ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე. სემესტრი 1

ლექცია 9. ვექტორული სივრცის საფუძველი.

მოკლევადიანი: ვექტორული სისტემა, ვექტორული სისტემის წრფივი კომბინაცია, ვექტორული სისტემის წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტები, საფუძველი სწორ ხაზზე, ფართობი და სივრცე, ვექტორული სივრცეების ზომები წრფეზე, ფართობზე და სივრცეში, ვექტორის დაშლა საფუძველი, ვექტორის კოორდინატები საფუძვლის მიხედვით, თეორემა ეჭვიანობის შესახებ ორი ვექტორი, წრფივი მოქმედებები ვექტორებზე კოორდინატულ აღნიშვნით, ვექტორთა ორთონორმალური სამეული, ვექტორების მარჯვენა და მარცხენა სამეული, ორთონორმალური საფუძველი, ვექტორული ალგებრის მთავარი თეორემა.

თავი 9. ვექტორული სივრცის საფუძველი და ფუძის უკან ვექტორის დაშლა.

პუნქტი 1. ფუძე არის სწორ ხაზზე, ბრტყელ ზედაპირზე და სივრცეში.

ვიზნაჩენნია. ნებისმიერ შემთხვევაში, გაუთავებელ ვექტორებს ვექტორთა სისტემას უწოდებენ.

ვიზნაჩენნია. ვირაზ, დე
ეწოდება ვექტორული სისტემის წრფივი კომბინაცია
და ნომრები
წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებს უწოდებენ.

ვთქვათ L, P და S – სწორი, წერტილის ფართობი და სივრცე პარალელურია და
. თოდი
- ვექტორების ვექტორული სივრცეები, როგორც პირდაპირი ჭრილები სწორ ხაზზე L, სიბრტყეზე P და სივრცეში S თანმიმდევრულია.

არანულოვანი ვექტორი ეწოდება
, მაშინ. იყოს ნებისმიერი არანულოვანი კოლინარული ვექტორი L:
і
.

ენიჭება საფუძველს
:
- საფუძველი
.

ვიზნაჩენნია. ვექტორული სივრცის საფუძველი
ეწოდება თუ არა სივრცეში არასწორხაზოვანი ვექტორების წყვილი მოწესრიგებული
.

, დე
,
- საფუძველი
.

ვიზნაჩენნია. ვექტორული სივრცის საფუძველი
ეწოდება, როდესაც სივრცეში სამი არათანაბარი ვექტორი დალაგებულია (ისე, რომ არ დევს ერთ სიბრტყეში).
.

- საფუძველი
.

პატივისცემა. ვექტორული სივრცის საფუძველი ვერ შეცვლის ნულოვან ვექტორს: სივრცეში
კულისებში, ღია სივრცეში
ორი ვექტორი იქნება კოლინარული, თითქოს ერთი მათგანი იყოს ნული, სივრცეში
სამი ვექტორი თანაპლენარული იქნება, ამიტომ ისინი დევს ერთ სიბრტყეში, თითქოს სამი ვექტორიდან ერთი იყოს ნული.

პუნქტი 2. ვექტორის განლაგება საფუძველზე.

ვიზნაჩენნია. Წავედით - საკმარისი ვექტორი,
- ვექტორთა საკმაოდ სისტემა. როგორ მთავრდება ეჭვიანობა

როგორც ჩანს ვექტორად წარმოდგენები, როგორც ჩანს, არის ვექტორული სისტემების წრფივი კომბინაცია. მოცემულია ვექტორთა სისტემა
є ვექტორული სივრცის საფუძველი, მაშინ ტოლობას (1) ეწოდება ვექტორის დაშლა საფუძველზე
. ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები
ამგვარად უწოდებენ ვექტორის კოორდინატებს საფუძველს
.

თეორემა. (ფუძის უკან ვექტორების დაშლის შესახებ.)

ვექტორული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიყოს მის საფუძვლად ერთი გზით.

დასრულდა. 1) დაე, L კმაყოფილი იყოს სწორი ხაზით (ან მთელი ნივთით)
- საფუძველი
. ავიღოთ ძალიან კარგი ვექტორი
. მაშ რამდენად განაწყენებულები არიან ვექტორები і კოლინარული ერთი და იგივე და სწორი L, მაშინ
. სიჩქარის თეორემა ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ. ასე რომ იაკ
, მაშინ იქნება ასეთი რიცხვი
, რა
და ამით ჩვენ თვითონ დავშალეთ ვექტორი საფუძველზე
ვექტორული სივრცე
.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ ასეთი განლაგების ერთიანობას. Მიუღებელი. მივიღოთ ორი დაკეცილი ვექტორი საფუძველზე
ვექტორული სივრცე
:

і
, დე
. თოდი
და განაწილების ვიკორისტური კანონი უარყოფილია:

ასე რომ იაკ
, მერე დარჩენილი მონდომებით მიედინება რომ
, ჩ.ტ.დ.

2) დაე ახლა საკმარისად ბრტყელი იყოს
- საფუძველი
. Წავედით
ტერიტორიის დამატებითი ვექტორი. სამივე ვექტორს ვამატებთ ერთი და იმავე სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს. მოდით დავრჩეთ 4 პირდაპირ. პირდაპირ წავიდეთ , რომელზეც ერთი დევს ვექტორი პირდაპირ
, რომელზეც ერთი დევს ვექტორი . ვექტორის ბოლოდან ვექტორის პირდაპირ პარალელურად დახატვა і უშუალოდ ვექტორის პარალელურად . 4 სწორი ხაზი კიდია პარალელოგრამებში. ქვემოთ ნახ. 3. პარალელოგრამის წესის დაცვა
, і
,
,
- საფუძველი ,
- საფუძველი
.

ახლა, ამ მტკიცებულების პირველი ნაწილის დასრულების შემდეგ, არის ასეთი რიცხვები
, რა

і
. ვარსკვლავები ნათელია:

და მიღწეულია საფუძვლის გაყვანის შესაძლებლობა.

ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ დაშლის ერთიანობას საფუძვლით. Მიუღებელი. მივიღოთ ორი დაკეცილი ვექტორი საფუძველზე
ვექტორული სივრცე
:
і
. ეჭვიანობა მოსახსნელია

შემდეგი ვარსკვლავები
. იაკშჩო
, ეს
, და მას შემდეგ
, ეს
და ასახული დონის კოეფიციენტები:
,
. ახლავე წავიდეთ
. თოდი
, დე
. ორი ვექტორის კოლინეარობის შესახებ თეორემის შემდეგ, გამოდის, რომ
. წარმოიშვა გონებამახვილური თეორემები. ოტიე,
і
, ჩ.ტ.დ.

3) გაუშვით
- საფუძველი
და გამიშვი
ლამაზი ვექტორი. ცოტა დრო გავატაროთ ასე.

ჩვენ ვაერთიანებთ სამივე ძირითად ვექტორს
თა ვექტორი ერთი წერტილიდან იქნება 6 სიბრტყე: სიბრტყე, რომელშიც დევს საფუძვლების ვექტორები
, ფართობი
იმ ტერიტორიას
; მანძილი ვექტორის ბოლომდე მოდით დავხატოთ სამი სიბრტყე პარალელურად, ფრთხილად შევქმნათ სამი სიბრტყე. პარალელეპიპედზე ჩამოკიდებული 6 თვითმფრინავია:

ვექტორების დასაკეცი წესი გულისხმობს ეჭვიანობას:

. (1)

Ყოველ დღე
. ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ თეორემადან გამომდინარე, მთავარი რიცხვი
, მერე რა
. ანალოგიურად,
і
, დე
. ახლა, ტოლობების (1) ჩანაცვლებით, ჩვენ შეგვიძლია წავშალოთ:

და მიღწეულია საფუძვლის გაყვანის შესაძლებლობა.

