Вирішуючи різні завдання, нам дуже часто доводиться проводити тотожні перетворення виразів. Але буває, що якесь перетворення в одних випадках допустиме, а в інших – ні. Істотну допомогу у плані контролю допустимості перетворень надає ОДЗ. Зупинимося на цьому детальніше.

Суть підходу полягає в наступному: порівнюються ОДЗ змінних для вихідного виразу з ОДЗ змінних для виразу, отриманого в результаті виконання тотожних перетворень, і на підставі результатів порівняння робляться відповідні висновки.

Взагалі тотожні перетворення можуть

• не впливати на ОДЗ;
• призводити до розширення ОДЗ;
• призводити до звуження ОДЗ.

Давайте пояснимо кожний випадок прикладом.

Розглянемо вираз x 2 +x+3·x , ОДЗ змінної x для цього виразу є множина R . Тепер зробимо з цим виразом наступне тотожне перетворення - наведемо подібні доданки, в результаті воно набуде вигляду x 2 +4 · x. Очевидно, ОДЗ змінної x цього виразу також є безліч R . Таким чином, проведене перетворення не змінило ОДЗ.

Переходимо далі. Візьмемо вираз x+3/x−3/x. У цьому випадку ОДЗ визначається умовою x≠0 , що відповідає множині (−∞, 0)∪(0, +∞) . Цей вираз також містить подібні доданки, після приведення яких приходимо до виразу x , для якого ОДЗ є R . Що бачимо: у результаті проведеного перетворення відбулося розширення ОДЗ (до ОДЗ змінної x для вихідного виразу додалося число нуль).

Залишилося розглянути приклад звуження області допустимих значень після перетворень. Візьмемо вираз . ОДЗ змінною x визначається нерівністю (x−1)·(x−3)≥0 , для його вирішення підходить, наприклад, у результаті маємо (−∞, 1]∪∪; під ред. С. А. Теляковського. - 17- е видавництво - М.: Просвітництво, 2008. - 240 с.: іл.- ISBN 978-5-09-019315-3.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.

Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. - М.: Просвітництво, 2010. - 368 с. : іл.- ISBN 978-5-09-022771-1.

Дробові рівняння. ОДЗ.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Продовжуємо освоювати рівняння. Ми вже в курсі, як працювати з лінійними рівняннями та квадратними. Залишився останній вигляд - дробові рівняння. Або їх ще називають набагато солідніше - дробові раціональні рівняння. Це одне і теж.

Дробові рівняння.

Як зрозуміло з назви, у цих рівняннях обов'язково присутні дроби. Але не просто дроби, а дроби, які мають невідоме у знаменнику. Хоч би в одному. Наприклад:

Нагадаю, якщо у знаменниках лише числа, це лінійні рівняння

Як вирішувати дробові рівняння? Насамперед – позбутися дробів! Після цього рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне чи квадратне. А далі ми знаємо, що робити... У деяких випадках воно може перетворитися на тотожність типу 5=5 або неправильне вираження типу 7=2. Але це рідко трапляється. Нижче я про це згадаю.

Але як позбутися дробів! Дуже просто. Застосовуючи ті самі тотожні перетворення.

Нам треба помножити все рівняння на те саме вираз. Так, щоб усі знаменники скорочувалися! Все одразу стане простіше. Пояснюю на прикладі. Нехай нам потрібно вирішити рівняння:

Як навчали у молодших класах? Переносимо все в один бік, ведемо до спільного знаменника і т.д. Забудьте як страшний сон! Так потрібно робити, коли ви складаєте або віднімаєте дробові вирази. Або працюєте з нерівностями. А в рівняннях ми відразу множимо обидві частини на вираз, який дасть нам змогу скоротити всі знаменники (тобто, по суті, на спільний знаменник). І який же це вираз?

У лівій частині для скорочення знаменника потрібно множення на х+2. А у правій потрібно множення на 2. Значить, рівняння треба множити на 2(х+2). Примножуємо:

Це звичайне множення дробів, але докладно розпишу:

Зверніть увагу, я поки що не розкриваю дужку (х + 2)! Так, цілком, її й пишу:

У лівій частині скорочується повністю (х+2), А в правій 2. Що і потрібно! Після скорочення отримуємо лінійнерівняння:

А це рівняння вже вирішить кожен! х = 2.

