При кресленні контурів предметів порівняно часто доводиться будувати загальні дотичні до двох дуг кіл. Загальна дотична до двох кіл може бути зовнішньою, якщо обидва кола розташовані з одного боку від неї, і внутрішнього, якщо кола розташовані з різних сторін дотичної.
Побудова загальної зовнішньої дотичної до двох кіл радіусами R і r (Малюнок 47). З центру кола більшого радіусу – точки O 1 описують коло радіусом R – r (Малюнок 47, а). Знаходять середину відрізка O 2 O 1 – точку O 3 і з неї проводять допоміжне коло радіусом O 3 O 2 або O 3 O 1. Обидва проведені кола перетинаються в точках A і У . Крапки O 1 і B з'єднують прямий і в перетині її з колом радіусом R визначають точку торкання D (Малюнок 47, б). З точки O 2 паралельно прямий O 1 D проводять лінію до перетину з колом радіусом r і одержують другу точку торкання C . Пряма CD є шуканою дотичною. Також будується друга загальна зовнішня до цих кіл (пряма EF ).
Малюнок 47
Побудова загальної внутрішньої дотичної до двох кіл радіусів R і r (Малюнок 48). З центру будь-якого кола, наприклад: точки O 1 , описують коло радіусом R +r (Малюнок 48, а). Розділивши відрізок O 2 O 1 навпіл, одержують точку O 3 . З точки O 3 як із центру описують друге допоміжне коло радіусом O 3 O 2 = O 3 Про 1 та відзначають точки A і У перетину допоміжних кіл. З'єднавши пряму точку A і O 1 (рисунок 48, б), у перетині її з колом радіусу R отримують точку торкання D . Через центр кола радіусу r проводять пряму, паралельну до прямої O 1 D , і в перетині її із заданим колом визначають другу точку торкання З . Пряма CD – внутрішня дотична до заданих кіл. Аналогічно будується і друга дотична EF .
Малюнок 48
3.3 Сполучення за допомогою дуги кола
3.3.1 Поєднання двох прямих дугою кола
Всі завдання на поєднання дугою можуть бути зведені до двох видів. Поєднання здійснюється або заданим радіусом сполучної дуги, або через точку, задану на одній з ліній, що сполучаються. У тому й іншому випадку необхідно побудувати центр сполучної дуги.
Сполучення двох прямих дугою, що перетинаються, заданим радіусом R c (Малюнок 49, а). Так як сполучна дуга повинна торкатися заданих прямих, то центр її повинен бути віддалений від кожної прямої на рівну величину радіусу R c . Сполучення будують так. Проводять дві прямі, паралельні заданим та віддалені від них на величину радіусу R c і у перетині цих прямих відзначають точку O – центр сполучної дуги. З точки Про опускають перпендикуляр на кожну із заданих прямих. Основи перпендикулярів – точки A і B – є точками торкання сполучної дуги. Така побудова сполучення справедлива для двох прямих, що перетинаються, що становлять будь-який кут. Для сполучення сторін прямого кута можна скористатися способом, зазначеним на малюнку 49, б.
Малюнок 49
Сполучення двох прямих, що перетинаються, на одній з яких задана точка дотику А сполучної дуги (Малюнок 50). Відомо, що геометричним місцем центрів дуг, що сполучають дві прямі, що перетинаються, є бісектриса кута, утвореного цими прямими. Тому, побудувавши бісектрису кута, з точки дотику. A відновлюють перпендикуляр до прямої до перетину його з бісектрисою та відзначають точку O – центр сполучної дуги. Опустивши з крапки Про перпендикуляр на іншу пряму, отримують другу точку торкання і радіусом R c = OA = OB здійснюють поєднання двох прямих, на одній з яких була задана точка дотику.
Поєднання двох паралельних прямих дугою, що проходить через задану точку торкання А (Малюнок 51). З точки A відновлюють перпендикуляр до заданих прямих і на перетині його з другої прямої відзначають точку B . Відрізок AB ділять навпіл і одержують крапку Про - Центр сполучної дуги радіусом.