მოდით ვაჩვენოთ ასეთი განლაგების ერთიანობა. Მიუღებელი. მივიღოთ ორი დაკეცილი ვექტორი საფუძველზე
:

ᲛᲔ. თოდი

ძვირფასო, რა დგას ტვინის ვექტორის უკან
არაერთობლივი, ამიტომ მათ სუნი აქვთ წყვილ-წყვილად არა კოლნეარული.

არსებობს ორი შესაძლო სცენარი:
ან კიდევ
.

ა) გაუშვით
თოდი გულმოდგინებით (3) ყვირის:

. (4)

ეჭვიანობით (4) ის ანათებს როგორც ვექტორი იშლება საფუძვლის მიხედვით
, მაშინ. ვექტორი დაწექი ვექტორულ კვადრატთან ახლოს
და ასევე ვექტორები
თანაპლენარული, რომელიც აძლიერებს გონებას.

ბ) დაცემის დაკარგვა
, მაშინ.
. ტოდი ტოლობით (3) შეიძლება ამოღებულ იქნეს ან

ასე რომ იაკ
- ვექტორების სივრცის საფუძველი დევს სიბრტყეში და ჩვენ უკვე მოვიყვანეთ დაშლის ერთიანობა ფართობის ვექტორების საფუძვლის მიხედვით, შემდეგ ტოლობიდან (5) გამოდის, რომ
і
, ჩ.ტ.დ.

თეორემა დადასტურდა.

გამოძიება.

1) ვექტორულ სივრცეში ანონიმურ ვექტორებს შორის ორმხრივი ცალსახა ურთიერთობაა
და ყოველგვარი აქტიური ნომრის გარეშე R.

2) ვექტორულ სივრცეში ანონიმურ ვექტორებს შორის არის ორმხრივი ცალსახა მიმოწერა.
და დეკარტის მოედანი

3) ვექტორულ სივრცეში ანონიმურ ვექტორებს შორის არის ორმხრივი ცალსახა მიმოწერა.
და დეკარტის კუბი
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R.

დასრულდა. მესამე პუნქტამდე მივედით. პირველი ორი დამუშავებულია ანალოგიურად.

აირჩიეთ და დააფიქსირეთ სივრცეში
რის საფუძველზე
და ჩვენება კონტროლდება
შემდეგი წესის დაცვით:

ტობტო. კანის ვექტორს ენიჭება კოორდინატების მოწესრიგების ტიპი.

ვინაიდან, ფიქსირებული საფუძვლით, ვექტორი შეიცავს კოორდინატთა ერთ ნაკრებს, გამოსახულებაზე ეფექტურია გარეგნობა, რომელიც მითითებულია წესით (6).

თეორემის მტკიცებულება გვიჩვენებს, რომ სხვადასხვა ვექტორს აქვს განსხვავებული კოორდინატები ერთი და იმავე საფუძველზე. ჩვენება (6) ნიშნავს ეფექტს.

Წავედით
აქტიური ნომრების აკრეფის მეტი შეკვეთა.

მოდით შევხედოთ ვექტორს
. ამ ვექტორს აქვს კოორდინატები
. ისე, სურათი (6) არის sur'ecce.

გამოსახულება არის როგორც არააქტიური, ასევე სუროაქტიური და არაეფექტური. ორმხრივი ცალსახა და ა.შ.

გამოძიება დასრულებულია.

თეორემა. (ორი ვექტორის ტოლობის შესახებ.)

ორი ვექტორი ტოლია, თუ მათი კოორდინატები იგივე საფუძვლის ტოლია.

მტკიცებულება წინასწარი გამოძიებიდან მაშინვე იკვეთება.

პუნქტი 3. ვექტორული სივრცის ზომა.

ვიზნაჩენნია. ვექტორების რაოდენობას ვექტორული სივრცის საფუძველში ეწოდება მისი განზომილება.

დანიშნულია:
- ვექტორული სივრცის ზომა V.

ამრიგად, ამ და წინა მნიშვნელობების მსგავსება შეიძლება ითქვას:

1)
- ხაზოვანი ვექტორების ვექტორული სივრცე L.

- საფუძველი
,
,
,
- განლაგების ვექტორი
საფუძველზე
,
- ვექტორული კოორდინატი საფუძველს
.

2)
- R ფართობის ვექტორთა ვექტორული სივრცე.

- საფუძველი
,
,
,
- განლაგების ვექტორი
საფუძველზე
,
- ვექტორული კოორდინატები საფუძველს
.

3)
– ვექტორთა ვექტორული სივრცე სივრცის წერტილში S.

- საფუძველი
,
,
- განლაგების ვექტორი
საფუძველზე
,
- ვექტორული კოორდინატები საფუძველს
.

პატივისცემა. იაკშჩო
, ეს
და თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ საფუძველი
სივრცე
მერე რა
- საფუძველი
і
- საფუძველი
. თოდი
, і
, .

ამგვარად, სწორი ხაზის L, P ფართობის ან S სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიყოს საფუძვლის მიხედვით
:

დანიშვნა. ვექტორთა თანასწორობის შესახებ თეორემის მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ ნებისმიერი ვექტორი რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამიდან და დავწეროთ:

ეს შეიძლება იყოს ნაკლებად მნიშვნელოვანი ამ შემთხვევაში, თუ საფუძველი
ფიქსაციები და არ არსებობს დაბნეულობის საშიშროება.

ვიზნაჩენნია. ვექტორის დაწერას რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამეულის სახით ვექტორის ჩაწერის კოორდინატულ ფორმას უწოდებენ:
.

პუნქტი 4. ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებით კოორდინატთა აღნიშვნის სახით.

Წავედით
- სივრცის საფუძველი
і
- ორი დამატებითი ვექტორი. Წავედით
і
– ამ ვექტორების ჩაწერა კოორდინატულ ფორმაში. წადი, წინ წადი,
- საკმაოდ ეფექტური რიცხვია. ამ სახელებს აქვთ იგივე თეორემა.

თეორემა. (წრფივი მოქმედებების შესახებ ვექტორებით კოორდინატულ ფორმაში.)

2)
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი ვექტორის დასამატებლად საჭიროა მათი კოორდინატების დამატება, ხოლო ვექტორის რიცხვზე გასამრავლებლად, მოცემული ვექტორის კოორდინატების გამრავლება მოცემულ რიცხვზე.

დასრულდა. გონებრივი თეორემის შემდეგ, გამოკლებულია ვექტორული სივრცის ვიკორისტული აქსიომები, რომლებიც ეფუძნება ვექტორების დაკეცვას და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების მოქმედებებს:

ვარსკვლავი ყვირის.

იგივე ეხება ეჭვიანობას.

თეორემა დადასტურდა.

პუნქტი 5. ორთოგონალური ვექტორები. ორთონორალური საფუძველი.

ვიზნაჩენნია. ორ ვექტორს ორთოგონალურს უწოდებენ, რადგან მათ შორის ბილიკი პირდაპირ ბილიკს ჰგავს.
.

დანიშნულია:
- ვექტორები і ორთოგონალური

ვიზნაჩენნია. სამი ვექტორი
ეწოდება ორთოგონალური, რადგან ვექტორები ერთმანეთის მიმართ ორთოგონალურია, მაშინ.
,
.

ვიზნაჩენნია. სამი ვექტორი
ორთონორმალურს უწოდებენ, რადგან ის ორთოგონალურია და სანამ ყველა ვექტორს არ ექნება ერთეული:
.

პატივისცემა. მნიშვნელობა შემდეგნაირად ხდება, რომ ვექტორების სამეული არის ორთოგონალური და, შესაბამისად, ორთონორმალური და არათანაბლატური.