Вирішимо ще один приклад, трохи складніше:

Якщо згадати, що 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можна записати:

І знову позбавляємося того, що нам не дуже подобається – дробів.

Бачимо, що для скорочення знаменника з іксом, треба помножити дріб на (х – 2). А одиниці нам не завада. Ну і множимо. Всюліву частину та всюправу частину:

Знову дужки (х – 2)я не розкриваю. Працюю зі дужкою в цілому, наче це одне число! Так треба робити завжди, бо інакше нічого не скоротиться.

З почуттям глибокого задоволення скорочуємо (х – 2)і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, в лінійку!

А ось тепер уже розкриваємо дужки:

Наводимо подібні, переносимо все в ліву частину та отримуємо:

Але до того ми інші завдання навчимося вирішувати. на відсотки. Ті ще граблі, між іншим!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Шамшурін А.В. 1

Гагаріна Н.А. 1

1 Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Середня загальноосвітня школа №31»

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версія роботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Я почав роботу з того, що в Інтернеті переглянув безліч тем з математики і вибрав цю тему, тому що впевнений, що важливість знаходження ОДЗ грає величезну роль у вирішенні рівнянь та завдань. У своїй дослідницькій роботі я розглянув рівняння, в яких достатньо лише знаходження ОДЗ, небезпека, необов'язковість, обмеженість ОДЗ, деякі заборони математики. Найголовніше для мене добре здати ЄДІ з математики, а для цього треба знати: коли, навіщо та як знаходити ОДЗ. Це і підштовхнуло мене до вивчення теми, метою якої стало показати, що оволодіння цією темою допоможе учням правильно виконати завдання на ЄДІ. Щоб досягти цієї мети, я досліджував додаткову літературу та інші джерела. Мені стало цікаво, а знають учні нашої школи: коли, навіщо та як знаходити ОДЗ. Тому я провів тест на тему «Коли, навіщо і як знаходити ОДЗ?» (Було дано 10 рівнянь). Кількість учнів – 28. Впоралися – 14 %, небезпека ОДЗ (врахували) – 68 %, необов'язковість (врахували) – 36 %.

Ціль: виявлення: коли, навіщо і як знаходити ОДЗ

Проблема:рівняння та нерівності, в яких потрібно знаходити ОДЗ, не знайшли місця в курсі алгебри систематичного викладу, можливо тому я та мої однолітки часто робимо помилки при вирішенні таких прикладів, приділивши багато часу їх вирішенню, забувши при цьому про ОДЗ.

Завдання:

1. Показати значимість ОДЗ під час вирішення рівнянь і нерівностей.
2. Провести практичну роботу з цієї теми і підбити її підсумки.

Я думаю отримані мною, знання та навички допоможуть мені вирішити питання: шукати ОДЗ чи не треба? Я перестану робити помилки, навчившись правильно робити ОДЗ. Чи вийде це, покаже час, точніше ЄДІ.

Глава 1

Що таке ОДЗ?

ОДЗ - це область допустимих значеньтобто це все значення змінної, при яких вираз має сенс.

Важливо.Для знаходження ОДЗ ми не вирішуємо прикладу! Ми вирішуємо шматочки прикладу для знаходження заборонених місць.

Деякі заборони математики.Таких заборонених дій у математиці дуже мало. Але їх не всі пам'ятають.

• Вирази, що перебувають під знаком парної кратності або має бути>0 або дорівнює нулю, ОДЗ:f(x)
• Вираз, що стоїть у знаменнику дробу не може дорівнювати нулю, ОДЗ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

Як записати ОДЗ?Дуже просто. Завжди поруч із прикладом пишіть ОДЗ. Під цими відомими літерами, дивлячись на вихідне рівняння, записуємо значення х, дозволені для вихідного прикладу. Перетворення прикладу може змінити ОДЗ і відповідно відповідь.

