І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що у нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Властивості ромба

Подивись на картинку:

Як і у випадку з прямокутником, ці властивості - відмінні , тобто по кожному з цих властивостей можна укласти, що перед нами не просто паралелограм , а саме ромб.

Ознаки ромба

І знову зверни увагу: має бути не просто чотирикутник, у якого перпендикулярні діагоналі, а саме паралелограм. Переконайтеся:

Ні, звичайно, хоча його діагоналі і перпендикулярні, а діагональ - бісектриса кутів і. Але … діагоналі не діляться, точкою перетину навпіл, тому – не паралелограм, а значить, і не ромб.

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло, чому? - ромб - бісектриса кута A, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Властивості чотирикутників. Паралелограм

Властивості паралелограма

Увага! Слова « властивості паралелограма» означають, що якщо у тебе в завданні єпаралелограм, то всім нижченаведеним можна користуватися.

Теорема про властивості паралелограма.

У будь-якому паралелограмі:

Давай зрозуміємо, чому це все правильно, інакше кажучи ДОКАЖЕМОтеорему.

Отже, чому правильно 1)?

Раз - паралелограм, то:

• як навхрест лежачі
• як навхрест лежать.

Значить (за II ознакою: і - загальна.)

Ну от, а раз, то й – все! – довели.

Але, до речі! Ми ще довели при цьому 2)!

Чому? Але ж (дивися на картинку), тобто саме тому, що.

Залишилося лише 3).

Для цього все-таки доведеться провести другу діагональ.

І тепер бачимо, що – за II ознакою (кута та сторона «між» ними).

Властивості довели! Перейдемо до ознак.

Ознаки паралелограма

Нагадаємо, що ознака паралелограма відповідає на питання "як дізнатися?", що фігура є паралелограмом.

У значках це так:

Чому? Добре було б зрозуміти, чому цього вистачить. Але дивись:

Ну ось і розібралися, чому ознака одна вірна.

Ну, це ще легше! Знову проведемо діагональ.

А значить:

Ітеж нескладно. Але... інакше!

Отже, . Ух! Але і - внутрішні односторонні при січній!

Тому той факт, що означає, що.

А якщо подивишся з іншого боку, то і – внутрішні односторонні при січній! І тому.

Бачиш, як здорово?

І знову просто:

Так само, в.

Зверни увагу:якщо ти знайшов хоча бодна ознака паралелограма у своєму завданні, то в тебе точнопаралелограм, і ти можеш користуватися усімавластивостями паралелограма.

Для повної ясності подивися на схему:

Властивості чотирикутників. Прямокутник.

Властивості прямокутника:

Пункт 1) Очевидний - адже просто виконано ознаку 3 ()

А пункт 2) - дуже важливий. Отже, доведемо, що

Отже, по двох катетах (і - загальний).

Ну ось, якщо трикутники і рівні, то в них і гіпотенузи теж рівні.

Довели, що!

І уяви собі, рівність діагоналей – відмінна властивість саме прямокутника серед усіх паралелограмів. Тобто правильне таке твердження ^

Давай зрозуміємо, чому?

Значить (маються на увазі кути паралелограма). Але ще раз згадаємо, що – паралелограм, і тому.

Отже, . Ну і, звичайно, з цього випливає, що кожен з них! Адже в сумі вони повинні давати!

Ось і довели, що якщо у паралелограмараптом (!) виявляться рівні діагоналі, то це точно прямокутник.

Але! Зверни увагу!Мова йде про паралелограмах! Не будь-якийчотирикутник з рівними діагоналями - прямокутник, а тількипаралелограм!

Властивості чотирикутників. Ромб

І знову питання: ромб – це паралелограм чи ні?

З повним правом - паралелограм, тому що в нього і (згадуємо нашу ознаку 2).

І знову, якщо ромб - паралелограм, то він повинен мати всі властивості паралелограма. Це означає, що у ромба протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні, а діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Але є й особливі якості. Формулюємо.