ვიზნაჩენნია. დალაგებულია ვექტორების არათანაბარი ტრიო
იმავე წერტილში მოთავსებულს ეწოდება მარჯვენა (მარჯვნივ ორიენტირებული), რადგან ის მოდის მესამე ვექტორის ბოლოდან. იმ ფართობზე, რომელშიც პირველი ორი ვექტორი დევს і , პირველი ვექტორის უმოკლეს ბრუნვა სხვას გამოჩნდება საიუბილეო ისრის საპირისპიროდ. სხვა შემთხვევაში, ვექტორთა სამს ეწოდება მარცხენა (მარცხნივ ორიენტირებული).

აქ, ნახ. 6-ზე ნაჩვენებია მარჯვენა სამი ვექტორი
. შემდეგი ფიგურა 7 გვიჩვენებს მარცხენა სამ ვექტორს
:

ვიზნაჩენნია. საფუძველი
ვექტორული სივრცე
ორთონორმალიზაციას უწოდებენ, რადგან
ვექტორთა ტრიო ორთონორმალურია.

დანიშვნა. ჩვენ გვაქვს სწორი ორთონორალური საფუძველი.
დივ. თავს ესხმიან პატარებს.

ვექტორების წრფივობა და წრფივობა.
ვექტორული ბაზები. ათენის კოორდინატთა სისტემა

კლასში ბევრი შოკოლადი იქნება და კანის კონდიციონერი დღეს ორიოდე ძირტკბილას მიიღებს - ანალიტიკური გეომეტრია ხაზოვანი ალგებრით. ამ სტატიაში განადგურდება ძირითადი მათემატიკის ორი განყოფილება და ჩვენ გვაინტერესებს როგორ ცხოვრობენ ისინი ერთ დამწვრობაში. დაისვენეთ და ითამაშეთ "Twix"! ...მლინეც, კარგად და nіsenіtnitsa superechok. თუ მინდა, არ დავნებდები, დავიწყებ პოზიტიური განწყობით.

ვექტორების ხაზოვანი მდებარეობა, ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა, ვექტორების საფუძველიორივე ტერმინს შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, არამედ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. თავად „ვექტორის“ გაგებით წრფივი ალგებრის პერსპექტივიდან, ის არავითარ შემთხვევაში არ არის იგივე „პირველადი“ ვექტორი, რომელიც შეგვიძლია წარმოვადგინოთ სიბრტყეზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მტკიცებულება, უბრალოდ შეეცადეთ დახატოთ ხუთ სამყაროს სივრცის ვექტორი. . ან მოიცადე, რისთვისაც გისმეტეოში მივედი: - ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევა თანმიმდევრულია. კონდახი, რა თქმა უნდა, არასწორია ავტორიტეტების თვალსაზრისით ვექტორულ სივრცეში, მაგრამ არავინ იწუხებს ამ პარამეტრების ვექტორული ფორმალიზებას. შემოდგომის დიჰანა.

არა, მე არ ვაპირებ თქვენი მოტყუებით თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, მიზანი ისაა, რომ გაგებათეორემის მნიშვნელობა. ახალი ტერმინები (წრფივი, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) გამოიყენება ყველა ვექტორზე ალგებრის თვალსაზრისით, მაგრამ აპლიკაციები იქნება გეომეტრიული. ამ გზით ყველაფერი მარტივია, ხელმისაწვდომი და პირადად. გარდა ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანისა, განვიხილავთ ალგებრის ამოცანების ტიპებს. მასალის ათვისებისთვის მნიშვნელოვანია გაკვეთილების გაცნობა ვექტორები დუმებისთვისі როგორ გამოვთვალოთ ღირებულება?

ფართობის ვექტორების წრფივობა და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

მოდით შევხედოთ კომპიუტერის მაგიდის ზედაპირს (მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდები, საწოლის მაგიდები, სადგამები, რაც მოგწონთ). ზავოდანია შეტევაში დარჩება:

1) ვიბრაციის საფუძვლის თვითმფრინავი. უხეშად რომ ვთქვათ, სვეტს აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურად გაიგეს, რომ საფუძვლის შესაქმნელად საჭიროა ორი ვექტორი. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ნარჩენია.

2) შერჩეული საფუძველზე კოორდინატთა სისტემის ჩასმა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, ახსნა მაშინვე თითებზე გექნებათ. უფრო მეტიც, შენზე. იყავი კეთილი, ადგილი მარცხენა ხელის ვულგარული თითიოთახის კიდემდე ისე, რომ მონიტორზე გაოცებული ხარ. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ მარჯვენა ხელის პატარა თითიმაგიდის კიდეზე ზუსტად ასე - ისე, რომ ის პირდაპირ მონიტორის ეკრანზე იყოს. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რას იტყვით ვექტორებზე? დანის ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოჩნდება ერთმანეთის მიყოლებით:
, ფაქტიურად: , de – deyake ნომერი, vydmіnne vіd zero.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისსადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

როგორ დააფუძნებს თქვენი თითები კომპიუტერის მაგიდის ზედაპირზე? ცხადია, არა. კოლინარული ვექტორები აქა-იქ გაძვირდება მარტოსწორი და ზედაპირი უდრის სიგანეს.

ეს არის ვექტორები ე.წ წრფივად იტყუება.

დოვიდკა: სიტყვები "წრფივი", "წრფივი" ნიშნავს, რომ მათემატიკურ განტოლებებში არ არის კვადრატები, კუბურები, სხვა საფეხურები, ლოგარითმები, სინუსები და ა.შ. მხოლოდ წრფივი (1 ეტაპი) გამონათქვამები და განლაგება.

ორი ვექტორული თვითმფრინავი ხაზოვანი დეპოზიტებიეს და მხოლოდ ეს, თუ ისინი კოლინარულია.

შეაერთეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის რაიმე სხვაობა იყოს 0-დან 180 გრადუსამდე. ორი ვექტორული თვითმფრინავიხაზოვანი არადეპოზიტები ამა თუ იმ შემთხვევაში, რადგან სუნი არ არის კოლინარული. ისე, საფუძველი ამოღებულია. არ არის საჭირო ვიჯშოვის საფუძვლის „დათესვა“ სხვადასხვა დოვჟინის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია, რომ ამ მიზნით არსებობდეს არა მხოლოდ 90 გრადუსი და არა მხოლოდ ერთი, თანაბარი ვექტორები.

Სულ ერთიაფართობის ვექტორი ერთ რანგშიდაიშალა საფუძვლების მიხედვით:
, დეოპერაციული ნომრები. დაასახელეთ ნომრები ვექტორული კოორდინატებირის საფუძველზე.

ასე რომ, როგორც ჩანს ვექტორიხედები მაყურებლისგან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები. ასე ეძახიან ვირაზს გაშლილი ვექტორისაფუძველზეან კიდევ ხაზოვანი კომბინაციაბაზის ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დაშლის ვექტორი სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის მიღმაა და შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გამოსახულებებს აქვთ ვექტორების წრფივი კომბინაციის სახე.

ნება მომეცით ჩამოვაყალიბო ღირებულება საფუძველსფორმალურად: ტერიტორიის საფუძველიწრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი ეწოდება, , როდესაც მოვა რაფართობის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

მნიშვნელობის რეალური მომენტი არის ის ფაქტი, რომ აღებული ვექტორები სიმღერის წესით. ბაზისი - ეს ორი აბსოლუტურად განსხვავებული საფუძველია! როგორც ჩანს, თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ თქვენი მარცხენა ხელის პატარა თითი მარჯვენა ხელის პატარა თითით.

