พลังของการสร้างสเกลาร์

เวกเตอร์สเกลาร์, vznachennya, การปกครอง

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

เวกเตอร์ แนวคิดพื้นฐาน การกำหนด การดำเนินการเชิงเส้นกับพวกมัน

คู่ของจุดїїเรียกว่าเวกเตอร์บนระนาบซึ่งในกรณีนี้จุดแรกเรียกว่าซังและปลายอีกด้านหนึ่ง - เวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าเท่ากันเพราะกลิ่นเหม็นเท่ากันและกำกับร่วมกัน

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า co-direction เพราะพวกมันถูกกำกับร่วมกับเวกเตอร์เดียวกันที่ไม่อยู่บนเส้นตรงนี้

เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวหรือบนเส้นคู่ขนานเรียกว่า เส้นตรง และเส้นแนวตั้ง (collinear) ซึ่งไม่มีทิศทางร่วมกัน เรียกว่า เส้นตรงขนาน

เวกเตอร์ที่วางตั้งฉากกับเส้นเรียกว่ามุมฉาก

นัดรับ 5.4. ซูโม่ a+b vector_v เอ і ข เรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งอยู่บนซังของเวกเตอร์ แต่ ที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ ข , เช่นเดียวกับ cob vector ข zbіgaєtsyaกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ แต่ .

นัดหมาย 5.5. ค้าปลีก เอ - บี vector_v แต่ і ข เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ชม ซึ่งเป็นผลรวมของเวกเตอร์ ข ใช่เวกเตอร์ แต่ .

การนัดหมาย 5.6. ทวรมk เอ เวกเตอร์ แต่ ต่อจำนวน kเรียกว่าเวกเตอร์ ข , collinear vector แต่ , โมดูลคืออะไร, ดีอย่างไร | k||เอ |, ตรงนั่น, scho zbіgaєtsya s ตรง | แต่ ที่ k>0 ฉันยาว แต่ ที่ k<0.

พลังของการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข:

อำนาจ 1 k(a+b ) = k เอ+ k ข.

พาวเวอร์2 (k+m)เอ = k เอ+ ม เอ.

อำนาจ 3 k(m เอ) = (กม.)เอ .

ผลที่ตามมา เหมือนเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ і ข collinear แล้วนี่คือตัวเลข k, อะไร ข= k เอ.

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว เอі ขเรียกตัวเลข (สเกลาร์) ซึ่งช่วยให้เพิ่มเวกเตอร์สองตัวโดยโคไซน์ของคัท φ ระหว่างพวกมัน scalar tvir สามารถกำหนดได้หลายวิธี เช่น like อะบี, เอ · ข, (เอ , ข), (เอ · ข). ในลำดับนี้ scalar dobutok มีราคาแพงกว่า:

เอ · ข = |เอ| · | ข| cos φ

หากเราต้องการให้เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเป็นศูนย์ ก็ให้บวกสเกลาร์กับศูนย์

พลังของการเปลี่ยนแปลง: เอ · ข = ข · เอ(ประเภทของการเรียงสับเปลี่ยนของตัวคูณในสเกลาร์ทเวียร์ไม่เปลี่ยนแปลง);

·พลังของrozpodіlu: เอ · ( ข · ค) = (เอ · ข) · ค(ผลไม่ได้อยู่ในลำดับการคูณ);

พลังประจำวัน (ตัวคูณสเกลาร์หลายร้อยตัว): (λ เอ) · ข = λ ( เอ · ข).

พลังของมุมฉาก (ตั้งฉาก): เป็นเวกเตอร์ เอі ขไม่ใช่ศูนย์ การขยายสเกลาร์เท่ากับศูนย์ เฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์เป็นมุมฉาก (ตั้งฉากหนึ่งต่อหนึ่ง) เอ ┴ ข;

พลังของสี่เหลี่ยม: เอ · เอ = เอ 2 = |เอ| 2 (สเกลาร์สร้างเวกเตอร์เองจากตัวมันเองไปยังกำลังสองของโมดูลที่ th);

วิธีการประสานงานเวกเตอร์ เอ=(x 1 , y 1 , z 1 ) ข=(x 2 , y 2 , z 2 ) จากนั้นสเกลาร์เพิ่มเติม เอ · ข= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

เวกเตอร์ของเวกเตอร์ การนัดหมาย: ภายใต้การสร้างเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวและเวกเตอร์หนึ่งตัว เป็นที่เข้าใจกันว่า:

โมดูลของพื้นที่เพิ่มเติมของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากเวกเตอร์เหล่านี้ tobto , ตัดระหว่างเวกเตอร์ ta

เวกเตอร์ Tsey ของเวกเตอร์ตั้งฉาก, ซึ่งถูกคูณ, tobto

เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นเส้นตรง กลิ่นเหม็นจึงเป็นไปตามสิทธิของเวกเตอร์ตรีเอกานุภาพ

พลังของการสร้างเวกเตอร์:

1. เมื่อเปลี่ยนลำดับของตัวคูณของ vector TV คุณเปลี่ยนสัญญาณการส่งคืนของคุณเอง บันทึกโมดูล tobto

2 .Vector square เท่ากับ zero-vector, tobto

3 . ตัวคูณสเกลาร์สามารถตำหนิสำหรับสัญลักษณ์ของการสร้างเวกเตอร์, tobto

4 . สำหรับเวกเตอร์สามตัวใด ๆ ความเท่าเทียมกันนั้นยุติธรรม

5 . การประสานกันทางจิตที่จำเป็นและเพียงพอของเวกเตอร์สองตัวและ:

การนัดหมาย. การสร้างเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a (ตัวคูณ) บนเวกเตอร์ collinear yoma (ตัวคูณ) คือเวกเตอร์ที่สาม z (tvir) ซึ่งจะเป็นอันดับที่น่ารังเกียจ:

1) โมดูลที่ th มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานในรูปที่ 155);

3) ทิศทางที่เลือกเวกเตอร์ (จากสองทิศทางที่เป็นไปได้) เพื่อให้เวกเตอร์รวมกันเป็นระบบที่ถูกต้อง (§ 110)

ชื่อ: abo

นอกเหนือจากการนัดหมาย เนื่องจากเวกเตอร์เป็นแบบ collinear ดังนั้นตัวเลขจึงเป็น vvazhayuchi її (ทางจิตใจ) โดยสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีแอตทริบิวต์อย่างมากกับพื้นที่ศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์คอมพลีเมนต์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์จึงเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

Oskіlki null-vector สามารถกำหนดได้ไม่ว่าจะเป็นแบบตรงหรือไม่ก็ตามเพราะไม่ใช่ superechit จุดที่ 2 และ 3 ของการมอบหมาย

ความเคารพ 1 ในคำว่า "vector tvir" คำแรกระบุว่าผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (ตรงกันข้ามกับการสร้างสเกลาร์ povn. § 104, ค่านิยม 1)

แอปพลิเคชั่น 1. รู้จักเวกเตอร์ทีวี, เวกเตอร์หลัก และระบบพิกัดที่ถูกต้อง (รูปที่ 156)

1. เศษของเวกเตอร์หลักเท่ากับหน่วยมาตราส่วน จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จะเท่ากับหนึ่ง Otzhe โมดูลของ vector dobootka นั้นมีราคาแพงกว่า

2. ดังนั้น ในแนวตั้งฉากกับระนาบ แกนของสัญญาณรบกวนนั้นคือ vector tvir, เวกเตอร์, เวกเตอร์ collinear; กลิ่นเหม็นที่น่ารังเกียจมากขึ้นสามารถโมดูล 1 จากนั้น shukaniy vector dobutok dorіvnyuєหรือ k หรือ -k

3. จากเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งสองแบบ จำเป็นต้องเลือกอันแรก เพื่อให้เวกเตอร์สร้างระบบที่ถูกต้อง (และเวกเตอร์ที่เหลือ)

ตัวอย่างที่ 2 รู้จักเวกเตอร์ TV

สารละลาย. เช่นเดียวกับก้น 1 เราใส่ว่าเวกเตอร์ดีหรือ k หรือ -k แต่ตอนนี้ คุณต้องเลือก -k เพื่อให้เวกเตอร์ทำให้ระบบถูกต้อง (และเวกเตอร์ไปทางซ้าย) ออตเช่

ก้น 3 เวกเตอร์สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ถึง 80 และ 50 ซม. และตัดได้ถึง 30° ใช้เมตรเดียวเป็นหน่วยเดียว รู้คุณค่าของการสร้างเวกเตอร์

สารละลาย. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเวกเตอร์นั้นดี

ตัวอย่างที่ 4 หากต้องการทราบความยาวของการสร้างเวกเตอร์นั้นเงียบกว่าเวกเตอร์เอง โดยใช้ความยาวของเซนติเมตรเป็นหน่วย