Малюнок 50 Малюнок 51
Міністерство освіти та науки Російської Федерації
Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа
міста Новосибірська «Гімназія №4»
Секція: математика
ДОСЛІДНИЦЬКА РОБОТА
по темі:
ВЛАСТИВОСТІ ДВОХ ЩОДО ОКРУЖЕНЬ
Учнів 10 класу:
Хазіахметова Радика Ільдаровича
Зубарєва Євгена Володимировича
Керівник:
Л.Л. Баринова
Учитель математики
Вищої кваліфікаційної категорії
§ 1.Введение………..………………………….…………………………………………………3
§ 1.1 Взаємне розташування двох кіл………………………...…………...………3
§ 2 Властивості та їх докази………………………………………..…………….....….…4
§ 2.1 Властивість 1………………...……………………………………..…………………...….…4
§ 2.2 Властивість 2……………………………………………………..…………………...………5
§ 2.3 Властивість 3……………………………………………………..…………………...………6
§ 2.4 Властивість 4……………………………………………………..…………………...………6
§ 2.5 Властивість 5…………………………………..……………………………………...………8
§ 2.6 Властивість 6………………………………………………..………………………...………9
§ 3 Завдання…………………………………………………..…………………...…...………..…11
Список литературы………………………………………………………………….………….13
§ 1. Вступ
Багато завдань, що включають два стосуються кола, можна вирішити більш коротко і просто, знаючи деякі властивості, які будуть представлені далі.
Взаємне розташування двох кіл
Для початку обмовимо можливе взаємне розташування двох кіл. Може бути 4 різні випадки.
1.Кільця можуть не перетинатися.
2.Пересікатися.
3. Стосуватися в одній точці зовні.
4.Торкатися в одній точці всередині.
§ 2. Властивості та їх докази
Перейдемо безпосередньо до підтвердження властивостей.
§ 2.1 Властивість 1
Відрізки між точками перетину дотичних з колами рівні між собою і дорівнюють двом середнім геометричним радіусам даних кіл.
Доведення 1. О 1 А 1 та О 2 В 1 – радіуси, проведені в точки торкання.
2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1 , О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1.(за пунктом 1)
- ▲Про 1 Про 2 D – прямокутний, тому що. Про 2 D ┴ Про 2 В 1
- О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R - r
- За теоремою Піфагора А 1 В 1 = 2√Rr
(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)
А 2 В 2 = 2√Rr (доводиться аналогічно)
1) Проведемо радіуси в точки перетину дотичних з колами.
2) Ці радіуси будуть перпендикулярні дотичним і паралельні один до одного.
3)Опустимо перпендикуляр із центру меншого кола до радіуса більшого кола.
4) Гіпотенуза отриманого прямокутного трикутника дорівнює сумі радіусів кіл. Катет дорівнює їх різниці.
5) По теоремі Піфагора отримуємо шукане співвідношення.
§ 2.2 Властивість 2
Точки перетину прямий, що перетинає точку торкання кіл і не лежить в жодній з них, з дотичними ділять навпіл відрізки зовнішніх дотичних, обмежені точками торкання, на частини, кожна з яких дорівнює середньому геометричному радіусу даних кіл.
Доведення 1.МС= МА 1 (як відрізки дотичних)
2.МС = МВ 1 (як відрізки дотичних)
3.А 1 М = МВ 1 = √Rr , А 2 N = NB 2 = √Rr (за пунктом 1 та 2 )
Твердження, що використовуються в доказі Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до деякого кола, рівні. Використовуємо цю властивість для обох даних кіл.
§ 2.3 Властивість 3
Довжина відрізка внутрішньої дотичної, укладеного між зовнішніми дотичними, дорівнює довжині відрізка зовнішньої дотичної між точками дотику і дорівнює двом середнім геометричним радіусів даних кіл.
Доведення Цей висновок випливає з попередньої якості.
MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr
§ 2.4 Властивість 4
Трикутник, утворений центрами, що стосуються кіл і серединою відрізка дотичної між радіусами, проведеними в точки торкання, прямокутний. Ставлення його катетів дорівнює приватному коріння радіусів цих кіл.
Доведення 1.МО 1 - бісектриса кута А 1 МС, МО 2 - бісектриса кута В 1 МС, т.к. центр кола, вписаного в кут лежить на бісектрисі цього кута.