Алгоритм знаходження ОДЗ:

1. Визначте тип заборони.
2. Знайти значення, у яких вираз немає сенсу.
3. Виключити ці значення з множини дійсних чисел R.

Розв'язати рівняння: =

Без ОДЗ	З ОДЗ
Відповідь: х = 5	ОДЗ: => => Відповідь: коріння немає

Область допустимих значень оберігає нас від таких серйозних помилок. Чесно кажучи, саме через ОДЗ багато «ударників» перетворюються на «трієчників». Вважаючи, що пошук та облік ОДЗ малозначним кроком у рішенні, вони пропускають його, а потім дивуються: «чому вчитель поставив 2?». Та тому й поставив, що відповідь невірна! Це не «причіпки» вчителя, а цілком конкретна помилка, така як неправильне обчислення чи втрачений знак.

Додаткові рівняння:

а) = ; б) -42 = 14х +; в) = 0; г) | x-5 | = 2x-2

Розділ 2

ОДЗ. Навіщо? Коли? Як?

Область допустимих значень – є рішення

1. ОДЗ є порожньою множиною, а значить, вихідний приклад не має рішень

• = ОДЗ:

Відповідь: коріння немає.

• = ОДЗ:

Відповідь: коріння немає.

0, рівняння не має коріння

Відповідь: коріння немає.

Додаткові приклади:

а) + = 5; б) + = 23х-18; в) = 0.

1. У ОДЗ перебуває одне чи кілька чисел, і нескладна підстановка швидко визначає коріння.

ОДЗ: х = 2, х = 3

Перевірка: х = 2, +, 0<1, верно

Перевірка: х = 3 + 0<1, верно.

Відповідь: х = 2, х = 3.

• > ОДЗ: х=1,х=0

Перевірка: х=0, > , 0>0, неправильно

Перевірка: х=1, > , 1>0, правильно

Відповідь: х = 1.

• + = х ОДЗ: х = 3

Перевірка: + = 3, 0 = 3, не так.

Відповідь: коріння немає.

Додаткові приклади:

а) = ; б) + = 0; в) + = х -1

Небезпека ОДЗ

Зауважимо, тотожні перетворення можуть:

• не впливати на ОДЗ;
• призводити до розширеного ОДЗ;
• призводити до звуження ОДЗ.

Відомо також, що внаслідок деяких перетворень, що змінюють вихідне ОДЗ, може призвести до неправильних рішень.

Давайте пояснимо кожний випадок прикладом.

1) Розглянемо вираз х +4х+7х, ОДЗ змінної х для цього є безліч R. Наведемо подібні доданки. В результаті воно набуде вигляду x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ змінної x цього виразу також є безліч R. Таким чином, проведене перетворення не змінило ОДЗ.

2) Візьмемо рівняння x + - = 0. І тут ОДЗ: x≠0. Це вираз також містить подібні доданки, після приведення яких, приходимо до виразу x, для якого ОДЗ є R. Що ми бачимо: в результаті проведеного перетворення відбулося розширення ОДЗ (до ОДЗ змінної x для вихідного виразу додалося число нуль).

3) Візьмемо вираз. ОДЗ змінної x визначається нерівністю (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступу: Матеріали сайтів www.fipi.ru, www.eg

Область допустимих значень є рішенням [Електронний ресурс]/Режим доступу: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ОДЗ - область допустимих значень, як знайти ОДЗ [Електронний ресурс]/Режим доступу: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Область допустимих значень: теорія та практика [Електронний ресурс]/Режим доступу: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Що таке ОДЗ [Електронний ресурс]/ Режим доступу: www.cleverstudents.ru›odz.html

Що таке ОДЗ і як його шукати – пояснення та приклад. Електронний ресурс]/ Режим доступу: cos-cos.ru›math/82/

Додаток 1

Практична робота «ОДЗ: коли, навіщо та як?»

Варіант 1	Варіант 2
│х+14│= 2 - 2х
	│3-х│=1 - 3х

Додаток 2

Відповіді до завдань практичної роботи «ОДЗ: коли, навіщо і як?»