สารละลาย. เศษของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน, pobudovanogo vectors dorіvnyuєจากนั้น dozhina vector dobutku dorіvnyuє 2000 divas, tobto

จากลำดับของแอปพลิเคชัน 3 และ 4 เป็นที่ชัดเจนว่าจะหาค่าของเวกเตอร์เป็นการรวมกันของสัมประสิทธิ์ของปัจจัยและการเลือกค่าเดียวของค่า

การเปลี่ยนแปลงทางกายภาพของการสร้างเวกเตอร์จากปริมาณทางกายภาพเชิงตัวเลขที่แสดงโดยการสร้างเวกเตอร์ เราจะเห็นโมเมนต์ของแรงเท่านั้น

ให้ A เป็นจุดรายงานแรง โมเมนต์ของแรงที่จุด O เรียกว่า vector TV Oskilki โมดูลของการสร้างเวกเตอร์นี้มีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 157) จากนั้นโมดูลของ ช่วงเวลามีค่าเท่ากับการเพิ่มฐานไปยังความสูง จากนั้นแรง คูณด้วยระยะห่างจากจุด O ถึงเส้นตรง แรง vzdovzh kakoїdіє

มันจะต้องถูกนำไปที่กลศาสตร์ว่าจำเป็นต้องทำให้ร่างกายแข็งแรงเท่ากันซึ่งควรจะเท่ากับศูนย์เป็นผลรวมของเวกเตอร์ราวกับว่าแรงที่ใช้กับร่างกาย แต่ยังรวมถึงผลรวมของโมเมนต์ของแรงด้วย ในกรณีนั้น หากแรงทั้งหมดขนานกับระนาบเดียว การพับเวกเตอร์ที่แสดงโมเมนต์ คุณสามารถเปลี่ยนการเพิ่มโมดูลที่มองเห็นได้เหล่านั้น แต่สำหรับแรงโดยตรงที่มากขึ้น การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ ขึ้นอยู่กับอินพุตเวกเตอร์ที่กำหนดให้กับตัวเองเป็นเวกเตอร์ ไม่ใช่เป็นตัวเลข

เวกเตอร์ vitvir- tse pseudovector ตั้งฉากกับระนาบ pobudovanoїบนสอง spіvmultipliersซึ่งเป็นผลมาจากการดำเนินการไบนารี "การคูณเวกเตอร์" เหนือเวกเตอร์ในพื้นที่ Euclidean เล็กน้อย Vectorial TV ไม่มีพลังของการสลับสับเปลี่ยนและการเชื่อมโยงกัน (є anticommutative) i บนvіdmіnuกับการสร้างสเกลาร์ของ vectorіv, є vector โดดเด่นด้วยการเพิ่มเติมทางเทคนิคและทางกายภาพที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ของแรงกระตุ้นและแรงลอเรนซ์ถูกเขียนทางคณิตศาสตร์เป็นเวกเตอร์ ส่วนขยายเวกเตอร์ของ corisny สำหรับการ "ย้อนกลับ" การตั้งฉากของเวกเตอร์ - โมดูลของส่วนขยายเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวไปยังส่วนขยายเพิ่มเติมของโมดูลของพวกเขาเนื่องจากตั้งฉากและเปลี่ยนเป็นศูนย์เนื่องจากเวกเตอร์ขนานหรือต้านขนาน .

เป็นไปได้ที่จะคำนวณเวกเตอร์เวกเตอร์ในวิธีที่ต่างออกไป และในทางทฤษฎี ในอวกาศ ไม่ว่าจะเป็นมิติ n ก็สามารถคำนวณเวกเตอร์ n-1 ได้ โดยเอาเวกเตอร์เดี่ยวๆ ของมัน ตั้งฉากกับพวกมันทั้งหมด แต่ถ้าทีวีล้อมรอบด้วยการสร้างไบนารีที่ไม่สำคัญด้วยผลลัพธ์แบบเวกเตอร์แล้วเวกเตอร์ทีวีแบบดั้งเดิมจะถูกกำหนดให้กับช่องว่างเล็กน้อยและเจ็ดโลกเท่านั้น ผลลัพธ์ของการสร้างเวกเตอร์ เช่นเดียวกับสเกลาร์ อยู่ในเมตริกอวกาศแบบยุคลิด

ในทางกลับกัน ในรูปแบบของสูตรสำหรับคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดแบบเรียกซ้ำแบบสเกลาร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติ

การนัดหมาย:
ส่วนเสริมเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a เวกเตอร์ b ในช่องว่าง R 3 เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่งตอบสนอง vimog ที่จะเกิดขึ้น:
ความยาวของเวกเตอร์ c ขยายไปถึงความยาวของเวกเตอร์ a และ b โดยไซน์ของการตัดระหว่างพวกมัน:
|c|=|a||b|บาป φ;
เวกเตอร์ c เป็นฉากตั้งฉากกับเวกเตอร์สกิน s a และ b;
เวกเตอร์ c ของการแก้ไขเพื่อให้ทรินิตี้ของเวกเตอร์ใน abc ถูกต้อง
ช่องว่าง R7 ต้องการการเชื่อมโยงของเวกเตอร์สามตัว a, b, c
การกำหนด:
ค===a×b

มล. 1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับโมดูลของการสร้างเวกเตอร์

พลังทางเรขาคณิตของศิลปะเวกเตอร์:
ความเชื่อมโยงทางจิตที่จำเป็นและเพียงพอของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวนั้นเท่ากับศูนย์สำหรับการสร้างเวกเตอร์ของพวกมัน

โมดูลสร้างสรรค์เวกเตอร์ พื้นที่dorivnyuє สสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้รับแรงบันดาลใจจากเวกเตอร์ลดลงเป็น cob เอі ข(Div. รูปที่ 1).

ยักโช อี- เวกเตอร์เดี่ยว, เวกเตอร์มุมฉาก เอі ขและไวเบรเนียมเพื่อให้สาม a,b,e- สิทธิและ ส- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้นบนพวกมัน (ชี้ไปที่ซัง) จากนั้นสูตรต่อไปนี้ใช้ได้สำหรับการสร้างเวกเตอร์:
=S อี

รูปที่ 2 ปริมาตรของเส้นขนานที่แทนที่เวกเตอร์และเวกเตอร์เพิ่มเติมสเกลาร์ เส้นประแสดงการฉายภาพของเวกเตอร์ c บน a × b และเวกเตอร์ a บน b × c บรรทัดแรกคือความสำคัญของการสร้างสเกลาร์

ยักโช ค- เวกเตอร์ใด π - be-yak แบน, scho vengeance tsey vector, อี- เวกเตอร์ตัวเดียวที่อยู่ใกล้กับระนาบ π ตาตั้งฉากกับ c,g- เวกเตอร์เดี่ยวตั้งฉากกับระนาบ π และยืดให้ตรงเพื่อให้เวกเตอร์สามตัว คลื่นไฟฟ้าหัวใจєใช่แล้วสำหรับคนที่อยู่ที่จัตุรัส π เวกเตอร์ เอสูตรที่ถูกต้องคือ:
=Pr e a |c|g
de Pr e a การฉายภาพเวกเตอร์ของ e ลงบน a
|c|-เวกเตอร์โมดูล

เมื่อเลือกเวกเตอร์และการสร้างสเกลาร์ คุณสามารถใช้ Parallepiped ได้ โดยได้รับแรงบันดาลใจจากเวกเตอร์ที่ลดเหลือ cob ก, ขі ค. ดังนั้นเวกเตอร์ tvir สามตัวจึงเรียกว่า zmishanim
V=|a (b×c)|
คนตัวเล็กแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้สามารถทำได้สองวิธี: ผลลัพธ์ทางเรขาคณิตจะถูกบันทึกเมื่อแทนที่การสร้าง "สเกลาร์" และ "เวกเตอร์" ด้วยวัตถุ:
V=a×b c=a b×c

ขนาดของการสร้างเวกเตอร์นั้นอยู่ในไซน์ของการตัดระหว่างเวกเตอร์ cob ดังนั้น vector tvir จึงเป็นขั้นตอนของการตั้งฉากของเวกเตอร์ในลักษณะเดียวกัน เช่น scalar tvir สามารถมองเห็นเป็นขั้นตอนของการขนาน . การบวกเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดี่ยวสองตัวเข้ากับ 1 (เวกเตอร์เดี่ยว) เช่นเดียวกับเวกเตอร์และตั้งฉาก และเมื่อเป็น 0 (เวกเตอร์ศูนย์) เป็นเวกเตอร์และขนานหรือต้านขนาน