ჩვენ დავახარისხეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება თითოეულ ობიექტს კომპიუტერის ცხრილზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ ზედაპირზე. მაშ, როგორ შეგვიძლია კოორდინატები მივცეთ მაგიდაზე ამ პატარა უხეში წერტილებს, რომლებიც დავკარგეთ დაძაბული შაბათ-კვირის შემდეგ? აუცილებელი საცნობარო წერტილი. და ასეთი საცნობარო წერტილი არის ყველასთვის ცნობილი წერტილი - კოორდინატების დასაწყისი. მოდით შევხედოთ კოორდინატთა სისტემას:

დავიწყებ "სკოლის" ორგანიზაციით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისმე დავინახე განსხვავებები სწორხაზოვან კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. ღერძის სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრისას სწორხაზოვანი კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ჩანს კოორდინატები, კოორდინატთა ღერძები და მასშტაბები ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „პირდაპირი კოორდინატთა სისტემა“ და დაინახავთ, რომ ბევრი რამ არის გასარკვევი იმ კოორდინატთა ღერძების შესახებ, რომლებიც იცით მე-5-6 კლასიდან და როგორ მოათავსოთ ქულები თვითმფრინავზე.

მეორეს მხრივ, აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეიძლება განისაზღვროს მთლიანად ორთონორმალური საფუძველზე. და ეს ალბათ მართალია. ფორმულა ასე უნდა ჟღერდეს:

კოორდინატების კობი, і ორთონორმალურობებიდააყენეთ საფუძველი დეკარტის სწორხაზოვანი სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ეს არის სწორხაზოვანი კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადწარმოდგენილია ერთი წერტილით და ორი ერთპიროვნული ორთოგონალური ვექტორით. ამას თავად სავარძელში ხედავთ, როგორც მე მიჩვეული ვარ - გეომეტრიულ ნამუშევრებში ხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) ვექტორები და საკოორდინატო ღერძებიც არის დახატული.

ვფიქრობ, ყველამ გააცნობიერა, რომ წერტილის (კოორდინატების) მიღმა არსებობს ორთონორმალური საფუძველი იყავით სიბრტყის წერტილი და იყავით სიბრტყის ვექტორიკოორდინატები შეიძლება დაინიშნოს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „მოედნებზე ყველაფერი შეიძლება იყოს დანომრილი“.

კოორდინატთა ვექტორები ერთი უნდა იყოს? არა, მათ შეუძლიათ საკმაოდ დიდი თანხის გადახდა. მოდით შევხედოთ წერტილს და ორ ორთოგონალურ ვექტორს საკმარისად არანულოვანი მნიშვნელობისა:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებით კოორდინატების სიმრავლე განსაზღვრავს კოორდინატთა ბადეს და სიბრტყის ან ვექტორის ნებისმიერი წერტილი ასახავს მის კოორდინატებს ამის საფუძველზე. მაგალითად, ან... აშკარა შეუსაბამობა მდგომარეობს იმაში, რომ კოორდინატების ვექტორები ზაგალნი ვიპადკუშიარსებობს სხვადასხვა დოვჟინი, იყოფა ერთად. როგორც კი ერთეულები გაიზრდება ზომაში, მაშინ ჩნდება პირველადი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველში და ასევე ქვედა აფინურ ფუძეებში გათვალისწინებულია ერთის ფართობი და სივრცე ღერძების გასწვრივ. UMOVIMI. მაგალითად, ერთ ერთეულში აბსცისის ღერძის გასწვრივ არის 4 სმ, ერთ ერთეულში ორდინატთა ღერძის გასწვრივ არის 2 სმ. ეს ინფორმაცია საკმარისია საჭიროების შემთხვევაში „არასტანდარტული“ კოორდინატების „ჩვენს თავდაპირველ სანტიმეტრზე“ გადასათარგმნად.

და კიდევ ერთი საჭმელი, როგორც სიმართლე უკვე იქნა მოცემული - რა კავშირია საბაზისო ვექტორებს შორის, რომელიც შეიძლება იყოს 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორ განვსაზღვროთ მნიშვნელობა, დანაშაულის ძირითადი ვექტორები ნაკლებად არაკოლინარული. როგორც ჩანს, ის შეიძლება იყოს 0-დან 180 გრადუსამდე.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ კოორდინატების კობი, і არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი თვითმფრინავის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ამ კოორდინატთა სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. წერტილის და ვექტორის სკამზე გამოსახულების კონდახის მსგავსად:

როგორც წარმოგიდგენიათ, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მექანიკურია, ის არ მუშაობს ვექტორებისა და კალმების გაორმაგების ფორმულებით, როგორც ეს გაკვეთილის სხვა ნაწილში ვნახეთ. ვექტორები დუმებისთვის, უხვად გემრიელი ფორმულები ასოცირდება ვექტორების სკალარული შექმნა. შემდეგ არის ვექტორების დამატების და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების შემდეგი წესები, ამ მიმართებაში ქვეგანყოფილების ფორმულები, ასევე დავალების ტიპის მოქმედებები, რომლებსაც მოკლედ განვიხილავთ.

და კონცეფცია ისეთია, რომ ყველაზე მოსახერხებელი გზა აფინური კოორდინატთა სისტემის აღწერისთვის არის დეკარტის სწორხაზოვანი სისტემა. ამიტომ, ჩემო კარგო, ყველაზე ხშირად მიწევს სწავლა. ...ამ შემთხვევაში, ადამიანის ცხოვრებაში ყველაფერი ნათელია - ის ეფუძნება იმ სიტუაციას, რომელშიც თავად მდინარე დახრილია (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. ჰუმანოიდებს შეუძლიათ ისარგებლონ ასეთი სისტემებით =)

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ამ გაკვეთილზე მოცემული ყველა ინფორმაცია სამართლიანია როგორც სწორხაზოვანი კოორდინატთა სისტემაში, ასევე აფონურ ფორმაში. აქ არაფერია რთული, ყველა მასალა ხელმისაწვდომია სტუდენტისთვის.

როგორ განვსაზღვროთ ფართობის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური მდიდარი. იმისათვის, რომ გვქონდეს ორი ვექტორი და სიბრტყე თუ ისინი კოლინარულია, აუცილებელია და საკმარისია მათი კოორდინატები იყოს პროპორციული. სინამდვილეში, აშკარა ურთიერთობის კოორდინირებული დეტალები არ არსებობს.

კონდახი 1

ა) გადაამოწმეთ, რომ ვექტორები კოლინარულია .
ბ) ჩი ადგენს საბაზისო ვექტორებს ?

გადაწყვეტილება:
ა) გასაგებია, რას ნიშნავს ეს ვექტორებისთვის პროპორციულობის კოეფიციენტი, ისეთი, რომ თანასწორობა ტოლია:

მოდით, აუცილებლად ვისაუბროთ დადგენილი წესის „მოდურ“ ვერსიაზე, რომელიც ზოგადად პრაქტიკაში ხორციელდება. იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ დაუყოვნებლივ გამოსწორდეს პროპორცია და დავინტერესდეთ, მართალია თუ არა ეს:

ჩვენ ვაგროვებთ პროპორციას ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების ხაზებიდან:

მოკლედ:
ამრიგად, გარე კოორდინატები პროპორციულია, ამიტომ,

ინსტალაცია შეიძლება დაიკეცოს და დაკეცოს, ასე რომ იგივე ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ის, რომ კოლინარული ვექტორები წრფივად გამოხატავენ ერთიდან ერთამდე. ვის შემთხვევაშიც ეჭვიანობის ადგილი იჩენს თავს . მისი სამართლიანობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ვექტორებით ელემენტარული მოქმედებებით:

ბ) ორი ფართობის ვექტორი ქმნის საფუძველს, რადგან ისინი კოლინარულია (წრფივად დამოუკიდებელი). ჩვენ ვაკვირდებით ვექტორების კოლინარობას . ჩვენ ვაწყობთ სისტემას:

პირველიდან გამოდის განტოლება, რომელიც მეორედან გამოდის მეტოქეობა, რომელიც, შემდეგ, სისტემა აბსურდია(გამოსავალი არ არის). ამრიგად, ვექტორების ფაქტობრივი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

ვისნოვოკი: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

ჩვენ ვაგროვებთ პროპორციას ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან :
აქედან გამომდინარე, ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

დარწმუნდით, რომ ეს ვარიანტი უარყოფილია მიმომხილველების მიერ, წინააღმდეგ შემთხვევაში პრობლემა წარმოიქმნება, თუ კოორდინატები ნულს მიაღწევენ. ღერძი ასეთია: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვმუშაობთ პროპორციით? (მართალი გითხრათ, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზის გამო, მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფუპი".

