектори колінеарні, а значить, лінійновиражаються один через одного:
, ну, чи навпаки: , де – деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна переглянути на уроці Вектори для чайниківде я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди одномунапрямку, а площина має довжину і ширину.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають те що, що у математичних рівняннях, висловлюваннях немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів тощо. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вирази та залежності.

Два векторні площині лінійно залежнітоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут крім 0 або 180 градусів. Два векторні площинілінійно незалежні в тому і лише тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не треба бентежитись, що базис вийшов «косим» з неперпендикулярними векторами різної довжини. Незабаром ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут 90 градусів, і не тільки одиничні, рівні за довжиною вектори.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномрозкладається по базису:
, де - дійсні числа. Числа називають координатами векторау цьому базисі.

Також кажуть, що векторпредставлений у вигляді лінійної комбінаціїбазисних векторів. Тобто вираз називають розкладання векторапо базисуабо лінійною комбінацієюбазових векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений за ортонормованим базисом площини, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

Сформулюємо визначення базисуформально: Базисом площининазивається пара лінійно незалежних (неколлінеарних) векторів, , при цьому будь-якийВектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Істотним моментом визначення є той факт, що вектори взяті у певному порядку. Базиси – це два абсолютно різні базиси! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставиш на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку та присвоїти координати кожному предмету вашого комп'ютерного столу. Чому замало? Вектори є вільними та блукають по всій площині. То як привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправний орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка – початок координат. Розбираємось із системою координат:

Почну зі «шкільної» організації. Вже на вступному уроці Вектори для чайниківя виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат та ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутної системи координат, то найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі та масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковій системі «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам розповідатимуть про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, складається враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормований базис. І це майже так. Формулювання звучить так:

початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат площини . Тобто прямокутна система координат однозначновизначається єдиною точкою та двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому ви бачите креслення, яке я привів вище – в геометричних завданнях часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) та ортонормованого базису БУДЬ-ЯКІЙ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ ВЕКТОРУ площиніможна присвоїти координати. Образно кажучи, "на площині все можна пронумерувати".

Чи мають координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку та два ортогональні вектори довільної ненульової довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площини будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, або . Очевидна незручність полягає в тому, що координатні вектори у загальному випадкумають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормований базис.

! Примітка : в ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площини та простору одиниці по осях вважаються УМОВИМИ. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даної інформації достатньо, щоб при необхідності перевести «нестандартні» координати «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на яке вже насправді дана відповідь – чи обов'язково кут між базисними векторами має дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базові вектори повинні бути лише неколінеарними. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 та 180 градусів.

Точка площини, яка називається початком координат, і неколінеарнівектори , , задають афінну систему координат площини :

Іноді таку систему координат називають косокутноїсистемою. Як приклади на кресленні зображені точки та вектори:

Як розумієте, афінна система координат ще менш зручна, у ній не працюють формули довжин векторів та відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила складання векторів і множення вектора на число, формули поділу відрізка в даному відношенні, а також деякі типи завдань, які ми швидко розглянемо.

А висновок такий, що найзручнішим окремим випадком афінної системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться бачити. …Втім, все в цьому житті відносно – існує чимало ситуацій, в яких доречна саме косокутна (або якась інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоїдам такі системи можуть прийтись до смаку =)

Переходимо до практичної частини. Усі завдання даного уроку справедливі як прямокутної системи координат, так загального афінного випадку. Складного тут немає, весь матеріал доступний навіть школяру.

Як визначити колінеарність векторів площини?

Типова річ. Для того, щоб два вектори площині були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їхні відповідні координати були пропорційними. Фактично, це покоординатная деталізація очевидного співвідношення .

Приклад 1

а) Перевірити, чи колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувались рівності:

Обов'язково розповім про «піжонський» різновид застосування цього правила, який цілком прокочує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб одразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію із відносин відповідних координат векторів:

Скорочуємо:
, таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати те, що колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. У цьому випадку мають місце рівності . Їхня справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на колінеарність вектори . Складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , з другого рівняння випливає, що , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не є пропорційними.

Висновок: вектори лінійно незалежні та утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
, Отже, ці вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант бракують рецензенти, але виникає проблема у випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Справді, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я назвав спрощене рішення «піжонським».

Відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдено через пропорцію.

Існує витончений метод алгебри перевірки векторів на колінеарність., систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом якраз додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори не колінеарні;

+ 5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базис;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно виразити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі терміни і твердження, що зустрілися.