Варіант 1	Варіант 2
Відповідь: коріння немає	Відповідь: х-будь-яке число, крім х=5
9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Відповідь: коріння немає	ОДЗ: х = -3, х = 5. Відповідь:-3;5.
у = -зменшується, у = -зростає Отже, рівняння має трохи більше одного кореня. Відповідь: х = 6.	ОДЗ: → →х≥5 Відповідь: х≥5, х≤-6.
│х+14│=2-2х ОДЗ: 2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не належить ОДЗ	Убуває, -зростає Рівняння має трохи більше одного кореня. Відповідь: коріння немає.
0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Відповідь: х≥3,х≤2	8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Відповідь: коріння немає.
х = 7, х = 1. Відповідь: рішень немає	Зростає, - зменшується Відповідь: х = 2.
0 ОДЗ: х≠15 Відповідь: х-будь-яке число, крім х = 15.	│3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не належить ОДЗ. Відповідь: х = -1.

Щоб знаходити області визначення поширених функцій, на цьому уроці вирішуємо рівняння та нерівності з однією змінною.

Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.

А що таке область визначення функції? Погляньмо на графік функції малюнку. Кожній точці графіка функції відповідає певне значення "ікса" - аргумент функції і певне значення "гравця" - самої функції. Від аргументу - "ікса" - обчислюється "гравець" - значення функції. Область визначення функції - це безлічі всіх значень "ікса", для яких існує, тобто може бути обчислений "гравець" - значення функції. Інакше висловлюючись, безліч значень аргументу, у якому " функція працює " . Більшість функцій задається формулами. Тому область визначення функції - це також найбільше безліч, у якому формула має сенс.

На малюнку зображено графік функції. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю, так як на нуль ділити не можна. Тому, прирівнюючи знаменник нулю, отримуємо значення, що не входить у область визначення функції: 1. А область визначення функції - це значення "ікса" від мінус нескінченності до одиниці і від одиниці до плюс нескінченності. Це добре видно на графіку

приклад 0.Як знайти область визначення функції ігор дорівнює квадратному кореню з ікса мінус п'ять (підкорене вираз ікс мінус п'ять) ()? Потрібно лише вирішити нерівність

x - 5 ≥ 0 ,

оскільки для того, щоб ми отримали дійсне значення грека, підкорене вираз має бути більшим або рівним нулю. Отримуємо рішення: область визначення функції - всі значення ікса більше або дорівнює п'яти (або ікс належить проміжку від п'яти включно до плюс нескінченності).

На кресленні зверху – фрагмент числової осі. На ній область визначення розглянутої функції заштрихована, при цьому в "плюсовому" напрямку штрихування триває нескінченно разом з самою віссю.

Область визначення постійної

Постійна (константа) визначена за будь-яких дійсних значень x R дійсних чисел. Це можна записати і так: областю визначення цієї функції є вся числова пряма ]- ∞; + ∞[.

Приклад 1. Знайти область визначення функції y = 2 .

Рішення. Область визначення функції не зазначена, отже, з вище наведеного визначення мають на увазі природна область визначення. Вираз f(x) = 2 визначено за будь-яких дійсних значень x, отже, дана функція визначена на всій множині R дійсних чисел.

Тому на кресленні зверху числова пряма заштрихована протягом усього від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Область визначення кореня n-го ступеня

У разі коли функція задана формулою і n- натуральне число:

Приклад 2. Знайти область визначення функції .

Рішення. Як випливає з визначення, корінь парного ступеня має сенс, якщо підкорене вираз невід'ємний, тобто, якщо - 1 ≤ x≤ 1 . Отже, область визначення цієї функції - [- 1; 1].

Заштрихована область числової прямої на кресленні зверху - це область визначення цієї функції.

Область визначення статечної функції

Область визначення статечної функції з цілим показником ступеня

якщо a- Позитивне, то областю визначення функції є безліч усіх дійсних чисел, тобто ] - ∞; + ∞[;

якщо a- негативне, то областю визначення функції є множина ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тобто вся числова пряма за винятком нуля.