თემა:ა), ბ) ამტკიცებენ.

მცირე შემოქმედებითი მაგალითი დამოუკიდებელი შემოქმედებისთვის:

კონდახი 2

ვექტორული პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის იქნება კოლინარობა?

ხსნარში პარამეტრი ნაპოვნია პროპორციით.

იგი ეფუძნება ალგებრის დახვეწილ მეთოდს ვექტორების კოლინეარობის შესამოწმებლად.ჩვენ ვაწყობთ ჩვენს ცოდნას და ვამატებთ მეხუთე პუნქტს:

ფართობის ორი ვექტორისთვის, გამკვრივების ექვივალენტური საფეხურები:

2) ვექტორები განსაზღვრავენ საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) პირველადი, ამ ვექტორების კოორდინატების დამატება, ნულზე დაქვემდებარებული.

როგორც ჩანს, ფეხისა და საწოლის ექვივალენტური სიმტკიცე:
1) წრფივი ვექტორები;
2) ვექტორები არ უტოლდება საფუძველს;
3) ვექტორები კოლინარულია;
4) ვექტორები შეიძლება იყოს წრფივი გამოხატული ერთიდან ერთის ჩათვლით;
+ 5) პირველადი, შეკრება ამ ვექტორების კოორდინატებიდან, ნულის ტოლი.

მე უკვე დარწმუნებული ვარ, რომ თქვენ უკვე გაიგეთ ყველა ის ტერმინი და განცხადება, რომელიც უკვე ნაცნობია.

მოდით, გადავხედოთ მოხსენების ახალ, მეხუთე პუნქტს: ფართობის ორი ვექტორი კოლინარული მეთოდები და მხოლოდ ის, თუ წარმოშობა, იკეცება ამ ვექტორების კოორდინატებიდან ნულის მიმართ:. ამ ნიშნების დასასრულებლად, რა თქმა უნდა, უნდა გაითვალისწინოთ იციან და გამარჯვებულები.

ვირიშიმოკონდახი 1 სხვა გზით:

ა) ვექტორების კოორდინატების მიმატების კოვარიატი გამოთვლადია :
, მაშინ, ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი ფართობის ვექტორი ქმნის საფუძველს, რადგან ისინი კოლინარულია (წრფივად დამოუკიდებელი). ვექტორული კოორდინატების კოვარიატი გამოთვლადია :
, ასევე, ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

თემა:ა), ბ) ამტკიცებენ.

ის გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ნაკლები პროპორციებით.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების კოლინარობის დადგენა, მონაკვეთებისა და სწორი ხაზების პარალელურობის დადგენა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე შეკვეთას კონკრეტული გეომეტრიული ფიგურებით.

კონდახი 3

ჩოტირიკუტნიკის მწვერვალების გათვალისწინებით. გამაგებინე, რომ ჩოტირიკუტნიკი პარალელოგრამია.

დასრულდა: პრობლემაში სავარძელი არ იქნება საჭირო, ამონახსნის დარჩენილი ნაწილი წმინდა ანალიტიკური იქნება, შეგვიძლია გამოვიცნოთ პარალელოგრამის მნიშვნელობა:
პარალელოგრამი მას ჭოტირიკუტნიკი ჰქვია, რომლის წინა მხარეები წყვილად პარალელურია.

ამ გზით აუცილებელია გადმოგცეთ:
1) პროქსიმალური მხარეების პარალელიზმი;
2) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი.

დამაჯერებელი:

1) ჩვენ ვიცით ვექტორები:

2) ჩვენ ვიცით ვექტორები:

ვიიშოვი იგივე ვექტორია ("სკოლის მიხედვით" - თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა უკვე აშკარაა, მაგრამ სჯობს, გადაწყვეტილება ფორმალური იყოს მკაფიო, კარგად მოწყობილი გზით. ვექტორების კოორდინატების დამატების კოვარიატი გამოთვლადია:
, ასევე, ვექტორები არის კოლინარული და .

ვისნოვოკი: არყის მოპირდაპირე მხარეები წყვილებში პარალელურია, შესაბამისად, მნიშვნელობების უკან პარალელოგრამია. რა საჭირო იყო აღზრდა.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

კონდახი 4

ჩოტირიკუტნიკის მწვერვალების გათვალისწინებით. გავიგოთ, რომ ჭოტირიკუტნიკი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უკეთ ფორმულირებისთვის აუცილებელია დიდი ტრაპეციის მიღება, ან უბრალოდ დაჯექი და გამოიცანი როგორ გამოიყურება.

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მიზანი. უპირველეს ყოვლისა, გამოსავალი გაკვეთილის მსგავსია.

ახლა კი დადგა დრო, რომ ნელა გადავიდეთ მოედნიდან ღია სივრცეში:

როგორ განვსაზღვროთ ვექტორების კოლინარულობა სივრცეში?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისათვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი იყოს კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია მათი ფარდობითი კოორდინატები იყოს პროპორციული.

კონდახი 5

იცოდეთ, რომ კოლინარული ვექტორები ხელმისაწვდომი იქნება სივრცეში:

ა);
ბ)
V)

გადაწყვეტილება:
ა) შევამოწმოთ რა არის პროპორციულობის კოეფიციენტი შესაბამისი ვექტორული კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან ვექტორები არ არის კოლინარული.

"სპროშჩენკა" ფორმალიზებულია პროპორციების შებრუნებით. Ამ განყოფილებაში:
- კოორდინატები არ არის პროპორციული და ვექტორები არ არის კოლინარული.

თემა:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. შეეცადეთ შექმნათ იგი ორი განსხვავებული გზით.

არსებობს სივრცის ვექტორების კოლინარობის და მესამე რიგის საწყისის შემოწმების მეთოდი, სტატიაში აღწერილი მეთოდის გათვალისწინებით. ვექტორული tvr ვექტორები.

ბრტყელი ჭრის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოების დაწყობა შესაძლებელია სივრცითი ჭრებისა და სწორი ხაზების პარალელურობის თვალყურის დევნით.

გთხოვთ, კიდევ ერთი განყოფილება:

ვექტორების წრფივი და დამოუკიდებლობა ტრივიალურ სივრცეში.
გაფართოებული ბაზა და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ვნახეთ დაბლობზე, ღია სივრცეში სამართლიანი იქნება. შევეცადე მინიმუმამდე დამეყვანა აბსტრაქტი თეორიიდან, ინფორმაციის მარცხენა ნაწილის ფრაგმენტები უკვე გამოვლინდა. ტიმ, არანაკლებ, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, რადგან შემოდის ახალი ტერმინები და ცნებები.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის ფართობის ნაცვლად, არის სამგანზომილებიანი სივრცე. ამიერიდან შევქმნათ ეს საფუძველი. სახლში ვართ თუ ქუჩაში, ვერასოდეს შევხვდებით სიგანის, სიღრმისა და სიმაღლის სამ სამყაროს. ამიტომ, საფუძვლის ფორმირებისთვის საჭიროა სამი სივრცის ვექტორი. ერთი ან ორი ვექტორი არ არის საკმარისი, კვარტლები შესანიშნავია.