Розглянемо докладніше новий, п'ятий пункт: два вектори площині колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування цієї ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

ВирішимоПриклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, отже, ці вектори колінеарні.

б) Два вектори площини утворюють базис, якщо вони колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше та симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

З допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати як колінеарність векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань із конкретними геометричними фігурами.

Приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограмом.

Доведення: Креслення в задачі будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним Згадуємо визначення паралелограма:
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, необхідно довести:
1) паралельність протилежних сторін та ;
2) паралельність протилежних сторін та .

Доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов той самий вектор («по шкільному» – рівні вектори). Колінеарність дуже очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений координат векторів :
, Отже, ці вектори колінеарні, і .

Висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, отже, він є паралелограмом за визначенням. Що й потрібно було довести.

Більше фігур хороших та різних:

Приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для суворішого формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання самостійного рішення. Повне рішення наприкінці уроку.

А тепер настав час потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити колінеарність векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектори простору були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційними.

Приклад 5

З'ясувати, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи є коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, отже вектори не колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
– відповідні координати не пропорційні, отже вектори не колінеарні.

Відповідь:вектори не колінеарні.

б-в) Це пункти самостійного рішення. Спробуйте оформити його двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на колінеарність та через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлено у статті Векторний твір векторів.

Аналогічно плоскому випадку розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність та незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис та афінна система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і простору. Я постарався мінімізувати конспект з теорії, оскільки левова частка інформації вже розжована. Тим не менш, рекомендую уважно прочитати вступну частину, оскільки з'являться нові терміни та поняття.

Тепер замість площини комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому разі нам нікуди не подітися від трьох вимірів: ширини, довжини та висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторові вектори. Одного-двох векторів мало, четвертий – зайвий.

І знову розминаємось на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні боки великий, вказівний та середній палець. Це будуть вектори, вони дивляться у різні боки, мають різну довжину та мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таке викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не подітися =)

Далі поставимо важливе питання, будь-які три вектори утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектори розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас зник один із вимірів – висота. Такі вектори є компланарнимиі цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори нічого не винні лежати у одній площині, можуть перебувати у паралельних площинах (тільки робіть цього з пальцями, так відривався лише Сальвадор Далі =)).

Визначення: вектори називаються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такої площини не існує, то вектори будуть не компланарні.

Три компланарні вектори завжди лінійно залежнітобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову припустимо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарні, можуть бути ще колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори не колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (а чому легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливе та зворотне твердження: три некомпланарні вектори завжди лінійно незалежні, тобто аж ніяк не виражаються один через одного. І, очевидно, лише такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

Визначення: Базисом тривимірного просторуназивається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих у певному порядкупри цьому будь-який вектор простору єдиним чиномрозкладається по даному базису , де координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінаціїбазових векторів.

Поняття системи координат вводиться так само, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки та будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарнівектори , взяті у певному порядку, задають афінну систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і малозручна, але побудована система координат дозволяє нам однозначновизначити координати будь-якого вектора та координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в афінній системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінної системи координат є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованийбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайоме зображення:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні такі твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори не компланарні;
4) вектори не можна лінійно виразити один через одного;
5) визначник, складений координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, гадаю, зрозумілі.

Лінійна залежність/незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Практичні завдання, що залишилися, носитимуть яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійною алгебри:

Три векторні просторукомпланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів, дорівнює нулю : .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки у стовпці, а й у рядки (значення визначника від цього не зміниться – див. властивості визначників). Але набагато краще у стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один із моїх найстаріших уроків: Як визначити обчислювач?

Приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника

а) Обчислимо визначник, складений із координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Отже, вектори лінійно незалежні (не компланарні) і утворюють базис тривимірного простору.

Відповідь: дані вектори утворюють базис

б) Це пункт самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Трапляються і творчі завдання:

Приклад 7

За якого значення параметра вектори будуть компланарні?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений координат даних векторів дорівнює нулю:

Фактично, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися мінусів:

Проводимо подальші спрощення та зводимо справу до найпростішого лінійного рівняння:

Відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення у вихідний визначник та переконатися, що , розкривши його наново.