Властивості ромба

Чому? Ну, якщо ромб - це паралелограм, то його діагоналі діляться навпіл.

Чому? Так, тому ж!

Іншими словами, діагоналі і виявилися бісектрисами кутів ромба.

Як у випадку з прямокутником, властивості ці - відміннікожні з них є ще й ознакою ромба.

Ознаки ромба.

А це чому? А подивися,

Значить, і обидвацих трикутників - рівнобедрених.

Щоб бути ромбом, чотирикутник спочатку повинен стати паралелограмом, а потім уже демонструвати ознаку 1 або ознаку 2.

Властивості чотирикутників. Квадрат

Тобто квадрат – це прямокутник та ромб одночасно. Давай подивимося, що з цього вийде.

Зрозуміло чому? Квадрат - ромб - бісектриса кута, який дорівнює. Значить ділить (та й теж) на два кути.

Ну, це зрозуміло: прямокутник діагоналі рівні; ромб діагоналі перпендикулярні, і взагалі – паралелограм діагоналі діляться точкою перетину навпіл.

Чому? Ну, просто застосуємо теорему Піфагора до.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Властивості паралелограма:

1. Протилежні сторони рівні: , .
2. Протилежні кути дорівнюють: , .
3. Кути з одного боку становлять у сумі: , .
4. Діагоналі діляться точкою перетину навпіл: .

Властивості прямокутника:

1. Діагоналі прямокутника дорівнюють: .
2. Прямокутник – паралелограм (для прямокутника виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості ромба:

1. Діагоналі ромба перпендикулярні: .
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів: ; ; ; .
3. Ромб – паралелограм (для ромба виконуються всі властивості паралелограма).

Властивості квадрата:

Квадрат - ромб і прямокутник одночасно, отже для квадрата виконуються всі властивості прямокутника та ромба. А також.

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD, \; BC = AD

2. Діагоналі ромба перпендикулярні.

AC\perp BD

Доведення

Оскільки ромб є паралелограмом, його діагоналі діляться навпіл.

Значить, \triangle BOC = \triangle DOC з трьох сторін (BO = OD , OC - спільна, BC = CD ). Отримуємо, що \angle BOC = \angle COD і вони суміжні.

\Rightarrow \angle BOC = 90^(\circ)та \angle COD = 90^(\circ) .

3. Крапка перетину діагоналей ділить їх навпіл.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD = 2 \ cdot BO = 2 \ cdot DO

4. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.

Доведення

Через те, що діагоналі розділені точкою перетину навпіл, і всі сторони ромба рівні один одному, то вся фігура ділиться діагоналями на 4 рівні трикутники:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD.

Це означає, що BD , AC - бісектриси.

5. Діагоналі утворюють з ромба 4 прямокутні трикутники.

6. Будь-який ромб може містити коло з центром у точці перетину його діагоналей.

7. Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату однієї зі сторін ромба помноженому на чотири

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Ознаки ромба

1. Паралелограм із перпендикулярними діагоналями є ромбом.

\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- Паралелограм, Rightarrow ABCD - ромб.

Доведення

ABCD є паралелограмом Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Також зазначено, що AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- по 2-х катетах.

Виходить, що AB = BC = CD = AD.

Доведено!

2. Коли в паралелограмі хоча б одна з діагоналей розділяє обидва кути (через які вона проходить) навпіл, то цією фігурою буде ромб.

Доведення

На замітку:не кожна фігура (чотирикутник) із перпендикулярними діагоналями буде ромбом.

Наприклад:

Це вже не ромб, незважаючи на перпендикулярність діагоналей.

Для відмінності варто запам'ятати, що спочатку чотирикутник має бути паралелограмом і мати

з рівними сторонами. Ромб з прямими кутами є квадратом .

Ромб розглядають як вид паралелограма з двома суміжними рівними сторонами або з взаємно перпендикулярними діагоналями, або з діагоналями ділять кут на 2 рівні частини.

Властивості ромба.

1. Ромб- це паралелограм, тому протилежні сторони мають однакову довжину і паралельні попарно, АВ | CD, AD | НД.

2. Кут перетину діагоналейромба є прямим (AC⊥ BD)і точкою перетину поділяються на дві однакові частини. Тобто діагоналі ділять ромб на 4 трикутники – прямокутні.

3. Діагоналі ромба- це бісектриси його кутів (∠ DCA =∠ BCA,∠ ABD =∠ CBDі т.д. ).

4. Сума квадратів діагоналейдорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири (висновок з тотожності паралелограма).

Ознаки ромба.

Паралелограм ABCDбуде називатися ромбом тільки у разі виконання хоча б однієї з умов:

1. 2 його суміжні сторони мають однакову довжину (тобто всі сторони ромба рівні, AB=BC=CD=AD).

2. Кут перетину діагоналей прямий ( AC⊥ BD).

3. Одна з діагоналей ділить кути, які її містять навпіл.

Нехай ми не знаємо, що чотирикутник виявляється паралелограмом, проте відомо, що всі його сторони рівні. Значить, цей чотирикутник є ромбом.

Симетрія ромба.

Ромб симетричнийщодо всіх своїх діагоналей, найчастіше його використовують в орнаментах та паркетах.

Периметр ромба.

Периметр геометричної фігури- Сумарна довжина меж плоскої геометричної фігури. У периметра та сама розмірність величин, як і в довжини.

короткий зміст інших презентацій

"Завдання на ознаки подібності трикутників" - Подібність трикутників. Визначення висоти предмета дзеркала. Визначення висоти предмета по калюжі. Вирішення практичних завдань. Тінь від палиці. Визначення висоти предмета. Вимірювання висоти великих об'єктів. Девіз уроку. Розв'язання задач за готовими кресленнями. Самостійна робота. Гімнастика для очей Спосіб Фалеса. Індивідуальні карти. Визначення висоти піраміди. Назвати такі трикутники.

"Властивості чотирикутників" - Назви чотирикутників. Усі кути прямі. Властивості чотирикутників. Трапеція. Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. Паралелограма елементів. Діагоналі ділять кути навпіл. Чотирикутник. Диктант. Діагональ. Протилежні кути. Допоможіть Незнайці виправити двійку. Історичні відомості. Чотирикутники та їх властивості. Діагоналі. Ромб. Протилежні сторони. Сторони.

"Ромб" - Ознаки. Периметр. Поява ромба. Казка про ромб. Ромб. Ромб, у якому проведено діагоналі. Що таке ромб. Формули площі. Цікаві факти. Властивості ромба. Ромб у житті.

"Рішення теореми Піфагора" - Доказ методом розкладання. Площа квадрата. Найпростіший доказ. Підтвердження Перигаля. Піфагорійці. Діагональ. Доказ 9 століття н. Послідовники. Висота. Діаметр. Повноцінний доказ. Мотив. Шестикутники. Доказ методом віднімання. Квадрат. Прямокутник. Можливості застосування теореми. Доказ Гутхейль. Застосування теореми. Завдання про лотос. Історія теореми.

«Площа прямокутника» 8 клас» - Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони. Площа. Знайдіть площу та периметр квадрата. Одиниці виміру площ. Багатокутник складається з кількох багатокутників. Знайти площу трикутника. Сторони кожного із прямокутників. Одиниці. Знайдіть площу квадрата. АBCD та DСМK – квадрати. Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей. На боці АВ побудовано паралелограм. Знайдіть площу шестикутника.

«Трапеція» 8 клас - Трапецієподібні м'язи обох сторін спини разом мають форму трапеції. Завдання для усної роботи. Чи є чотирикутники трапеціями. Властивості рівнобедреної трапеції. Ознаки рівнобедреної трапеції. Види трапецій. Площа трапеції. Елементи трапеції. Визначення. Середня лінія трапеції. Трапеція. Геометрична фігура була названа так на зовнішній схожості з маленьким столом.