ისევ თითებზე ვზივარ. იყავით კეთილი, ასწიეთ ხელი მაღლა და გახსენით თქვენი სხვადასხვა მხარე დიდი, შთამბეჭდავი და შუა თითი. იქნება ვექტორები, სურნელები გაჩნდება სხვადასხვა მხარეს, იქნება სხვადასხვა განსხვავება ერთმანეთს და იქნება სხვადასხვა სუნი ერთმანეთში. ვხედავ, ტრივიალური სივრცის საფუძველი მზად არის! სანამ ისაუბრებთ, არ არის საჭირო ასეთი რამის დემონსტრირება თქვენს ანგარიშებზე, უბრალოდ თითებს ნუ ატრიალებთ და ვერსად მიხვალთ =)

მომავალში უფრო მნიშვნელოვანი საკვები დავდოთ, იქნება ეს სამი ვექტორი, რომელიც ქმნის ტრივიალური სივრცის საფუძველს? იყავით კეთილი, მტკიცედ დააჭირეთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის მხარეს. Რა მოხდა? სამი ვექტორი მოძრაობდა ერთ სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიცოდით ერთ-ერთი გადაშენებული სამყარო - სიმაღლე. ასეთი ვექტორები თანაპლენარულიდა სრულიად აშკარაა, რომ ტრივიალური სივრცის საფუძველი არ შეიქმნება.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ დევს იმავე სიბრტყეში, მაგრამ შეიძლება განთავსდეს პარალელურ სიბრტყეში (უბრალოდ იმუშავეთ თითებით, ასე რომ სალვადორ დალისთვის ეს უფრო რთულია =)).

ვიზნაჩენნია: ვექტორები ეწოდება თანაპლენარულიროგორც არის ვაკე, რომელიც პარალელურია სუნი. აქ ლოგიკურია დავამატოთ, რომ თუ ასეთი ფართობი არ არის, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივიაშემდეგ ისინი წრფივად გამოიხატება ერთისკენ. სიმარტივისთვის, ისევ მისაღებია, რომ სუნი იმავე ადგილას დევს. უპირველეს ყოვლისა, ვექტორები, რომლებიც არ არიან მხოლოდ თანაპლენარული, ასევე შეიძლება იყოს კოლინარული, ისე, რომ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს გამოხატული ნებისმიერი ვექტორის მეშვეობით. სხვა შემთხვევაში, ვინაიდან, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათ მეშვეობით ერთი ფორმით: (რატომ არის ადვილი გამოცნობა წინა განყოფილების მასალებიდან).

სამართლიანია ის გარდამტეხი წერტილი: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, რათა სათითაოდ არ გამოხატონ თავი. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან ტრივიალური სივრცის საფუძველი.

ვიზნაჩენნია: ტრივიალური სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ (არაერთობლივ) ვექტორთა ტრიო, აღებულია სიმღერის ორდერიდანროგორიც არ უნდა იყოს სივრცის ვექტორი ერთ რანგშიდაიშალა მოცემულ საფუძველზე, სადაც ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

გამოვიცნობ, ასევე შეიძლება ითქვას, რომ წარმოდგენების ვექტორი ხედში ხაზოვანი კომბინაციაბაზის ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის კონცეფცია შემოღებულია ისევე, როგორც ბრტყელ ნახაზზე, საკმარისია ერთი წერტილი ან სამი წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორი:

კოორდინატების კობი, і არათანაბარივექტორები, აღებულია სიმღერის ორდერიდან, კომპლექტი ტრივიალური სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, „წნული“ კოორდინატთა ბადე არც თუ ისე მოსახერხებელია, მაგრამ კოორდინატთა სისტემა ამის საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადნიშნავს ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატებს და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს. სიბრტყის მსგავსად, აფინურ კოორდინატულ სისტემაში სივრცე არ ამუშავებს გარკვეულ ფორმულებს, რაზეც მე უკვე ვიფიქრე.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მნიშვნელოვანი და პირდაპირი განსაზღვრებაა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში:

სივრცის წერტილი, როგორც მას უწოდებენ კოორდინატების კობი, і ორთონორმალურობებიდააყენეთ საფუძველი დეკარტის სწორხაზოვანი კოორდინატთა სისტემა . იცოდე სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავალთ, ჩვენ კვლავ გავაფორმებთ ინფორმაციის სისტემატიზაციას:

სამი ვექტორისთვის სივრცეში, ერთი და იგივე მყარი არის ეკვივალენტური:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები განსაზღვრავენ საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) პირველადი, ამ ვექტორების კოორდინატების დაკეცვა, ნულიდან.

საწოლის წყლულები, ვფიქრობ, გაიწმინდა.

ვექტორების ხაზოვანი მდებარეობა/დამოუკიდებლობა სივრცეში ტრადიციულად მოწმდება დამატებითი წყაროს დახმარებით (პუნქტი 5). დაკარგული პრაქტიკული ცოდნა აშკარად ალგებრული ხასიათისაა. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიული გასაღები ყვავილებზე და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრა ბეისბოლის ჯოხით:

სამი ვექტორული სივრცეთანაპლენარული მეთოდები და მხოლოდ ის, თუ ამ ვექტორების კოორდინატების დამატების საწყისი, ნულის ტოლია: .

მინდა აღვნიშნო მცირე ტექნიკური ნიუანსი: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტში, არამედ მწკრივშიც (პირველის მნიშვნელობა არ შეიცვლება - პირველადების საოცარი ძალა). ალი ბევრად უფრო ლამაზია, ვიდრე დანარჩენი, რაც მას უფრო შესაფერისს ხდის მრავალი პრაქტიკული ამოცანის შესასრულებლად.

იმ მკითხველებს, რომლებმაც დაივიწყეს ორიგინალების დახარისხების მეთოდები და შესაძლოა მათზე ცუდად იყვნენ ორიენტირებულნი, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ ღირებულება?

კონდახი 6

შეამოწმეთ, რომ შემდეგი ვექტორები ქმნიან ტრივიალური სივრცის საფუძველს:

გადაწყვეტილება: ფაქტობრივად, ყველა გადაწყვეტილება მოდის ძირითადი თანხის გადახდაზე

ა) ვექტორების კოორდინატებიდან დამატებების თანმიმდევრობა გამოსათვლელია (პირველი რიგის კრიტერიუმების დასკვნა):

, ასევე, ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან ტრივიალური სივრცის საფუძველს.

Vіdpovid: მონაცემთა ვექტორები და ბაზა

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. უპირველეს ყოვლისა, არის გაკვეთილის გამოსავალი და დასკვნა.

ხაფანგები და შემოქმედებითი მცდელობები:

კონდახი 7

პარამეტრის რომელი მნიშვნელობისთვის იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გადაწყვეტილება: ვექტორები თანაპლენარულია და მხოლოდ მაშინ, თუ საწყისი, ამ ვექტორების კოორდინატების დამატება ნულის ტოლია:

სინამდვილეში, აუცილებელია ლიდერის ერთგულება. ჩვენ მივდივართ ნულამდე, როგორც ხრიკები ჯერბოაზე - ყველაზე აშკარაა მისი მეორე რიგში გახსნა და მაშინვე იქნება მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებას და ვამცირებთ მას მარჯვნიდან უმარტივეს წრფივ განტოლებამდე:

Vіdpovid: ზე

აქ მარტივია შებრუნების შესრულება, რისთვისაც თქვენ უნდა შეცვალოთ მნიშვნელობები გამომავალი წყაროში და გადააკეთოთ ისე, რომ ახლიდან გახსნის შემდეგ.