На закінчення розглянемо ще одну типову задачу, яка носить більше алгебраїчний характер і зазвичай включається до курсу лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує на окремий топік:

Довести, що 3 вектори утворюють базис тривимірного простору
та знайти координати 4-го вектора в даному базисі

Приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору та знайти координати вектора у цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємось з умовою За умовою дано чотири вектори, і, як бачите, вони вже мають координати в деякому базисі. Який це базис – нас не цікавить. А цікавить така річ: три вектори цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прикладу 6, необхідно перевірити, чи вектори справді лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений координат векторів :

, Отже, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

! Важливо : координати векторів обов'язковозаписуємо у стовпцівизначника, а не в рядки. Інакше буде плутанина у подальшому алгоритмі розв'язання.

Вираз виду називається лінійною комбінацією векторів A 1 , A 2 ,...,A nз коефіцієнтами λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Визначення лінійної залежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно залежною, якщо існує ненульовий набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n, при якому лінійна комбінація векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору, Тобто система рівнянь: має ненульове рішення.
Набір чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n є ненульовим, якщо хоча б одне з чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n на відміну від нуля.

Визначення лінійної незалежності системи векторів

Система векторів A 1 , A 2 ,...,A nназивається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація цих векторів λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nдорівнює нульовому вектору лише за нульового набору чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , Тобто система рівнянь: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θмає єдине нульове рішення.

Приклад 29.1

Перевірити, чи є лінійно залежною система векторів

Рішення:

1. Складаємо систему рівнянь:

2. Вирішуємо її методом Гауса. Перетворення Жордано системи наведено у таблиці 29.1. При розрахунку праві частини системи не записуються оскільки вони дорівнюють нулю і за перетвореннях Жордана не змінюються.

3. З останніх трьох рядків таблиці записуємо дозволену систему, рівносильну вихіднійсистемі:

4. Отримуємо загальне рішення системи:

5. Задавши на власний розсуд значення вільної змінної x 3 =1, отримуємо приватне ненульове рішення X = (-3,2,1).

Відповідь: Таким чином, при ненульовому наборі чисел (-3,2,1) лінійна комбінація векторів дорівнює нульовому вектору -3A1+2A2+1A3=Θ. Отже, система векторів лінійно залежна.

Властивості систем векторів

Властивість (1)
Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із векторів розкладається за іншими і, навпаки, якщо хоча б один із векторів системи розкладається за іншими, система векторів лінійно залежна.

Властивість (2)
Якщо якась підсистема векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Властивість (3)
Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

Властивість (4)
Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

Властивість (5)
Система m-мірних векторів завжди є лінійно залежною, якщо число векторів n більше їх розмірності (n>m)

Базис системи векторів

Базисом системи векторів A 1 , A 2 ,..., A n називається така підсистема B 1 , B 2 ,...,B r(кожен із векторів B 1 ,B 2 ,...,B r є одним із векторів A 1 , A 2 ,..., A n) , яка задовольняє наступним умовам:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлінійно-незалежна система векторів;
2. будь-який вектор A j системи A 1 , A 2 ,..., A n лінійно виражається через вектори B 1 ,B 2 ,...,B r

r- Число векторів входять в базис.

Теорема 29.1 Про одиничний базис системи векторів.

Якщо система m-мірних векторів містить m різних одиничних векторів E 1 E 2 ,..., E m , всі вони утворюють базис системи.

Алгоритм знаходження базису системи векторів

Для того, щоб знайти базис системи векторів A 1 ,A 2 ,...,A n необхідно:

• Скласти відповідну систему векторів однорідну систему рівнянь A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Навести цю систему

Лінійною комбінацією векторів називається вектор
, де 1, ... , m - довільні коефіцієнти.

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо існує її лінійна комбінація, рівна , В якій є хоча б один ненульовий коефіцієнт.

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо в будь-якій її лінійній комбінації, що дорівнює всі коефіцієнти нульові.

Базисом системи векторів
називається її непуста лінійно незалежна підсистема, якою можна висловити будь-який вектор системи.

П р і м е р 2. Знайти базис системи векторів = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) і виразити інші вектори через базис.

Розв'язання. Будуємо матрицю, в якій координати даних векторів розташовуємо по стовпцях. Наводимо її до ступінчастого вигляду.

~
~
~
.

Базис даної системи утворюють вектори ,,, Яким відповідають провідні елементи рядків, виділені кружками. Для вираження вектора вирішуємо рівняння x 1 +x 2 + x 4 =. Воно зводиться до системи лінійних рівнянь, матриця якої виходить із вихідною перестановкою стовпця, що відповідає на місце стовпця вільних членів. Тому для вирішення системи використовуємо отриману матрицю у ступінчастому вигляді, зробивши в ній необхідні перестановки.

Послідовно знаходимо:

x1+4=3, x1=-1;

= -+2.