На відповідному кресленні зверху вся числова пряма заштрихована, а точка, що відповідає нулю, виколота (вона не входить у область визначення функції).

Приклад 3. Знайти область визначення функції .

Рішення. Перше доданок цілим ступенем ікса, що дорівнює 3, а ступінь ікса у другому доданку можна у вигляді одиниці - як і цілого числа. Отже, область визначення цієї функції - вся числова пряма, тобто ]-∞; + ∞[.

Область визначення статечної функції з дробовим показником ступеня

У разі коли функція задана формулою :

якщо - позитивне, то областю визначення функції є множина 0; + ∞[.

Приклад 4. Знайти область визначення функції .

Рішення. Обидва доданки у вираженні функції - статечні функції з позитивними дробовими показниками ступенів. Отже, область визначення цієї функції - множина - ∞; + ∞[.

Область визначення показової та логарифмічної функції

Область визначення показової функції

У разі коли функція задана формулою , областю визначення функції є вся числова пряма, тобто ]- ∞; + ∞[.

Область визначення логарифмічної функції

Логарифмічна функція визначена за умови, якщо її аргумент позитивний, тобто областю її визначення є безліч ]0; + ∞[.

Знайти область визначення функції самостійно, а потім переглянути рішення

Область визначення тригонометричних функцій

Область визначення функції y= cos( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= tg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім чисел .

Область визначення функції y= ctg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім .

Приклад 8. Знайти область визначення функції .

Рішення. Зовнішня функція - десятковий логарифм і область її визначення поширюються умови області визначення логарифмічної функції взагалі. Тобто її аргумент має бути позитивним. Аргумент тут – синус "ікса". Повертаючи уявний циркуль по колу, бачимо, що умова sin x> 0 порушується при "іксі" рівним нулю, "пі", два, помноженому на "пі" і взагалі рівним добутку числа "пі" та будь-якого парного чи непарного цілого числа.

Таким чином, область визначення даної функції задається виразом

,

де k- ціле число.

Область визначення зворотних тригонометричних функцій

Область визначення функції y= arcsin( x) - безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arccos( x) - так само безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arctg( x) - безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= arcctg( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Приклад 9. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо нерівність:

Отже, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок [- 4; 4].

Приклад 10. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо дві нерівності:

Розв'язання першої нерівності:

Розв'язання другої нерівності:

Таким чином, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок.

Область визначення дробу

Якщо функція задана дробовим виразом, в якому змінна знаходиться в знаменнику дробу, то областю визначення функції є безліч R дійсних чисел, крім таких x, при яких знаменник дробу перетворюється на нуль.

Приклад 11. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішуючи рівність нулю знаменника дробу, знаходимо область визначення цієї функції - безліч ]- ∞; - 2 [∪] - 2; + ∞ [.

Приклад 12. Знайти область визначення функції .

Рішення. Розв'яжемо рівняння:

Таким чином, отримуємо область визначення цієї функції - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Як?
Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», а наступна станція нашої подорожі – . Активне обговорення даного поняття розпочалося у статті про безлічі та продовжилося на першому уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає область визначення наступних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експонентів, синусу, косинуса. Вони визначені на (Багато всіх дійсних чисел). За тангенси, арксинуси, так і бути, прощаю =) – рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що ж буде стаття? На цьому уроці я розгляну найпоширеніші завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких знадобляться й інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення – це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення «Ігреків». Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: – значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «ігрок».

Грубо кажучи, де область визначення там є графік функції. А ось напівінтервал і точка «це» не входять до області визначення та графіка там немає.

Як знайти область визначення функції? Багато хто пам'ятає дитячу лічилку: «камінь, ножиці, папір», і в даному випадку її можна сміливо перефразувати: «корінь, дріб та логарифм». Таким чином, якщо вам на життєвому шляху зустрічається дріб, корінь або логарифм, слід відразу ж дуже і дуже насторожитися! Набагато рідше зустрічаються тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, і ми теж поговоримо. Але спочатку замальовки з життя мурах:

Область визначення функції, в якій є дріб

Припустимо, дана функція, що містить певний дріб. Як ви знаєте, на нуль ділити не можна: тому ті значення «ікс», які перетворюють знаменник на нуль – не входять у область визначення цієї функції.