ბოლოს კიდევ ერთ ტიპურ პრობლემას განვიხილავთ, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ხაზოვანი ალგებრის კურსამდე უნდა იყოს ჩართული. მაგიდის ზედა ნაწილი ფართოა, რომელიც იმსახურებს შემდეგ ზედა ადგილს:

მოიყვანეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის ტრივიალური სივრცის საფუძველს
და იცოდე მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

კონდახი 8

მოცემული ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან ტრივიალური სივრცის საფუძველს და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე.

გადაწყვეტილება: მოდით ჯერ გონებას გადავხედოთ გონების უკან ოთხი ვექტორია და, როგორც იცით, უკვე არის კოორდინატები იმავე საფუძველში. ეს არის საფუძველი - ნუ შეგვაწუხებთ. და ასე რომ ვთქვათ: სამ ვექტორს მთლიანობაში შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. პირველი ეტაპი მთლიანად არის აცილებული დანართი 6-ის ამონახსნებიდან, აუცილებელია იმის შემოწმება, რომ ვექტორები მართლაც წრფივი დამოუკიდებელია:

ვექტორების კოორდინატების დამატების კოვარიატი გამოთვლადია:

, ასევე, ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან ტრივიალური სივრცის საფუძველს.

! Მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები ობოვიაზკოვოდასაწერი სადგურზეპირველი და არა რიგებში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება გაუგებრობა შემდგომი ამოხსნის ალგორითმში.

ვირაზ გონება დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1 , A 2 ,...,A nკოეფიციენტებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორული სისტემის ხაზოვანი პოზიციის მნიშვნელობები

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივად ჩამოყალიბებული, რა არის რიცხვების არანულოვანი სიმრავლე? λ 1, λ 2 ,...,λ n, ვექტორების ნებისმიერი წრფივი კომბინაციისთვის λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nუფრო ძველი ვიდრე ნულოვანი ვექტორი, შემდეგ წოდებების სისტემა: არის არანულოვანი გადაწყვეტილება.
აკრიფეთ ნომრები λ 1, λ 2 ,...,λ n є არა ნულოვანი, თუ გსურთ რომელიმე რიცხვი λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულიდან რომ შეიცვალოს.

ვექტორული სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის მნიშვნელობები

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელი, როგორც ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვან ვექტორზე მეტი, ვიდრე რიცხვების ნულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n , შემდეგ წოდებების სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θგამოსავალი მხოლოდ ერთია.

მარაგი 29.1

შეამოწმეთ, რომ ეს არის ვექტორების ხაზოვანი სისტემა

გადაწყვეტილება:

1. ჩვენ ვქმნით დონეების სისტემას:

2. დამოწმებულია გაუსის მეთოდით. ჟორდანოს სისტემის ტრანსფორმაცია ნაჩვენებია ცხრილში 29.1. როდესაც სისტემის მარჯვენა ნაწილი გაფართოებულია, ფრაგმენტები არ აღირიცხება, ისინი ნულს აღწევენ და არ იცვლებიან იორდანიის გარდაქმნების გამო.

3. ცხრილის დარჩენილი სამი რიგი აღრიცხავს დაშვებულ სისტემას, გამომავალის ტოლფასისისტემა:

4. სისტემის ფარული გადაწყვეტა აღმოფხვრილია:

5. სთხოვეთ ხელისუფლებას უფასო ცვლილების მნიშვნელობა x 3 =1, არა-ნულოვანი გადაწყვეტილებები მკაცრად გამორიცხულია X = (-3,2,1).

მტკიცებულება: ამრიგად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლით (-3,2,1), ვექტორთა წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი ვექტორის -3A1+2A2+1A3=Θ. ოტიე, ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების ძალა

სიმძლავრე (1)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დაქვემდებარებულია, მაშინ თუ ერთ-ერთი ვექტორი იშლება მეორის შემდეგ, მაშინ თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი იშლება სხვების შემდეგ, ვექტორთა სისტემა წრფივად დაქვემდებარებულია.

სიმძლავრე (2)
ვინაიდან ვექტორების ყველა ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

სიმძლავრე (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ავტორიტეტი (4)
არის თუ არა ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, ის წრფივად შემორჩენილია.

ავტორიტეტი (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივია, თუ ვექტორების რაოდენობა n აღემატება მათ განზომილებას (n>m)

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორული სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთ ქვესისტემას ეწოდება B 1 , B 2 ,..., B r(ერთ-ერთი ვექტორი B 1, B 2,..., B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1, A 2,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს დღის გონებას:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. როგორიც არ უნდა იყოს საქმის ვექტორია ჯ სისტემები A 1 , A 2 ,..., A n წრფივი გამოსახულია B 1 , B 2 ,..., B r ვექტორების მეშვეობით

რ- საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის უნიტარული საფუძვლის შესახებ.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , ყველა მათგანი ქმნის სისტემის საფუძველს.

ვექტორული სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

იმისათვის, რომ ვიცოდეთ ვექტორული სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n აუცილებელია:

• გადაკეცეთ ვექტორთა ერთი სისტემა დონეების ერთ სისტემაში A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• წარმოგიდგენთ Qiu სისტემას

ვექტორების წრფივ კომბინაციას ვექტორი ეწოდება
, de 1, ... , m - საკმარისი კოეფიციენტები.

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად შემორჩენილი, რადგან მთავარი წრფივი კომბინაცია ტოლია ამ შემთხვევაში ჩვენ გვინდა ერთი არანულოვანი კოეფიციენტი.

ვექტორული სისტემა
ეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი, რადგან ნებისმიერ ხაზოვან კომბინაციაში, რომელიც უძველესია ყველა კოეფიციენტი ნულია.

ვექტორული სისტემის საფუძველი
ამას ეწოდება არა ცარიელი წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს, როგორც სისტემის ვექტორი.

მაგალითი 2. იპოვეთ ვექტორული სისტემის საფუძველი = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) და გამოხატეთ სხვა ვექტორები საფუძვლის მეშვეობით.

როზვიაზანნია. მოდით შევქმნათ მატრიცა, რომელშიც ამ ვექტორების კოორდინატები შეიძლება გაფართოვდეს სვეტებით. მოდით მივუთითოთ ნაბიჯ-ნაბიჯ ხედვაზე.

~
~
~
.

ამ სისტემის საფუძველი განისაზღვრება ვექტორებით ,,, რომელიც წარმოდგენილია წრეებში ნაჩვენები რიგების გამტარ ელემენტებით. ვექტორის ბრუნვისთვის სავარაუდოდ ტოლია x 1 +x 2 + x 4 =. იგი დაყვანილია წრფივი რიგების სისტემამდე, რომლის მატრიცა გამოდის სვეტის გამომავალი პერმუტაციიდან, რაც აჩვენებს ადგილზე თავისუფალი წევრების შეხვედრაა. მაშასადამე, სისტემის დასასრულებლად, მატრიცა იქნა ამოღებული ეტაპობრივი ხედიდან, მასში შეტანილი აუცილებელი პერმუტაციები.

თანმიმდევრულად ცნობილია:

x1+4=3, x1=-1;

= -+2.