2.По пункту 1 ÐО 1 МС + ÐСМО 2 = 0,5(ÐА1МС + ÐСМВ 1) = 0,5p = p/2
3.О 1 МО 2 - прямий. МС - висота трикутника O 1 МО 2, т.к. дотична МN перпендикулярна до радіусів, проведених у точки дотику → трикутники О 1 МС і МО 2 С – подібні.
4.О 1 М / МО 2 = О 1 С / МС = r / √Rr = √r / R (подібно)
Твердження, що використовуються в доказі 1) Центр кола, вписаного в кут, лежить на бісектрисі цього кута. Катети трикутника є бісектрисами кутів.
2) Користуючись тим, що утворені таким чином кути рівні, отримуємо, що шуканий кут прямий, що розглядається нами. Робимо висновок про те, що цей трикутник дійсно прямокутний.
3)Доводимо подобу трикутників, на які висота (оскільки дотична перпендикулярна радіусам, проведеним у точки торкання) ділить прямокутний трикутник, і за подобою отримуємо відношення.
§ 2.5 Властивість 5
Трикутник, утворений точкою торкання кіл один з одним і точками перетину кіл з дотичною, прямокутний. Ставлення його катетів дорівнює приватному коріння радіусів цих кіл.
Доведення
- ▲А 1 МС та ▲СМВ 1 – рівнобедрені → ?МА 1 С = ?МСА 1 = ?, ?МВ 1 С = ?МСВ 1 = ?.
- 2α + 2β + ÐА 1 МС + ÐСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (? 1 МС + ÐСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2
- Але ÐА 1 СВ 1 = α + β → ÐА 1 СВ 1 – прямий → ÐВ 1 СО 2 = ?
- ▲А 1 МС та ▲СО 2 В 1 – подібні → А 1 С / СВ 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R
Твердження, що використовуються в доказі 1) Розписуємо суму кутів трикутників, користуючись тим, що вони рівнобедрені. Рівнобедренность трикутників доводиться з допомогою якості рівність відрізків дотичних.
2) Розписавши суму кутів таким чином, отримуємо, що в розглянутому трикутнику є прямий кут, отже він прямокутний. Першу частину затвердження доведено.
3) За подобою трикутників (при його обґрунтуванні користуємося ознакою подібності по двох кутах) знаходимо відношення катетів прямокутного трикутника.
§ 2.6 Властивість 6
Чотирьохкутник, утворений точками перетину кіл з дотичною, є трапецією, в яку можна вписати коло.
Доведення 1.▲А 1 РА 2 і ▲В 1 РВ 2 - рівнобедрені т.к. А 1 Р = РА 2 та В 1 Р = РВ 2 як відрізки дотичних → ▲А 1 РА 2 та ▲В 1 РВ 2 – подібні.
2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2 т.к. рівні відповідні кути, утворені при перетині січної А 1 1.
- MN – середня лінія за якістю 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr
- А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → у трапеції А 2 А 1 В 1 В 2 сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, а це є необхідною і достатньою умовою існування вписаного кола.
Твердження, що використовуються в доказі 1)Знову скористаємось властивістю відрізків дотичних. З його допомогою доведемо рівнобедреність трикутників, утворених точкою перетину дотичних та точками дотику.
2) З цього слідуватиме подібність даних трикутників і паралельність їх основ. На цій підставі робимо висновок, що цей чотирикутник є трапецією.
3)По доведеному нами раніше властивості(2) знаходимо середню лінію трапеції. Вона дорівнює двом середнім геометричним радіусам кіл. В отриманій трапеції сума підстав дорівнює сумі бічних сторін, а це є необхідною та достатньою умовою для існування вписаного кола.
§ 3.Завдання
Розглянемо практичному прикладі, як можна спростити вирішення завдання, використовуючи викладені вище властивості.
Завдання 1
У трикутнику АВС сторона АС=15 см. У трикутнику вписано коло. Друге коло стосується першої та сторін АВ та ВС. На стороні АВ вибрано точку F, а на боці ВС - точку М так, що відрізок FM є загальною дотичною до кіл. Знайдіть відношення площ трикутника BFM та чотирикутника АFМС, якщо FM - 4 см, а точка М віддалена від центру одного кола на відстань у два рази більша, ніж від центру іншої.