Не зупинятимуся на найпростіших функціях на кшталт і т.п., оскільки всі чудово бачать точки, які не входять до їхньої області визначення. Розглянемо більш змістовні дроби:

Приклад 1

Знайти область визначення функції

Рішення: у чисельнику нічого особливого немає, а ось знаменник повинен бути ненульовим Давайте прирівняємо його до нуля і спробуємо знайти погані точки:

Отримане рівняння має два корені: . Дані значення не входять у область визначення функції. Справді, підставте чи функцію і побачите, що знаменник звертається в нуль.

Відповідь: область визначення:

Запис читається так: «область визначення – всі дійсні числа за винятком множини, що складається зі значень ». Нагадую, що значок зворотного слеша в математиці позначає логічне віднімання, а фігурні дужки – безліч. Відповідь можна рівносильно записати як об'єднання трьох інтервалів:

Кому як до вподоби.

У точках функція терпить нескінченні розриви, а прямі, задані рівняннями є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції. Втім, це вже трохи інша тема, і далі я на цьому не особливо загострюватиму увагу.

Приклад 2

Знайти область визначення функції

Завдання, по суті, усне і багато хто з вас практично відразу знайдуть область визначення. Відповідь наприкінці уроку.

Чи завжди дріб буде «нехорошим»? Ні. Наприклад, функція визначена по всій числовій осі. Яке значення «ікс» ми не взяли, знаменник не звернеться в нуль, більше, буде завжди позитивний: . Отже, область визначення цієї функции: .

Усі функції на кшталт визначені та безперервніна .

Трохи складніша ситуація, коли знаменник окупував квадратний тричлен:

Приклад 3

Знайти область визначення функції

Рішення: спробуємо знайти точки, в яких знаменник звертається в нуль Для цього вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант вийшов негативним, а отже, дійсних коренів немає, і наша функція визначена на всій числовій осі.

Відповідь: область визначення:

Приклад 4

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Раджу не лінуватися з простими завданнями, оскільки до подальших прикладів накопичиться непорозуміння.

Область визначення функції з коренем

Функція з квадратним коренем визначена лише за тих значеннях «ікс», коли підкорене вираз невід'ємно: . Якщо корінь розташувався у знаменнику , то умова явно посилюється: . Аналогічні викладки справедливі для будь-якого кореня позитивного парного ступеня: , Щоправда, корінь вже 4-го ступеня в дослідженнях функційне пригадую.

Приклад 5

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути невід'ємним:

Перед тим, як продовжити рішення, нагадаю основні правила роботи з нерівностями, відомі ще зі школи.

Звертаю особливу увагу!Зараз розглядаються нерівності з однією змінною– тобто для нас існує лише одна розмірність по осі. Будь ласка, не плутайте з нерівностями двох змінних, де геометрично задіяна вся координатна площина Однак є й приємні збіги! Отже, для нерівності рівносильні такі перетворення:

1) Доданки можна переносити з частини до частини, змінюючи у них (доданків) знаки.

2) Обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативнечисло, то необхідно змінити знак самої нерівності. Наприклад, якщо було "більше", то стане "менше"; якщо було «менше чи одно», то стане «більше чи одно».

У нерівності перенесемо «трійку» до правої частини зі зміною знака (правило №1):

Помножимо обидві частини нерівності на –1 (правило №3):

Помножимо обидві частини нерівності (правило №2):

Відповідь: область визначення:

Відповідь також можна записати еквівалентною фразою: "функція визначена при".
Геометрично область визначення зображується штрихуванням відповідних інтервалів на осі абсцис. В даному випадку:

Ще раз нагадую геометричний зміст області визначення – графік функції існує тільки на заштрихованій ділянці та відсутня при .