შენიშვნა 1. თუ საჭიროა რამდენიმე ვექტორის საფუძველზე გამოსახვა, მაშინ თითოეული მათგანისთვის იქნება წრფივი დონეების მსგავსი სისტემა. ამ სისტემას მხოლოდ მისი წევრების უმრავლესობა დაანგრევს. ამიტომ, მათი გაზრდის მიზნით, შეგიძლიათ დაკეცოთ ერთი მატრიცა, რომელიც შეიცავს სხვადასხვა წევრებს. რომლის კანის სისტემა სხვებისგან განსხვავდება.

პატივისცემა 2. ნებისმიერი ვექტორის გარდაქმნისთვის საკმარისია სისტემის საბაზისო ვექტორების ვიკორიზაცია, რომლებიც მის წინ დგანან. ამ შემთხვევაში არ არის საჭირო მატრიცის გადაფორმება, საკმარისია ვერტიკალური საზღვრის მოთავსება საჭირო ადგილას.

2. იპოვეთ ვექტორული სისტემის საფუძველი და გამოთქვით სხვა ვექტორები საფუძვლის მეშვეობით:

ა) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

ბ) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა

წრფივი განტოლებათა სისტემას უწოდებენ ერთგვაროვანს, რადგან მისი თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია.

წრფივი დონეების ერთი რიგის სისტემის განცალკევების ფუნდამენტურ სისტემას უწოდებენ შეუერთებელთა უპიროვნების საფუძველს.

მოდით გადმოგცეთ ხაზოვანი რიგების ჰეტეროგენული სისტემა. მნიშვნელობასთან დაკავშირებული ერთი სისტემა არის სისტემა, რომელიც აღმოიფხვრება ყველა ნულოვანი წევრის ნულებით ჩანაცვლებით.

ვინაიდან ჰეტეროგენული სისტემა თანმიმდევრული და არამნიშვნელოვანია, მაშინ მისი უფრო დამაკმაყოფილებელი ამონახსნები ჰგავს f n +  1 f o1 + ... +  k f o k , def n - ჰეტეროგენული სისტემის კერძო ამოხსნა i f o1 , ... , f o k ფუნდამენტურია. ასოცირებული ერთი სისტემის სისტემური გადაწყვეტა

მაგალითი 3. შეიტყვეთ ჰეტეროგენული სისტემის ამოხსნის შესახებ 1-ლი მაგალითიდან და ასოცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნის ფუნდამენტური სისტემის შესახებ.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ დანართ 1-ში აღებულ ამონახსანს ვექტორული სახით და ვაფართოებთ ვექტორს, რომელიც ყველაზე მაღალია, ვაჯამებთ დამატებით პარამეტრებს, რომლებიც ახალშია და ფიქსირებული რიცხვითი მნიშვნელობებით:

= (x 1, x 2, x 3, x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + + (-2, 0, 1, 0) = a (-2, 1, 0, 0) + b (7, 0, -2, 1) + (- 2, 0, 1, 0 ).

აღმოფხვრა f n = (-2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

პატივისცემა. ანალოგიურად, მოსალოდნელია ფუნდამენტური სისტემის პოვნის პრობლემა ერთგვაროვანი სისტემის გადასაჭრელად.

3.1 იცოდე ერთგვაროვანი სისტემის ფუნდამენტური სისტემა და ამონახსნი:

ა)

ბ)

გ) 2x1 – x2+3x3=0.

სავარჯიშო 3.2. შეიტყვეთ ჰეტეროგენული სისტემის პირადი ამოხსნა და ასოცირებული ერთგვაროვანი სისტემის ამოხსნის ფუნდამენტური სისტემა:

ა)

ბ)

იპოვეთ ვექტორებისა და ვექტორების სისტემის საფუძველი, რომლებიც არ შედის საფუძველში, დაალაგეთ საფუძვლების მიხედვით:

ა 1 = {5, 2, -3, 1}, ა 2 = {4, 1, -2, 3}, ა 3 = {1, 1, -1, -2}, ა 4 = {3, 4, -1, 2}, ა 5 = {13, 8, -7, 4}.

გადაწყვეტილება. მოდით შევხედოთ წრფივი წოდებების ერთ სისტემას

ა 1 X 1 + ა 2 X 2 + ა 3 X 3 + ა 4 X 4 + ა 5 X 5 = 0

ან გახურებული მზერა .

ჩვენ ვამოწმებთ ამ სისტემას გაუსის მეთოდით, რიგებისა და სვეტების მონაცვლეობის გარეშე და, გარდა ამისა, ვარჩევთ სათავე ელემენტს არა ზედა მარცხენა კუთხეში, არამედ მთელ მწკრივში. უდაბნო იმაში მდგომარეობს, რომ იხილეთ ტრანსფორმირებული ვექტორული სისტემის დიაგონალური ნაწილი.

~ ~

~ ~ ~ .

ვექტორთა სისტემა დაშვებულია, გამომავალი ტოლია, ასე გამოიყურება

ა 1 1 X 1 + ა 2 1 X 2 + ა 3 1 X 3 + ა 4 1 X 4 + ა 5 1 X 5 = 0 ,

დე ა 1 1 = , ა 2 1 = , ა 3 1 = , ა 4 1 = , ა 5 1 = . (1)

ვექტორები ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1 ჩამოაყალიბეთ დიაგონალური სისტემა. ოჟე, ვექტორები ა 1 , ა 3 , ა 4 ჩამოაყალიბეთ ვექტორული სისტემის საფუძველი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 , ა 5 .

გასაშლელი ახლა ვექტორები ა 2 і ა 5 ბაზის უკან ა 1 , ა 3 , ა 4 . რისთვისაც ჩამოყალიბებულია შემდეგი ვექტორები ა 2 1 і ა 5 1 დიაგონალური სისტემის უკან ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1 იმის გათვალისწინებით, რომ ვექტორის დაშლის კოეფიციენტები მისი კოორდინატების დიაგონალური სისტემის გასწვრივ x i.

Z (1) maєmo:

ა 2 1 = ა 3 1 · (-1) + ა 4 1 0 + ა 1 1 · 1 => ა 2 1 = ა 1 1 – ა 3 1 .

ა 5 1 = ა 3 1 0 + ა 4 1 1 + ა 1 1 · 2 => ა 5 1 = 2ა 1 1 + ა 4 1 .

ვექტორები ა 2 і ა 5 გადაკეცეთ ბაზის უკან ა 1 , ა 3 , ა 4 იგივე კოეფიციენტებით, რომელი ვექტორებით ა 2 1 і ა 5 1 დიაგონალური სისტემის უკან ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1 (ეს კოეფიციენტები x i). ოტიე,

ა 2 = ა 1 – ა 3 , ა 5 = 2ა 1 + ა 4 .

ზავდანნია. 1იპოვეთ ვექტორებისა და ვექტორების სისტემის საფუძველი, რომლებიც არ შედის საფუძველში, დაალაგეთ საფუძვლების მიხედვით:

1. ა 1 = { 1, 2, 1 }, ა 2 = { 2, 1, 3 }, ა 3 = { 1, 5, 0 }, ა 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ა 1 = { 1, 1, 2 }, ა 2 = { 0, 1, 2 }, ა 3 = { 2, 1, -4 }, ა 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ა 1 = { 1, -2, 3 }, ა 2 = { 0, 1, -1 }, ა 3 = { 1, 3, 0 }, ა 4 = { 0, -7, 3 }, ა 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ა 1 = { 1, 2, -2 }, ა 2 = { 0, -1, 4 }, ა 3 = { 2, -3, 3 }.

2. იპოვნეთ ვექტორული სისტემის ყველა საფუძველი:

1. ა 1 = { 1, 1, 2 }, ა 2 = { 3, 1, 2 }, ა 3 = { 1, 2, 1 }, ა 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ა 1 = { 1, 1, 1 }, ა 2 = { -3, -5, 5 }, ა 3 = { 3, 4, -1 }, ა 4 = { 1, -1, 4 }.