Дано: FM-загальна дотична AC=15см FM=4см O 2 M=2О 1 M
Знайти S BFM /S AFMC
Рішення:
1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R
2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4
3)▲BO 1 P і ▲BO 2 Q подібні → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP =4/3
4) FM + ВР = 16/3, S FBM = r * Р FBM = 1 * (16/3) = 16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3
5) S ABC = R * Р ABC = 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3): (244/3) = 4/61
Завдання 2
У рівнобедрений трикутник АВС вписані два кола з їх загальною точкою Д і проходить через цю точку загальної дотичної FK. Знайти відстань між центрами цих кіл, якщо основа трикутника АС = 9 см, а відрізок збоку трикутника укладений між точками торкання кіл дорівнює 4 см.
Дано: ABC – рівнобедрений трикутник; FK – загальна дотична вписаних кіл. АС = 9 см; NE = 4 см
Рішення:
Нехай прямі AB та CD перетинаються в точці О. Тоді ОА = ОD, ОВ = ОС, тому CD = = AB = 2√Rr
Точки О1 і О2 лежать на бісектрисі кута AOD. Бісектриса рівнобедреного трикутника AOD є його висотою, тому AD ┴ O 1 O 2 і BC ┴ O 1 O 2 , отже,
AD ║ BC та ABCD – рівнобедрена трапеція.
Відрізок MN – її середня лінія, тому AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD
Отже, у цю трапецію можна вписати коло.
Нехай AP – висота трапеції, прямокутні трикутники АРВ та О 1 FO 2 подібні, тому АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .
Звідси знаходимо, що 
Список літератури
- Додаток до газети «Перше вересня» «Математика» №43, 2003 рік
- ЄДІ 2010. Математика. Завдання С4. Гордін Р.К.
Сікаючі, дотичні – все це сотні разів можна було чути на уроках геометрії. Але випуск зі школи позаду, минають роки, і всі ці знання забуваються. Що слід згадати?
Сутність
Термін "дотик до кола" знайомий, напевно, всім. Але навряд чи всім вдасться швидко сформулювати його визначення. Тим часом дотичною називають таку пряму, що лежить в одній площині з колом, яке перетинає її лише в одній точці. Їх може існувати безліч, але всі вони мають однакові властивості, про які йтиметься нижче. Як неважко здогадатися, точкою торкання називають те місце, де коло і пряме перетинаються. У кожному конкретному випадку вона одна, якщо їх більше, то це буде вже січна.
Історія відкриття та вивчення
Поняття дотичної з'явилося ще в давнину. Побудова цих прямих спочатку до кола, та був до еліпсів, параболам і гиперболам з допомогою лінійки і циркуля проводилося ще початкових етапах розвитку геометрії. Зрозуміло, історія не зберегла ім'я першовідкривача, але очевидно, що ще на той час людям були цілком відомі властивості щодо кола.
У Новий час інтерес до цього явища спалахнув знову - почався новий виток вивчення цього поняття у поєднанні з відкриттям нових кривих. Так, Галілей ввів поняття циклоїди, а Ферма та Декарт побудували до неї дотичну. Що ж до кіл, здається, ще для стародавніх не залишилося секретів у цій галузі.
Властивості
Радіус, проведений в точку перетину,
основна, але не єдина властивість, яка має відносну до кола. Ще одна важлива особливість включає вже дві прямі. Так, через одну точку, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні, при цьому їх відрізки будуть рівними. Є ще одна теорема з цієї теми, проте її рідко проходять у рамках стандартного шкільного курсу, хоча для вирішення деяких завдань вона вкрай зручна. Звучить вона в такий спосіб. З однієї точки, розташованої поза колом, проведено дотичну та січну до неї. Утворюються відрізки AB, AC та AD. А - перетин прямих, B точка дотику, C і D - перетину. У цьому випадку буде справедливою наступна рівність: довжина дотичної до кола, зведена в квадрат, дорівнюватиме добутку відрізків AC і AD.
Зі сказаного вище є важливе слідство. Для кожної точки кола можна побудувати дотичну, але тільки одну. Доказ цього досить просто: теоретично опустивши на неї перпендикуляр із радіусу, з'ясовуємо, що утворений трикутник існувати не може. І це означає, що дотична – єдина.
Побудова
Серед інших завдань із геометрії є особлива категорія, як правило, не
користується любов'ю учнів та студентів. Для вирішення завдань із цієї категорії потрібні лише циркуль та лінійка. Це завдання на побудову. Є вони і на побудову дотичної.
Отже, дано коло і точка, що лежить поза її межами. І необхідно провести через них дотичну. Як це зробити? Насамперед, потрібно провести відрізок між центром кола Про та заданою точкою. Потім за допомогою циркуля слід розділити його навпіл. Щоб це зробити, необхідно задати радіус - трохи більше половини відстані між центром початкового кола та даною точкою. Після цього потрібно побудувати дві дуги, що перетинаються. Причому радіус у циркуля міняти не треба, а центром кожної частини кола будуть початкова точка і відповідно. Місця перетинів дуг потрібно з'єднати, що розділить відрізок навпіл. Задати на циркулі радіус, рівний цій відстані. Далі з центром у точці перетину побудувати ще одне коло. На ній лежатиме як початкова точка, так і О. При цьому буде ще два перетину з даним завданням колом. Саме вони і будуть точками дотику для заданої точки.
Саме побудова дотичних до кола призвела до народження.
диференціального обчислення. Першу працю з цієї теми було опубліковано відомим німецьким математиком Лейбніцем. Він передбачав можливість знаходження максимумів, мінімумів та дотичних незалежно від дробових та ірраціональних величин. Що ж, тепер воно використовується і для багатьох інших обчислень.
Крім того, дотична до кола пов'язана з геометричним змістом тангенсу. Саме від цього і походить його назва. У перекладі з латині tangens - "дотик". Таким чином, це поняття пов'язане не тільки з геометрією та диференціальним обчисленням, але і з тригонометрією.
Два кола
Не завжди дотична торкається лише однієї фігури. Якщо до одного кола можна провести безліч прямих, то чому ж не можна навпаки? Можна, можливо. Ось тільки завдання в цьому випадку серйозно ускладнюється, адже дотична до двох кіл може проходити не через будь-які точки, а взаємне розташування всіх цих фігур може бути дуже
різним.
Типи та різновиди
Коли йдеться про два кола і одну або кілька прямих, то навіть якщо відомо, що це дотичні, не відразу стає ясно, як всі ці постаті розташовані по відношенню одна до одної. Виходячи з цього, розрізняють кілька різновидів. Так, кола можуть мати одну або дві спільні точки або не мати їх зовсім. У першому випадку вони перетинатимуться, а в другому - торкатимуться. І ось тут розрізняють два різновиди. Якщо одне коло хіба що вкладено у друге, то дотик називають внутрішнім, якщо ні - зовнішнім. Зрозуміти взаємне розташування фігур можна не тільки, виходячи з креслення, але й маючи інформацію про суму їх радіусів та відстань між їхніми центрами. Якщо ці дві величини рівні, то кола стосуються. Якщо перша більше – перетинаються, а якщо менше – то не мають спільних точок.
Так само і з прямими. Для будь-яких двох кіл, що не мають спільних точок, можна
побудувати чотири дотичні. Дві з них перетинатимуться між фігурами, вони називаються внутрішніми. Пара інших – зовнішні.
Якщо йдеться про кола, які мають одну спільну точку, то завдання серйозно спрощується. Справа в тому, що за будь-якого взаємного розташування в цьому випадку дотична у них буде тільки одна. І проходитиме вона буде через точку їхнього перетину. Тож побудова проблеми не викличе.
Якщо ж фігури мають дві точки перетину, то для них може бути побудована пряма, що стосується кола як однієї, так і другої, але тільки зовнішня. Вирішення цієї проблеми аналогічне тому, що буде розглянуто далі.
Розв'язання задач
Як внутрішня, так і зовнішня до двох кіл, у побудові не такі вже й прості, хоч ця проблема і вирішувана. Справа в тому, що для цього використовується допоміжна фігура, тому додуматися до такого способу самостійно
досить проблематично. Отже, дано два кола з різним радіусом та центрами О1 та О2. Для них потрібно збудувати дві пари дотичних.