Viraz สำหรับการสร้างเวกเตอร์ในพิกัดคาร์ทีเซียน
Yakscho สองเวกเตอร์ เอі ขกำหนดโดยพิกัดคาร์ทีเซียนที่เป็นมุมฉากหรือดูเหมือนว่า - แสดงในรูปแบบปกติ
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
และระบบพิกัดถูกต้อง แล้วเวกเตอร์ tvir ของคุณอาจดู
=(a y b z -a z b y , a z b x -a x b z , a x b y -a y b x)
สำหรับการท่องจำสูตรts_єї:
ผม = ∑ε ijk a j b k
เดอ ε ijk- สัญลักษณ์ของเลวี-ชีวิตี

7.1. การกำหนดการสร้างเวกเตอร์

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบ a, b และ c สามตัวในลำดับที่กำหนด, เป็นไปตามสามทางขวา, ราวกับว่าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม h, การเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ไปยังเวกเตอร์อื่น b จะมองเห็นได้, ซึ่ง หมายความว่าลูกศรต่อต้าน godinnikov กำลังเคลื่อนที่และไปทางซ้ายราวกับว่าสำหรับ godinnikov ( div. รูปที่ 16)

ส่วนขยายเวกเตอร์ของเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ h ซึ่งก็คือ:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ดังนั้น z ^ a และ c ^ ข;

2. พฤษภาคม dozhina เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยยึดตามเวกเตอร์ a iขจามรีที่ด้านข้าง (div. รูปที่ 17), tobto.

3. เวกเตอร์ a, b และ h เป็นไปตามตรีเอกานุภาพที่ถูกต้อง

Vector tvir เขียนแทนด้วย a x b หรือ [a, b] จากการกำหนดการสร้างเวกเตอร์โดยไม่มีตัวกลาง การแสดงออกดังกล่าวระหว่าง orts i , เจі k(div. รูปที่ 18):

ผม x j = k , j x k = ผม , k x ผม = j
เรายกตัวอย่างว่าผม xj = k

1) k ^ ผม, k ^ เจ;

2) |k |=1 แต่ | ไอ x เจ| = | ฉัน | |เจ| บาป(90°)=1;

3) เวกเตอร์ i, j และ kสนองสิทธิของทั้งสามคน (รูปที่ 16)

7.2. พลังของการสร้างเวกเตอร์

1. เมื่อจัดเรียง sp_multipliers ใหม่ เวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย นั่นคือ และ xb \u003d (b xa) (div. รูปที่ 19)

เวกเตอร์ a xb і b x เป็น collinear อาจมีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะไม่เปลี่ยนแปลง) และยังเป็นเส้นตรง (สามเท่า a, b, а xb і a, b, bxa ของการวางแนวตรงกันข้าม) . กลายเป็นโจร axb = -(bxa).

2. vector tvir อาจสูญเสียพลังของตัวคูณสเกลาร์ ดังนั้น l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b)

ให้ ล.>0. เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( lก) x ขตั้งฉากกับเวกเตอร์ a i . ด้วย ข(เวกเตอร์เอ, lแต่นอนราบอยู่แห่งเดียว) หมายถึงเวกเตอร์ l(a xb) ที่ ( lก) x ขคอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่า scho โดยตรงzbіgayutsya Mayut dovzhina เดียวกัน:

ทอม l(a x b) = lก. ก็นำมาด้วยเช่นเดียวกัน l<0.

3. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a i ข kolіnearnіtіlki tіlki tіlі, ถ้า їхній vector tvіrdоrіvnyuєศูนย์เวกเตอร์, แล้วа ||b<=>และ xb = 0

Zokrema ผม * ผม = j * j = k * k = 0 .

4. Vector tvir อาจrozpodіlnuพลัง:

(a+b) xs = ก xs + ข xs

ยอมรับได้โดยไม่มีการยืนยัน

7.3. การสร้างเวกเตอร์ Viraz ผ่านพิกัด

เราจะชนะตารางการสร้างเวกเตอร์ของเวกเตอร์ i เจและเค:

หากเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกไปยังอีกอันหนึ่งตรงด้วยลูกศร มันก็จะไปถึงเวกเตอร์ที่สาม มิฉะนั้น ก็จะไป - เวกเตอร์ที่สามจะมีเครื่องหมายลบ

ให้เวกเตอร์สองตัวกับงาน a = a x i + a y เจ+az kผม ข = ข x ฉัน+โดย เจ+bz k. เราทราบการสร้างเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ คูณมันด้วยเงื่อนไขที่สมบูรณ์ (เห็นได้ชัดว่าขึ้นอยู่กับพลังของการสร้างเวกเตอร์):

สูตรของ Otriman สามารถเขียนให้สั้นลงได้:

เศษของส่วนขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) แสดงการจัดอันดับอนุญาโตตุลาการลำดับที่สามที่อยู่เบื้องหลังองค์ประกอบของแถวแรก ส่วนของผู้ถือหุ้น (7.2) นั้นง่ายต่อการลืม

7.4. โปรแกรมDeyakіของการสร้างเวกเตอร์

การสร้าง collinearity ของเวกเตอร์

ค่าของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและ trikutnik

Zgіdno z vznachennyam เวกเตอร์สร้างสรรค์ vectorіv แต่ฉันข |a xb | =| ก | * | ข | sing g คือ S คู่ = | และ x ข |. І ภายหลัง DS = 1/2 | a x b |

การกำหนดช่วงเวลาของแรงหรือจุดโชโดะ

มาตรงจุด A บังคับ F = ABและให้ฉัน มือโปร- เดชาก้าชี้ไปที่ช่องว่าง (div. รูปที่ 20)

จากฟิสิกส์จะเห็นได้ชัดว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง F จุดโชโดะ มือโปรเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็ม,ที่ผ่านจุด มือโปรตา:

1) ตั้งฉากกับระนาบผ่านจุด โอ, เอ, บี;

2) ความแข็งแกร่งที่มากขึ้นบนไหล่

3) สร้างทรีโอที่ถูกต้องด้วยเวกเตอร์ OA และ A .

Otzhe, M \u003d OA x F.

ความสำคัญของการพันกันของเส้น

Shvidkist วีจุด M ของร่างกายที่มั่นคง wบนแกนที่ไม่หมุนถูกกำหนดโดยสูตรออยเลอร์ v \u003d w xr, de r \u003d OM, de O-deac จุดของแกนไม่หมุน (div. รูปที่ 21)

การนัดหมาย. เซตย่อยเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a บนเวกเตอร์ b คือเวกเตอร์ที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ [«, b] (หรือ l x b) โดยที่ (2) เวกเตอร์ [a, b) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b , tobto. ตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์เหล่านี้ 3) เวกเตอร์ [a, b] ของการยืดเพื่อให้มองเห็นการเลี้ยวที่สั้นที่สุดจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์จาก a ถึง b เพื่อให้ลูกศรต่อต้าน Godinnikov ถูกวาดขึ้น (รูปที่ 32) มล. 32 รูปที่ 31 นอกจากนี้เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ a, b і [а, b) เป็นไปตามสิทธิของเวกเตอร์ทั้งสามนั่นคือ roztashovani ดังนั้นเหมือนผู้ยิ่งใหญ่vkazіvnyนิ้วกลางของมือขวา U vipadku เนื่องจากเวกเตอร์ a และ b เป็น colinear แต่สิ่งสำคัญคือ [a, b] \u003d 0 สำหรับการสร้างเวกเตอร์ พื้นที่ที่เหนือกว่าเชิงตัวเลข Sa ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 33) โดยอิงจาก เวกเตอร์ที่คูณ a และ b แยกที่ด้านข้าง : 6.1 . พลังของการสร้างเวกเตอร์ 1 การเพิ่มเวกเตอร์ให้กับเวกเตอร์ศูนย์อย่างใดอย่างหนึ่งและเท่านั้นหากเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งได้รับการยอมรับซึ่งถูกคูณ єศูนย์หรือถ้าเวกเตอร์เป็น collinear (เช่นเวกเตอร์ a และ b เป็น collinear แล้วมีราคาแพงกว่าหรือ 0 หรือ 0 หรือ 7) มันง่ายที่จะคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าในขณะที่เวกเตอร์ว่างเป็นเวกเตอร์คอลลินาร์กับเวกเตอร์ จากนั้นความสอดคล้องของความคิดของเวกเตอร์ a และ b สามารถแสดงได้ดังนี้: 2 อันที่จริงเวกเตอร์ (a, b) อาจมีความยาวเท่ากัน i เป็น collinear ทิศทาง tsikh vectorіvprotilezhnі, skіlki z kіntsya vector [а, b] จะเห็นการเลี้ยวที่สั้นที่สุดจาก a เป็น b, scho vіdbuєєvіdbuєєvіdbuєєvіdbuєєvіdbіvєїvіdnnikovї ї protіlezhnі, เวกเตอร์ มะเดื่อ 34) 3. vectorial dobutok อาจมีอำนาจแตกต่างกันเมื่อเทียบกับค่าเผื่อก่อน dovodannya 4 ตัวคูณตัวเลข L สามารถตำหนิสำหรับเครื่องหมายของ vector dobutok 6.2 การเพิ่มเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด Koristuyuchis ลุกขึ้นภายใต้อำนาจของการสร้างเวกเตอร์เรารู้ว่าเวกเตอร์ dobutok กำหนดพิกัด ซมีชานี ทเวียร์ เราเขียนการสร้างเวกเตอร์ของพิกัด orts (รูปที่ 35): ดังนั้นสำหรับการสร้างเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และ b มันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับสูตร (3) สูตรที่น่ารังเกียจ สูตร (4) สามารถเขียนในรูปแบบสัญลักษณ์ซึ่ง จำง่ายราวกับว่าถูกเร่งโดยตัวระบุลำดับที่ 3 : วาง vyznachnik นี้สำหรับองค์ประกอบของแถวที่ 1 ใช้ (4) นำมาใช้. 1. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเวกเตอร์ Shukan ของพื้นที่ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า = ดาว 2. รู้พื้นที่ของ tricutnik (รูปที่ 36) เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ของ "d trikutnik BAT คือครึ่งหนึ่งของ dorivnyu ของพื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน O AC B. การคำนวณ vector tvir (a, b| vector_v a = OA і b = ob เราคำนึงถึงความเคารพ Vector tvir ไม่ได้เชื่อมโยงกัน ดังนั้นความเท่าเทียมกัน ( (a, b), c) = [a, | b, c)) ผิด ตัวอย่างเช่น สำหรับ a = ss j เราสามารถ § 7 การเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์เพิ่มเติม ให้มีเวกเตอร์สามตัว a, b และ c i 1> สตอรี่ ส่งผลให้เวกเตอร์ [a, 1>] หายไป i แสดงด้วยสัญลักษณ์ (a, 1), e) i c ถูกเรียกในลักษณะนี้ coplanar) จากนั้น zm_shane tvir ([a, b], c) = 0 ดังนั้นเวกเตอร์ [a, b | , i vector c./ ถ้าเลนส์ใกล้ตา O, A, B, C ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน (เวกเตอร์ a, b และ h ไม่ใช่ coplanar) พวกมันจะอยู่ที่ขอบ OA, OB และ OS paralepiped (รูปที่ 38 a ). สำหรับวัตถุประสงค์ของการสร้างเวกเตอร์ เราสามารถ (a, b) = So c, de So - พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน OADB และ c - เวกเตอร์เดียวตั้งฉากกับเวกเตอร์ aibi ในลักษณะที่ว่าสาม a, b, ค ถูกต้อง นั่นคือ เวกเตอร์ a, b และ h มีรูปร่างเหมือนนิ้วกลางที่ยอดเยี่ยมและโดดเด่นของมือขวา (รูปที่ 38 b) การคูณเวกเตอร์ในส่วนที่ผิดของความเท่าเทียมกันที่เหลือบนสเกลาร์ด้านขวาด้วยเวกเตอร์ จำเป็นที่เวกเตอร์จะต้องเพิ่มเวกเตอร์ในพิกัดที่กำหนด ซมีชานี ทเวียร์ จำนวน rcs ของความสูงของ h ที่เกิดจาก parallelepiped ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" คือ kut ระหว่างเวกเตอร์ที่มี і z hostries (สาม a, b, c - ขวา) ฉันзіด้วยเครื่องหมาย "-" , i, s - leva) ดังนั้น Tim เอง zm_shany dobutok vector_v a, b และ z ปริมาตรที่มากขึ้นของ V parallelepiped เหนี่ยวนำให้เวกเตอร์เหล่านี้แยกจากกันที่ขอบ เช่น ทริปเปิ้ล a, b, c - ขวา, i -V, ชอบ ทริปเปิ้ล a , b, h - ซ้าย จากความรู้สึกเชิงเรขาคณิตของความคิดสร้างสรรค์แบบผสมผสาน คุณสามารถสร้าง visnovoks ได้ ดังนั้น การคูณเวกเตอร์ a, b และ z ในลำดับอื่นใด เราจะใช้ +7 หรือ -K เสมอ เครื่องหมายโปร- 38 Vedennya ค้างมากกว่านั้น เช่นเวกเตอร์ทรินิตี้ที่คูณ - ขวาหรือซ้าย หากเวกเตอร์ a, b, เป็นไปตามสามเท่าที่ถูกต้อง, แล้ว ทริปเปิ้ล b, c, a และ c, a, b ก็จะถูกต้องด้วย ในชั่วโมงนั้น แฝดสามทั้งสาม b, a, h; a, c, b i c, b, a – ซ้าย ทิมตัวเอง (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b แต่). อีกครั้ง เราแนะนำให้การเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์เพิ่มเป็นศูนย์ แม้ว่าเวกเตอร์ a, b, z เป็น coplanar: (a, b, z coplanar) 7 2. การเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมในพิกัดเวกเตอร์ Nehai a, b, h กำหนดพิกัดในพื้นฐาน i, j, k: a = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (x3, อูซ, 23). เรารู้จัก viraz สำหรับการสร้างแบบผสม (a, b, c) อาจเปลี่ยนเวกเตอร์เพิ่มเติมที่กำหนดโดยพิกัดในพื้นฐาน i, J จนถึงใกล้กับสัญลักษณ์ลำดับที่สามมากขึ้น แถวของการพับบางประเภทจะคล้ายกับพิกัดของเวกเตอร์แรก อีกอัน และเวกเตอร์ที่สาม ซึ่งมีการทวีคูณ ความเชื่อมโยงทางจิตที่จำเป็นและเพียงพอของเวกเตอร์ a y \, Z |), b = (x Y2. 22), s = (zhz, uz, 23) ที่จะเขียนในลักษณะที่น่ารังเกียจ Y | z, ar2 y2 -2 = 0. ใช้แล้ว ตรวจสอบว่าไคเป็นเวกเตอร์ระนาบเดียวกันและ „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) เวกเตอร์ที่ได้รับการพิจารณาจะเป็น coplanar หรือ non-coplanar ใน fallow นอกจากนี้ การเพิ่มศูนย์ถึงศูนย์ chi และ z coplanar 7.3. เวกเตอร์ย่อย [a, [b, c]] เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ [b, c] ดังนั้น vin อยู่ที่ระนาบของเวกเตอร์ b і c іสามารถย่อยสลายได้โดยเวกเตอร์ คุณสามารถแสดงว่าสูตร [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) นั้นใช้ได้ ขวา 1. เวกเตอร์สามตัว AB \u003d s, Zh? = เกี่ยวกับ CA = b ทำหน้าที่เป็นด้านของ tricoutnik Virazity ผ่าน a, b іเวกเตอร์ที่วิ่งจากค่ามัธยฐาน AM, DN, CP ของ tricot 2. คุณจะคิดได้อย่างไรว่าเวกเตอร์ p และ q สามารถเชื่อมต่อกันได้อย่างไร เพื่อให้เวกเตอร์ p + q สามารถแบ่งระหว่างพวกมันได้ ว่ากันว่าพาหะทั้งสามมาที่ซัง 3. คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a = 5p + 2q และ b = p - 3q ซึ่งควรจะเป็น | พี | = 2v/2, | q | = 3 H- (p7ci) = ฉ. 4. เมื่อกำหนดผ่าน a และ b ด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ออกมาจากจุดยอดมุม ให้นำเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน 5. คำนวณการบวกสเกลาร์ของเวกเตอร์ a = 4i + 7j + 3k และ b = 31 - 5j + k 6. ค้นหาเวกเตอร์ a0 ขนานกับเวกเตอร์ a = (6, 7, -6) 7. หาเส้นโครงของเวกเตอร์ a = l + j-kHa vector b = 21 - j - 3k 8. ค้นหาโคไซน์ของคูตาระหว่างเวกเตอร์ IS «x, เช่น A(-4.0.4), B(-1.6.7), C(1.10.9) 9. ค้นหาเวกเตอร์ p° ตัวเดียว หนึ่งชั่วโมงตั้งฉากกับเวกเตอร์ a = (3, 6, 8) และแกน Ox 10. คำนวณไซน์ของการตัดระหว่างเส้นทแยงมุมของเส้นขนานโดยพิจารณาจากเวกเตอร์ a = 2i+J-k, b=i-3j + k ตามด้านข้าง คำนวณความสูง h ของเส้นขนานโดยได้รับแรงบันดาลใจจากเวกเตอร์ a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k ซึ่งอิงจากสี่เหลี่ยมด้านขนาน แรงกระตุ้นบนเวกเตอร์ a และ I) วิดโปวิดิช