Найчастіше годиться чисто аналітичне перебування області визначення, але коли функція сильно заморочена, слід креслити вісь і робити позначки.

Приклад 6

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення.

Коли під квадратним коренем знаходиться квадратний двочлен або тричлен, ситуація трохи ускладнюється, і зараз докладно розберемо техніку рішення:

Приклад 7

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути суворо позитивним, тобто нам необхідно вирішити нерівність. На першому кроці намагаємося розкласти квадратний тричлен на множники:

Дискримінант позитивний, шукаємо коріння:

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, а це означає, що частина параболи розташована нижче осі (нерівність), а частина параболи – вище осі (потрібна нам нерівність).

Оскільки коефіцієнт , то гілки параболи дивляться нагору. З вищесказаного випливає, що на інтервалах виконано нерівність (гілки параболи йдуть вгору на нескінченність), а вершина параболи розташована на проміжку нижче осі абсцис, що відповідає нерівності:

! Примітка: якщо вам не до кінця зрозумілі пояснення, будь ласка, накресліть другу вісь та параболу цілком! Доцільно повернутися до статті та методики Гарячі формули шкільного курсу математики.

Зверніть увагу, що самі точки виколоти (не входять у рішення), оскільки нерівність у нас сувора.

Відповідь: область визначення:

Взагалі, багато нерівностей (у тому числі розглянуте) вирішуються універсальним методом інтервалів, відомим знову ж таки зі шкільної програми. Але у випадках квадратних дво-і тричленів, на мій погляд, набагато зручніше і швидше проаналізувати розташування параболи щодо осі. А основний спосіб – метод інтервалів ми детально розберемо у статті Нулі функції. Інтервали знакостійності.

Приклад 8

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. У зразку докладно закоментована логіка міркувань + другий спосіб розв'язання та ще одне важливе перетворення нерівності, без знання якої студент кульгатиме на одну ногу…, …хмм… на рахунок ноги, мабуть, погарячкував, скоріше – на один палець. Великий палець.

Чи може функція з квадратним коренем бути визначена на всій числовій прямій? Звісно. Знайомі обличчя: . Або аналогічна сума з експонентою: . Дійсно, для будь-яких значення «ікс» і «ка»: тому подАвно і .

А ось менш очевидний приклад: . Тут дискримінант негативний (парабола не перетинає вісь абсцис), причому гілки параболи спрямовані вгору, отже, і область визначення: .

Питання протилежне: чи може область визначення функції бути порожній? Так, і відразу напрошується примітивний приклад , де підкорене вираз негативно за будь-якого значення «ікс», і область визначення: (значок порожньої множини). Така функція не визначена взагалі (зрозуміло, графік також ілюзорний).

З непарним корінням і т.д. все набагато краще - тут підкорене вираз може бути і негативним. Наприклад, функція визначена на всій числовій прямій. Однак у функції єдина точка все ж таки не входить в область визначення, оскільки звертають знаменник у нуль. З тієї ж причини для функції виключаються точки.

Область визначення функції з логарифмом

Третя поширена функція – логарифм. Як зразок я малюватиму натуральний логарифм, який трапляється приблизно в 99 прикладах зі 100. Якщо деяка функція містить логарифм , то в її область визначення повинні входити ті значення «ікс», які задовольняють нерівності . Якщо логарифм перебуває у знаменнику: , то додатковонакладається умова (оскільки ).

Приклад 9

Знайти область визначення функції

Рішення: відповідно до сказаного вище складемо і вирішимо систему:

Графічне рішення для чайників:

Відповідь: область визначення:

Зупинюся ще на одному технічному моменті - адже в мене не вказаний масштаб і не проставлені поділу по осі. Виникає питання: як виконувати подібні креслення у зошиті на картатому папері? Чи відміряти відстань між точками за клітинами строго за масштабом? Канонічніше і суворіше, звичайно, масштабувати, але цілком припустимо і схематичний креслення, що принципово відображає ситуацію.