Насамперед, біля центру більшого кола потрібно побудувати допоміжне. При цьому на циркулі має бути встановлена різниця між радіусами двох початкових фігур. З центру меншого кола будуються дотичні до допоміжного. Після цього з О1 та О2 проводяться перепендикуляри до цих прямих до перетину з первісними фігурами. Як випливає з основної якості дотичної, шукані точки на обох колах знайдені. Завдання вирішено принаймні її перша частина.
Для того, щоб побудувати внутрішні дотичні, доведеться вирішити практично
аналогічне завдання. Знову знадобиться допоміжна фігура, проте цього разу її радіус дорівнюватиме сумі початкових. До неї будуються дотичні з центру однієї з цих кіл. Подальший хід рішення можна зрозуміти з попереднього прикладу.
Стосовно кола або навіть двох і більше - не така вже складна задача. Звичайно, математики давно перестали вирішувати подібні проблеми вручну та довіряють обчислення спеціальним програмам. Але не варто думати, що тепер необов'язково вміти робити це самостійно, адже для правильного формулювання завдання для комп'ютера потрібно багато зробити та зрозуміти. На жаль, є побоювання, що після остаточного переходу на тестову форму контролю знань завдання на побудову викликатимуть у учнів дедалі більше труднощів.
Що ж до знаходження спільних дотичних для більшої кількості кіл, це не завжди можливо, навіть якщо вони лежать в одній площині. Але в деяких випадках можна знайти таку пряму.
Приклади з життя
Загальна дотична до двох кіл часто зустрічається і на практиці, хоч це і не завжди помітно. Конвеєри, блокові системи, передавальні ремені шківів, натяг нитки в швейній машинці, та навіть просто велосипедний ланцюг - все це приклади з життя. Так що не варто думати, що геометричні завдання залишаються лише в теорії: в інженерній справі, фізиці, будівництві та багатьох інших галузях вони знаходять практичне застосування.
Зазвичай у такому завданні дано коло та точка. Потрібно побудувати дотичну до кола, при цьому дотична має проходити через задану точку.
Якщо місцезнаходження точки не обумовлюється, слід окремо обговорити три можливі випадки розташування точки.
- Якщо точка лежить усередині кола, обмеженого даним колом, то дотичну через неї побудувати не можна.
- Якщо точка лежить на колі, то дотична будується шляхом побудови перпендикулярної до прямої радіусу, проведеного до даної точки.
- Якщо точка лежить поза межами кола, обмеженого колом, перед побудовою дотичної шукається точка на колі, якою вона має пройти.
Щоб вирішити другий випадок на прямий, де лежить радіус, будується відрізок, рівний радіусу і що лежить іншу строну від точки на окружности. Таким чином точка на колі виходить серединою відрізка, що дорівнює подвоєному радіусу. Далі будуються два кола, чиї радіуси рівні подвоєного радіусу вихідного кола, з центрами в кінцях відрізка, що дорівнює подвоєному радіусу. Через будь-яку точку перетину цих кіл і задану за умовою завдання точку проводиться пряма. Вона буде серединним перпендикуляром до радіусу вихідного кола, тобто перпендикулярна до неї, а значить, бути дотичною до кола.
Вирішити третій випадок, коли крапка лежить поза межами кола, обмеженого колом, можна так. Слід побудувати відрізок, що з'єднує центр даного кола та цю точку. Далі знайти його середину, збудувавши серединний перпендикуляр (описано в попередньому абзаці). Після цього накреслити коло (або його частина). Точка перетину побудованого кола та заданої за умовою завдання є точка, через яку проходить дотична, яка проходить також через задану за умовою задачі точку. Через дві відомі точки проводиться пряма-дотична.
Щоб довести, що побудована пряма - це дотична, слід розглянути кут, утворений радіусом даної за умовою задачі кола та відрізком, що з'єднує точку перетину кіл з точкою, даної за умовою задачі. Цей кут спирається на півколо (діаметр побудованого кола), а значить він прямий. Тобто радіус перпендикулярний побудованій прямій. Отже, побудована пряма є дотичною.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