Примітка 1. Якщо потрібно виразити через базис кілька векторів, то для кожного з них будується відповідна система лінійних рівнянь. Ці системи відрізнятимуться лише стовпцями вільних членів. Тому для вирішення їх можна скласти одну матрицю, в якій буде кілька стовпців вільних членів. У цьому кожна система вирішується незалежно від інших.

Зауваження 2. Для вираження будь-якого вектора достатньо використовувати лише базисні вектори системи, що стоять перед ним. При цьому немає необхідності переформовувати матрицю, достатньо поставити вертикальну межу в потрібному місці.

2. Знайти базис системи векторів і виразити інші вектори через базис:

а) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

б) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

в) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Фундаментальна система рішень

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо її вільні члени рівні нулю.

Фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис безлічі її розв'язків.

Нехай дано неоднорідну систему лінійних рівнянь. Однорідною системою, асоційованою з цією, називається система, отримана з цією заміною всіх вільних членів на нулі.

Якщо неоднорідна система спільна і невизначена, то її довільне рішення має вигляд f н +  1 f о1 + ... +  k f о k ,деf н – приватне рішення неоднорідної системи і f о1 , ... , f о k – фундаментальна система рішень асоційованої однорідної системи

П р і м е р 3. Знайти окреме рішення неоднорідної системи з прикладу 1 та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи.

Рішення. Запишемо рішення, отримане в прикладі 1, у векторному вигляді і розкладемо вектор, що вийшов, у суму за вільними параметрами, що є в ньому, і фіксованим числовим значенням:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + + (-2, 0, 1, 0) = a (-2, 1, 0, 0) + b (7, 0, -2, 1) + (- 2, 0, 1, 0 ).

Отримуємо f н = (-2, 0, 1, 0), f о1 = (-2, 1, 0, 0), f о2 = (7, 0, -2, 1).

Зауваження. Аналогічно вирішується завдання знаходження фундаментальної системи рішень однорідної системи.

3.1 Знайти фундаментальну систему рішень однорідної системи:

а)

б)

в) 2x1 – x2+3x3=0.

У п р а ж н е н ня 3.2. Знайти приватне рішення неоднорідної системи та фундаментальну систему рішень асоційованої однорідної системи:

а)

б)

Знайти базис системи векторів і вектори, що не входять до базису, розкласти по базису:

а 1 = {5, 2, -3, 1}, а 2 = {4, 1, -2, 3}, а 3 = {1, 1, -1, -2}, а 4 = {3, 4, -1, 2}, а 5 = {13, 8, -7, 4}.

Рішення. Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 + а 4 х 4 + а 5 х 5 = 0

або у розгорнутому вигляді .

Вирішуватимемо цю систему методом Гауса, не змінюючи місцями рядки і стовпці, і, крім того, вибираючи головний елемент не у верхньому лівому кутку, а по всьому рядку. Завдання полягає в тому, щоб виділити діагональну частину перетвореної системи векторів.

~ ~

~ ~ ~ .

Дозволена система векторів, рівносильна вихідній, має вигляд

а 1 1 х 1 + а 2 1 х 2 + а 3 1 х 3 + а 4 1 х 4 + а 5 1 х 5 = 0 ,

де а 1 1 = , а 2 1 = , а 3 1 = , а 4 1 = , а 5 1 = . (1)

Вектори а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 утворюють діагональну систему. Отже, вектори а 1 , а 3 , а 4 утворюють базис системи векторів а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Розкладемо тепер вектори а 2 і а 5 за базисом а 1 , а 3 , а 4 . Для цього спочатку розкладемо відповідні вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 маючи на увазі, що коефіцієнтами розкладання вектора по діагональній системі є його координати x i.

З (1) маємо:

а 2 1 = а 3 1 · (-1) + а 4 1 · 0 + а 1 1 ·1 => а 2 1 = а 1 1 – а 3 1 .

а 5 1 = а 3 1 · 0 + а 4 1 · 1 + а 1 1 ·2 => а 5 1 = 2а 1 1 + а 4 1 .

Вектори а 2 і а 5 розкладаються за базисом а 1 , а 3 , а 4 з тими ж коефіцієнтами, що вектори а 2 1 і а 5 1 за діагональною системою а 1 1 , а 3 1 , а 4 1 (ті коефіцієнти x i). Отже,

а 2 = а 1 – а 3 , а 5 = 2а 1 + а 4 .

Завдання. 1.Знайти базис системи векторів і вектори, що не входять до базису, розкласти по базису:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Знайти всі базиси системи векторів:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.