Приклад 10

Знайти область визначення функції

Для вирішення задачі можна використовувати метод попереднього параграфа – проаналізувати, як парабола розташована щодо осі абсцис. Відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, у царстві логарифмів все дуже схоже на ситуацію із квадратним коренем: функція (квадратний тричлен із Прикладу №7) визначено на інтервалах , а функція (Квадратний двочлен з Прімера №6) на інтервалі . Незручно вже й говорити, функції типу визначені на всій числовій прямій.

Корисна інформація : цікава типова функція , вона визначена на всій числовій прямій крім точки . Відповідно до властивості логарифму , «двійку» можна винести множником за межі логарифму, але щоб функція не змінилася, «ікс» необхідно укласти під знак модуля: . Ось вам і ще одне "практичне застосування" модуля =). Так необхідно чинити в більшості випадків, коли ви знесете парнуступінь, наприклад: . Якщо підстава ступеня свідомо позитивно, наприклад, , то знаку модуля відпадає необхідність і досить обійтися круглими дужками: .

Щоб не повторюватися, давайте ускладнимо завдання:

Приклад 11

Знайти область визначення функції

Рішення: у цій функції у нас присутній і корінь та логарифм.

Підкорене вираз має бути неотрицательным: , а вираз під знаком логарифму – суворо позитивним: . Таким чином, необхідно вирішити систему:

Багато хто з вас чудово знає або інтуїтивно здогадується, що рішення системи має задовольняти кожномуумовою.

Досліджуючи розташування параболи щодо осі, приходимо до висновку, що нерівності задовольняє інтервал (синя штрихування):

Нерівності, очевидно, відповідає «червоний» напівінтервал.

Оскільки обидві умови мають виконуватися одночасно, то рішенням системи є перетин даних інтервалів. "Загальні інтереси" дотримані на напівінтервалі.

Відповідь: область визначення:

Типова нерівність, як демонструвалося в Прикладі №8, неважко вирішити і аналітично.

Знайдена область визначення не зміниться для схожих функцій, наприклад, для або . Також можна додати якісь безперервні функції, наприклад: , або так: , і навіть так: . Як кажуть, корінь та логарифм – річ уперта. Єдине, якщо одну з функцій «скинути» в знаменник, то область визначення зміниться (хоча у випадку це завжди справедливо). Ну а в теорії матана з приводу цього словесного… ой… існують теореми.

Приклад 12

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Використання креслення цілком доречно, тому що функція не найпростіша.

Ще кілька прикладів для закріплення матеріалу:

Приклад 13

Знайти область визначення функції

Рішення: складемо і вирішимо систему:

Усі дії вже розібрано під час статті. Зобразимо на числовий прямий інтервал, що відповідає нерівності і, згідно з другою умовою, виключимо дві точки:

Значення виявилося взагалі не при справах.

Відповідь: область визначення

Невеликий математичний каламбур на варіацію 13 прикладу:

Приклад 14

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Хто пропустив, той у прольоті;-)

Завершальний розділ уроку присвячений більш рідкісним, але також «робочим» функціям:

Області визначення функцій
з тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Якщо в деяку функцію входить, то з її області визначення виключаютьсякрапки , де Z- безліч цілих чисел. Зокрема, як зазначалося у статті Графіки та властивості елементарних функцій, У функції виколоти такі значення:

Тобто область визначення тангенсу: .

Вбиватись сильно не будемо:

Приклад 15

Знайти область визначення функції

Рішення: у разі і область визначення не увійдуть такі точки:

Скинемо «двійку» лівої частини у знаменник правої частини:

В результаті :

Відповідь: область визначення: .

У принципі, відповідь можна записати і як об'єднання нескінченної кількості інтервалів, але конструкція вийде дуже громіздкою:

Аналітичне рішення повністю узгоджується з геометричним перетворенням графіка: якщо аргумент функції помножити на 2, її графік стиснеться до осі вдвічі. Зауважте, як у функції уполовинувся період, і точки розривупочастішали вдвічі. Тахікардія.

Схожа історія із котангенсом. Якщо деяку функцію входить , то її області визначення виключаються точки . Зокрема, для функції автоматичної черги розстрілюємо такі значення:

Іншими словами: