Інструкція

В першу чергу, проведіть кілька вимірювань приладом однієї й тієї ж величини, щоб мати дійсне значення. Чим більше буде проведено вимірювань, тим точнішим буде результат. Наприклад, зважте на електронних вагах. Допустимо, ви отримали результати 0,106, 0,111, 0,098 кг.

Тепер порахуйте дійсне значення величини (дійсне, оскільки істинне знайти неможливо). Для цього складіть отримані результати та розділіть їх на кількість вимірів, тобто знайдіть середнє арифметичне. У прикладі дійсне значення дорівнюватиме (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Другі виникають від впливу причин і випадкового характеру. До них можна віднести неправильне округлення при підрахунку показань та вплив. Якщо такі помилки значно менше, ніж розподілу шкали цього приладу вимірювання, то як абсолютну похибку доцільно взяти половину розподілу.

Промах або груба похибкає результатом спостереження, який різко відрізняється від усіх інших.

Абсолютна похибканаближеного числового значення – це різницю між результатом, у ході вимірювання та справжнім значенням вимірюваної величини. Справжнє чи дійсне значення відбиває досліджувану фізичну величину. Ця похибкає найпростішим кількісним заходом помилки. Її можна розрахувати за такою формулою: ∆Х = Хісл – Хіст. Вона може набувати позитивного та негативного значення. Для більшого розуміння розглянемо. У школі 1205 учнів, при округленні до 1200 абсолютна похибкадорівнює: ∆ = 1200 – 1205 = 5.

Існують певні розрахунки похибки величин. По-перше, абсолютна похибкасуми двох незалежних величин дорівнює сумі їх абсолютних похибок: ∆(Х+Y) = ∆Х+∆Y. Аналогічний підхід застосовується для різниці двох похибок. Можна скористатися формулою: ∆(Х-Y) = ∆Х+∆Y.

Джерела:

• як визначити абсолютну похибку

Вимірювання можуть проводитися з різним ступенем точності. При цьому абсолютно точними не бувають прецизійні прилади. Абсолютна і відносна похибки можуть бути малі, але насправді вони є майже завжди. Різниця між наближеним і точним значеннями якоїсь величини називається абсолютною похибкою. При цьому відхилення може бути як у більшу, так і меншу сторону.

Вам знадобиться

• - Дані вимірювань;
• - Калькулятор.

Інструкція

Перед тим як розраховувати абсолютну похибку, прийміть кілька постулатів за вихідні дані. Виключіть грубі похибки. Прийміть, що необхідні поправки вже обчислені та внесені до результату. Такою поправкою може бути перенесення вихідної точки вимірювань.

Прийміть як вихідне положення те, що й враховані випадкові похибки. При цьому мається на увазі, що вони менші систематичні, тобто абсолютної і відносної, характерних саме для цього приладу.

Випадкові похибки впливають результат навіть високоточних вимірів. Тому будь-який результат буде більш менш наближеним до абсолютного, але завжди будуть розбіжності. Визначте цей інтервал. Його можна виразити формулою (Xізм-ΔХ)≤Хізм≤(Хізм+ΔХ).

Визначте величину максимально наближену до значення. У вимірах береться арифметичне, яке можна за формулою, малюнку. Візьміть результат за справжню величину. У багатьох випадках як точний приймається показання еталонного приладу.

Знаючи справжню величину, ви можете знайти абсолютну похибку, необхідно враховувати за всіх наступних вимірах. Знайдіть величину Х1 – дані конкретного виміру. Визначте різницю ΔХ, відібравши від більшого менше. При визначенні похибки враховується лише модуль цієї різниці.

Зверніть увагу

Як правило, на практиці абсолютно точний вимір провести не вдається. Тому за еталонну величину приймається гранична похибка. Вона є максимальним значенням модуля абсолютної похибки.

Корисна порада

У практичних вимірах за величину абсолютної похибки зазвичай приймається половина найменшої ціни поділу. При діях з числами за абсолютну похибку приймається половина значення цифри, що у наступному за точними цифрами розряді.

Для визначення класу точності приладу важливішим є відношення абсолютної похибки до результату вимірювань або до довжини шкали.

Похибки вимірів пов'язані з недосконалістю приладів, інструментів, методики. Точність залежить також від уважності та стану експериментатора. Похибки поділяються на абсолютні, відносні та наведені.

Інструкція

Нехай одноразове вимірювання величини дало результат x. Справжнє значення позначено x0. Тоді абсолютна похибкаΔx=|x-x0|. Вона оцінює абсолютну. Абсолютна похибкаскладається з трьох складових: випадкових похибок, систематичних похибок та промахів. Зазвичай при вимірі приладом беруть як похибку половину ціни поділу. Для міліметрової лінійки це буде 0,5 мм.

Справжнє значення вимірюваної величини у проміжку (x-Δx; x+Δx). Коротше записується як x0=x±Δx. Важливо вимірювати x і Δx в одних і тих самих одиницях вимірювання і записувати в тому самому форматі , наприклад, ціла частина і три коми. Отже, абсолютна похибкадає межі інтервалу, у якому з певною ймовірністю перебуває справжнє значення.

Вимірювання прямі та непрямі. У прямих вимірах відразу заміряється потрібна величина відповідним приладом. Наприклад, тіла лінійкою, напруга – вольтметром. При непрямих вимірах величина знаходиться за формулою залежності між нею і величинами, що заміряються.

Якщо результат є залежністю від трьох безпосередньо вимірюваних величин, що мають похибки Δx1, Δx2, Δx3, то похибканепрямого виміру ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Тут ∂F/∂x(i) – приватні похідні від функції за кожною з величин, що безпосередньо вимірюються.

Корисна порада

Промахи – це грубі неточності вимірів, що виникають при несправності приладів, неуважності експериментатора, порушення методики експерименту. Щоб зменшити ймовірність таких промахів, будьте уважні під час проведення вимірювань і докладно розписуйте отриманий результат.

Джерела:

• Методичні вказівки до лабораторних робіт з фізики
• як знайти відносну помилку

Кількісного поняття « точність» у науці немає. Це якісне поняття. При захисті дисертацій говорять лише про похибки (наприклад, виміри). І навіть якщо прозвучало слово « точність», то слід мати на увазі дуже розпливчасту міру величини, зворотної похибки.

Інструкція

Невеликий аналіз поняття "приблизне значення". Можливо, що мають на увазі приблизний результат обчислення. Похибка ( точність) тут задає сам виконавець роботи. У цю похибку вказується, наприклад «до 10 мінус четвертого ступеня». Якщо ж похибка відносна – то у відсотках чи частках. Якщо обчислення велися з урахуванням числового ряду (найчастіше Тейлора) – з урахуванням модуля залишкового члена ряду.

Про приблизні значенняхвеличин часто говорять як про їх оціночних значеннях. Результати вимірів випадкові. Тому це самі випадкові величини, які мають характеристиками розкиду значень, як і дисперсія чи с.к.о. (Середнє

Нехай вимірювана має відоме значення величина X. Звичайно, окремі, знайдені в процесі вимірювання значення цієї величини x1 , x2 ,… xnсвідомо недостатньо точні, тобто. не збігаються з X. Тоді величина
буде абсолютною похибкою i-го виміру. Але оскільки справжнє значення результату X, як правило, не відомо, чи реальну оцінку абсолютної похибки використовуючи замість X середнє арифметичне
, яке розраховують за формулою:

Однак при малих обсягах вибірки замість
краще користуватися медіаною. Медіаною (Ме)називають таке значення випадкової величини х, при якому половина результатів має значення менше, а інша більша, ніж Ме. Для обчислення Мерезультати мають у своєму розпорядженні в порядку зростання, тобто утворюють так званий варіаційний ряд. Для непарної кількості вимірювань n медіана дорівнює значенню середнього члена ряду. Наприклад,
для n=3

Для парних n, значення Медорівнює напівсумі значень двох середніх результатів. Наприклад,
для n=4

Для розрахунку sкористуються неокругленими результатами аналізу з неточним останнім десятковим знаком.
При дуже великій кількості вибірки ( n>
) випадкові похибки можуть бути описані за допомогою нормального закону розподілу Гаусса. При малих nрозподіл може відрізнятиметься від нормального. У математичній статистиці ця додаткова ненадійність усувається модифікованим симетричним. t-Розподілом. Існує деякий коефіцієнт t, званий коефіцієнтом Стьюдента, який в залежності від числа ступенів свободи ( f) та довірчої ймовірності ( Р) дозволяє перейти від вибірки до генеральної сукупності.
Стандартне відхилення середнього результату
визначається за формулою:

Величина

є довірчим інтервалом середнього значення
. Для серійних аналізів зазвичай вважають Р= 0,95.

Таблиця 1. Значення коефіцієнта Стьюдента ( t)

f

Приклад 1 . З десяти визначень вмісту марганцю у пробі потрібно підрахувати стандартне відхилення одиничного аналізу та довірчий інтервал середнього значення Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Рішення. За формулою (1) підраховують середнє значення аналізу

За табл. 1 (додаток) знаходять для f=n-1=9 коефіцієнт Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 та розраховують довірчий інтервал середнього значення. Таким чином, середнє значення аналізу визначається інтервалом (0,679±0,009) % Мn.

Приклад 2 . Середнє з дев'яти вимірювань тиску водяної пари над розчином карбаміду при 20°С дорівнює 2,02 кПа. Вибіркове стандартне відхилення вимірів s = 0,04 кПа. Визначити ширину довірчого інтервалу для середнього з дев'яти та одиничного виміру, що відповідає 95%-ї довірчої ймовірності.
Рішення. Коефіцієнт Стюдента t для довірчої ймовірності 0,95 і f = 8 дорівнює 2,31. Враховуючи що

і
, знайдемо:

- Ширина довірить. інтервалу для середнього значення

- Ширина довірить. інтервалу для одиничного виміру значення

Якщо ж є результати аналізу зразків із різним змістом, то із приватних середніх sшляхом усереднення можна обчислити загальне середнє значення s. Маючи mпроб і для кожної проби проводячи njпаралельних визначень, результати подають у вигляді таблиці:

Номер зразка	Номер аналізу

Середня похибка розраховують із рівняння:

зі ступенями свободи f = n – m, де n - загальна кількість визначень, n =m. nj.

приклад 2.Обчислити середню помилку визначення марганцю у п'яти пробах стали з різним змістом його. Значення аналізу, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Рішення.За формулою (1) знаходять середні значення у кожній пробі, потім кожної проби розраховують квадрати різниць, за формулою (5) - похибка.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Значення квадратів різниць
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Середня похибка для f = 4,5 - 5 = 15

s= 0,014% (абс. при f=15 ступеням свободи).

Коли проводять по два паралельні визначення для кожного зразка і знаходять значення х"і х"для зразків рівняння перетворюється на вираз.

При практичному здійсненні процесу вимірювань незалежно від точності засобів вимірювань, правильності методики та ретельності
виконання вимірів результати вимірів від істинного значення вимірюваної величини, тобто. неминучі похибки вимірів. Оцінюючи похибки замість істинного значення приймають дійсне; отже, можна лише наближену оцінку похибки вимірів. Оцінка достовірності результату вимірів, тобто. Визначення похибки вимірювань - одне з основних завдань метрології.
Похибка - це відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини. Похибки умовно можна розділити на похибки засобів виміру та похибки результату вимірів.
Похибки засобів вимірюваннябули розглянуті у розділі 3.
Похибка результату виміру- Це число, що вказує можливі межі невизначеності значення вимірюваної величини.
Нижче буде дано класифікацію та розглянуто похибки результату вимірювань.
За способом числового виразурозрізняють абсолютні та відносні похибки.
Залежно від джерела виникненняпохибки бувають інструментальні, методичні, відрахування та встановлення.
За закономірностями проявупохибки вимірів ділять на систематичні, прогресуючі, випадкові та грубі.
Розглянемо зазначені похибки вимірів докладніше.

4.1. Абсолютні та відносні похибки

Абсолютна похибка D - це різницю між виміряним X і істинним Xі значеннями вимірюваної величини. Абсолютна похибка виявляється у одиницях вимірюваної величини: D = Х - Хі.
Оскільки справжнє значення вимірюваної величини визначити неможливо, замість нього практично використовують дійсне значення вимірюваної величини Хд. Справжнє значення знаходять експериментально шляхом застосування досить точних методів і засобів вимірювань. Воно мало відрізняється від істинного значення і для розв'язання поставленого завдання може використовуватись замість нього. При перевірці за дійсне значення зазвичай приймають свідчення зразкових засобів вимірювань. Таким чином, на практиці абсолютну похибку знаходять за формулою D» Х – Хд. Відносна погрішність d - це відношення абсолютної похибки вимірювання до істинного (дійсного) значення вимірюваної величини (вона зазвичай виражається у відсотках): .

4.2. Похибки інструментальні та методичні,
відрахування та встановлення

Інструментальними(приладовими чи апаратурними) похибками називаються такі, що належать даному засобу вимірювань, можуть бути визначені при його випробуваннях та занесені до його паспорта.
Ці похибки обумовлені конструктивними та технологічними недоліками засобів вимірювань, а також наслідком їхнього зносу, старіння чи несправності. Інструментальні похибки, обумовлені похибками засобів вимірювань, що застосовувалися, були розглянуті в розділі 3.
Однак, крім інструментальних похибок, при вимірах виникають ще й такі похибки, які не можуть бути приписані даному приладу, не можуть бути вказані в паспорті і називаються методичними,тобто. пов'язаними не із самим приладом, а з методом його використання.
Методичні похибкиможуть виникати через недосконалість розробки теорії явищ, покладених в основу методу вимірювань, неточності співвідношень, що використовуються для знаходження оцінки вимірюваної величини, а також через невідповідність вимірюваної величини та її моделі.
Розглянемо приклади, що ілюструють методичну похибку виміру.
Об'єктом дослідження є джерело змінної напруги, амплітудне значення якого Umпотрібно виміряти. З попереднього вивчення об'єкта дослідження його модель прийнятий генератор напруги синусоїдальної форми. Використовуючи вольтметр, призначений для вимірювань діючих значень змінної напруги, і знаючи співвідношення між діючим та амплітудним значеннями синусоїдальної напруги, отримуємо результат вимірювання у вигляді Um = × Uv,де Uv -показ вольтметра. Більш ретельне вивчення об'єкта могло б виявити, що форма вимірюваної напруги відрізняється від синусоїдальної та більш правильне співвідношення між значенням вимірюваної величини та показанням вольтметра Um =k× Uv ,де k¹ . Таким чином, недосконалість прийнятої моделі об'єкта дослідження призводить до методичної похибки виміру. DU = × Uv -k× Uv.
Цю похибку можна зменшити або розрахувавши значення kна основі аналізу форми кривої вимірюваної напруги або замінивши засіб вимірювань, взявши вольтметр, призначений для вимірювань амплітудних значень змінних напруг .
Найпоширенішою причиною виникнення методичних похибок і те обставина, що, організуючи виміри, ми змушені вимірювати (чи свідомо вимірюємо) не ту величину, яка має бути виміряна, а деяку іншу, близьку, але з рівну їй .

Прикладом такої методичної похибки може бути похибка вимірювання напруги вольтметром з кінцевим опором (рис. 4.1).
Внаслідок шунтування вольтметром тієї ділянки ланцюга, на якому вимірюється напруга, воно виявляється меншим, ніж було до приєднання вольтметра. Напруга, яка покаже вольтметр визначиться виразом U = I×Rv. Якщо врахувати, що струм у ланцюгу I =E/(Ri +Rv),то
< .
Тому для одного й того ж вольтметра, що приєднується по черзі до різних ділянок досліджуваного ланцюга, ця похибка різна: на низькоомних ділянках вона незначна, а на високоомних може бути дуже великою. Ця похибка могла б бути усунена, якби вольтметр був постійно підключений до даної ділянки ланцюга на весь час роботи пристрою (як на щиті електростанції), але це невигідно з багатьох причин.
Непоодинокі випадки, коли взагалі важко вказати спосіб вимірювання, що виключає методичну похибку. Нехай, наприклад, виміру підлягає температура розпечених болванок, що надходять із печі на прокатний стан. Постає питання, де розмістити датчик температури (наприклад, термопару): під болванкою, збоку або над болванкою? Де б його не помістили, ми виміряємо внутрішньої температури тіла болванки, тобто. матимемо суттєву методичну похибку, тому що вимірюємо не те, що потрібно, а те, що простіше (не свердлити ж у кожній болванці канал, щоб помістити термопару у її центрі).
Таким чином, основною відмінністю методичних похибок є та обставина, що вони не можуть бути зазначені в паспорті приладу, а повинні оцінюватися самим експериментатором при організації обраної методики вимірювань, тому він повинен чітко розрізняти фактично вимірювануїм величину від підлягає виміру.
Похибка відрахуванняпоходить від недостатньо точного відрахування показань. Вона обумовлена ​​суб'єктивними особливостями спостерігача (наприклад, похибка інтерполювання, тобто неточного відліку часток поділу за шкалою приладу) та виду відлікового пристрою (наприклад, похибка від паралаксу). Похибки відрахування відсутні при використанні цифрових вимірювальних приладів, що є причиною перспективності останніх.
Похибка встановленнявикликається відхиленням умов виміру від нормальних, тобто. умов, за яких проводилося градуювання та перевірка засобів вимірювань. Сюди відноситься, наприклад, похибка від неправильної установки приладу у просторі або його покажчика на нульову позначку, від зміни температури, напруги живлення та інших величин, що впливають.
Розглянуті види похибок однаково придатні характеристики точності як окремих результатів вимірювань, і засобів вимірювань.

4.3. Систематичні, прогресуючі, випадкові та грубі похибки

Систематична похибка вимірів Dс - складова похибки вимірювання, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж величини.
Причини виникнення систематичних похибок зазвичай можуть бути встановлені під час підготовки та проведення вимірювань. Ці причини дуже різноманітні: недосконалість використовуваних засобів і методів вимірювань, неправильне встановлення засобу вимірювань, вплив зовнішніх факторів (що впливають величин) на параметри засобів вимірювань і на сам об'єкт вимірювання, недоліки методу вимірювання (методичні похибки), індивідуальні особливості оператора (суб'єктивні похибки) та ін . За характером прояву систематичні похибки поділяються на постійні та змінні. До постійних відносяться, наприклад, похибки, зумовлені неточністю припасування значення міри, неправильним градуюванням шкали приладу, неправильною установкою приладу щодо напрямку магнітних полів і т.д. Змінні систематичні похибки обумовлені впливом на процес вимірювання впливових величин і можуть виникнути, наприклад, при зміні напруги джерела живлення приладу, зовнішніх магнітних полів, частоти змінної напруги, що вимірювається тощо. Основна особливість систематичних похибок полягає в тому, що залежність їх від впливових величин підпорядковується певному закону. Цей закон може бути вивчений, а результат виміру – уточнений шляхом внесення поправок, якщо числові значення цих похибок визначено. Іншим способом зменшення впливу систематичних похибок є застосування таких методів вимірювання, які дають змогу виключити вплив систематичних похибок без визначення їх значень (наприклад, метод заміщення).
Результат вимірів тим ближче до істинного значення вимірюваної величини, чим менше невиключені систематичні похибки, що залишилися. Наявність виключених систематичних похибок визначає правильність вимірів, якість, що відбиває близькість до нуля систематичних похибок. Результат вимірювання буде настільки правильним, наскільки він неспотворений систематичними похибками і тим правильнішим, чим менше ці похибки.
Прогресуючими(або дрейфовими) називаються непередбачувані похибки, які повільно змінюються в часі. Ці похибки, як правило, викликаються процесами старіння тих чи інших деталей апаратури (розрядка джерел живлення, старіння резисторів, конденсаторів, деформація механічних деталей, усадка паперової стрічки в приладах, що самопишуть, і т. п.). Особливістю прогресуючих похибок і те, що можуть бути скориговані шляхом запровадження поправки лише у заданий час, і далі знову непередбачено зростають. Тому на відміну від систематичних похибок, які можуть бути скориговані поправкою, знайденою один раз на весь термін служби приладу, прогресуючі похибки вимагають безперервного повторення корекції і тим частіше чим менше має бути їх залишкове значення. Інша особливість прогресуючих похибок полягає в тому, що їх зміна в часі є нестаціонарним випадковим процесом і тому в рамках добре розробленої теорії стаціонарних випадкових процесів вони можуть бути описані лише з застереженнями.
Випадкова похибка виміру— складова похибки вимірювань, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини. Значення та знак випадкових похибок визначити неможливо, вони не піддаються безпосередньому обліку внаслідок їхньої хаотичної зміни, обумовленої одночасним впливом на результат вимірювання різних незалежних один від одного факторів. Виявляються випадкові похибки при багаторазових вимірах однієї й тієї ж величини (окремі виміри у разі називаються спостереженням) одними й тими самими засобами виміру за однакових умов тим самим спостерігачем, тобто. при рівноточних (рівнорозсіяних) вимірах. Вплив випадкових похибок на результат виміру враховується методами математичної статистики та теорії ймовірності.
Грубі похибки вимірюваньвипадкові похибки вимірів, що істотно перевищують очікувані за даних умов похибки.
Грубі похибки (промахи) зазвичай обумовлені неправильним відліком по приладу, помилкою при записі спостережень, наявністю сильно впливає величини, несправністю засобів вимірювань та іншими причинами. Як правило, результати вимірювань, що містять грубі похибки, не беруться до уваги, тому грубі похибки мало впливають на точність виміру. Виявити промах буває не завжди легко, особливо при одиничному вимірі; часто важко відрізнити грубу похибку від великої за значенням випадкової похибки. Якщо грубі похибки трапляються часто, ми поставимо під сумнів усі результати вимірів. Тому грубі похибки впливають придатність вимірів.
На закінчення описаного поділу похибок засобів і результатів вимірювань на випадкову, прогресуючу та систематичну складові необхідно звернути увагу на те, що такий поділ є спрощеним прийомом їх аналізу. Тому завжди слід пам'ятати, що насправді ці складові похибки виявляються спільно і утворюють єдиний нестаціонарний випадковий процес. Похибка результату вимірювань при цьому можна подати у вигляді суми випадкових і систематичних Dс похибок: D = Dс +. У похибки вимірів входить випадкова складова, тому її слід вважати випадковою величиною.
Розгляд характеру прояву похибок вимірів показує, що єдино правильний шлях оцінки похибок дає нам теорія ймовірностей і математична статистика.

4.4. Імовірнісний підхід до опису похибок

Закони розподілу випадкових похибок.Випадкові похибки виявляють під час проведення низки вимірів однієї й тієї величини. Результати вимірювань при цьому, як правило, не збігаються між собою, тому що через сумарний вплив безлічі різних факторів, що не піддаються обліку, кожен новий вимір дає і нове випадкове значення вимірюваної величини. При правильному проведенні вимірювань, достатньому їх числі та виключенні систематичних похибок і промахів можна стверджувати, що справжнє значення вимірюваної величини не виходить за межі значень, отриманих за цих вимірювань. Воно залишається невідомим доти не визначено теоретично ймовірне значення випадкової похибки.
Нехай величину А вимірювали праз і спостерігали у своїй значення а1, a2, а3,…,а i,..., аn. Випадкова абсолютна похибка одиничного виміру визначається різницею
Di = ai-A. (4.1)
Графічно результати окремих вимірів представлені на рис. 4.2.
При досить великій кількості подні й самі похибки, якщо вони мають ряд дискретних значень, повторюються і тому можна встановити відносну частоту (частина) їх появи, тобто. відношення числа отриманих однакових даних miдо загального числа проведених вимірів п.При продовженні вимірів величини Аця частота не зміниться, тому її можна вважати ймовірністю появи похибки при даних вимірах: p(Ai) = mi / n.

Статистична залежність ймовірності появи випадкових похибок від їхнього значення називається законом розподілу похибок або законом розподілу ймовірності. Цей закон визначає характер появи різних результатів окремих вимірів. Розрізняють два види опису законів розподілу: інтегральнийі диференціальний.
Інтегральним законом, або функцією розподілу ймовірностейF( D ) випадкової похибки Di вi-мдосвід, називають функцію, значення якої для кожного D є ймовірністю події Р(D), Що полягає в тому, що випадкова похибка Di приймає значення, менше деякого значення D, тобто. функцію F( D ) = Р [ Di < D ]. Ця функція при зміні Dот -¥ до +¥ приймає значення від 0 до 1 і є незменшною. Вона існує всім випадкових величин як дискретних, і безперервних (рис 4.3 а).
Якщо F(D)симетрична щодо точки А,відповідної ймовірності 0,5 то розподіл результатів спостереження буде симетрично щодо істинного значення А.У цьому випадку доцільно F(D)зрушити по осі абсцис значення DA, тобто. виключити систематичну складову похибка (DА =Dс)та отримати функцію розподілу випадкової складової похибки D =(Рис. 4.3 б). Функція розподілу ймовірності похибки Dвідрізняється від функції розподілу ймовірності випадкової складової похибки лише зрушенням по осі абсцис на значення систематичної складової похибки Dс.
Диференційним законом розподілу ймовірностейдля випадкової похибки з безперервною та диференційованою функцією розподілу F(D)називають функцію . Ця залежність є густина розподілу ймовірностей.Графік густини розподілу ймовірностей може мати різну форму залежно від закону розподілу похибок. Для F(D), зображений на рис. 4.3 б, крива розподілу f(D)має форму, близьку до форми дзвона (рис. 4.3).
Імовірність появи випадкових похибок визначається площею, обмеженою кривою f(D)або її частиною та віссю абсцис (рис. 4.3 в). Залежно від розглянутого інтервалу похибки .

Значення f(D)dDє елемент ймовірності, що дорівнює площі прямокутника з основою dD іабсцисами D1,D2,званими квантилями. Так як F(+¥)= 1, то справедлива рівність ,
тобто. площа під кривою f(D)згідно з правилом нормування дорівнює одиниці та відображає ймовірність усіх можливих подій.
У практиці електричних вимірів одним із найпоширеніших законів розподілу випадкових похибок є нормальний закон(Гаусса).
Математичний вираз нормального закону має вигляд
,
де f(D)- Щільність ймовірності випадкової похибки D = аi -A; s – середнє квадратичне відхилення. Середнє відхилення може бути виражене через випадкові відхилення результатів спостережень Di (див. формулу (4.1)):
.
Характер кривих, описаних цим рівнянням двох значень s, показаний на рис. 4.4. З цих кривих видно, що менше s, тим частіше зустрічаються малі випадкові похибки, тобто. тим точніше виконані виміри. У практиці вимірів зустрічаються й інші закони розподілу, які можуть бути встановлені на підставі статистичної обробки

дослідних даних. Деякі з найбільш поширених законів розподілу наведені в ГОСТ 8.011-84 «Показники точності вимірювань та форми подання результатів вимірювань».
Основними характеристиками законів розподілу є математичне очікуванняі дисперсія.
Математичне очікування випадкової величини- це таке її значення, довкола якого групуються результати окремих спостережень. Математичне очікування дискретної випадкової величини М[X]визначається як сума вироблень всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень .
Для безперервних випадкових величин доводиться вдаватися до інтегрування, навіщо необхідно знати залежність щільності ймовірності від х,тобто. f(х),де х=D.Тоді .
Цей вислів означає, що математичне очікування дорівнює сумі нескінченно великої кількості творів усіх можливих значень випадкової величини. хна нескінченно малі площі f(х)dх,де f(х) -ординати для кожного х, a dх -елементарні відрізки осі абсцис.
Якщо спостерігається нормальний розподіл випадкових похибок, то математичне очікування випадкової похибки дорівнює нулю (рис. 4.4). Якщо ж розглядати нормальний розподіл результатів, то математичне очікування буде відповідати справжньому значенню вимірюваної величини, яке ми позначаємо через A.
Систематична похибка при цьому є відхиленням математичного очікування результатів спостережень від справжнього значення Авимірюваної величини: Dс = М[X] -A, А випадкова похибка - різницю між результатом одиничного спостереження та математичним очікуванням: .
Дисперсія низки спостережень характеризує ступінь розсіювання (розкиду) результатів окремих спостережень навколо математичного очікування:
D[X] =Dx=M[(ai -mx)2].
Чим менша дисперсія, тим менший розкид окремих результатів, тим точніше виконані виміри. Однак дисперсія виражається в одиницях у квадраті вимірюваної величини. Тому як характеристика точності ряду спостережень найчастіше застосовують середнє квадратичне відхилення (СКО), що дорівнює кореню квадратному з дисперсії: .
Розглянутий нормальний розподіл випадкових величин, зокрема і випадкових похибок, є теоретичним, тому описаний нормальний розподіл слід як «ідеальний», т. е. як теоретичну основу вивчення випадкових похибок та його впливу результат результатів.
Далі викладаються способи застосування цього розподілу на практиці з тим чи іншим ступенем наближення. Розглядається ще один розподіл (розподіл Стьюдента), застосовуване при невеликих кількостях спостережень.
Оцінка похибок результатів прямих вимірювань.Нехай було проведено ппрямих вимірів однієї й тієї величини. Загалом у кожному з актів вимірювань похибка буде різною:
Di =ai -A,
де Di - похибка i-го виміру; ai -результат i-го виміру.
Оскільки справжнє значення вимірюваної величини AНевідомо, чи безпосередньо випадкову абсолютну похибку обчислити не можна. При практичних розрахунках доводиться замість Aвикористовувати його оцінку. Зазвичай приймають, що справжнє значення одно середнього арифметичного значення ряду вимірювань:
. (4.2)
де аi -результати окремих вимірів; п -число вимірів.
Тепер аналогічно до виразу (4.1) можна визначити відхилення результату кожного вимірювання від середнього значення :
(4.3)
де v i- Відхилення результату одиничного виміру від середнього значення. Слід пам'ятати, що сума відхилень результату вимірів від середнього значення дорівнює нулю, а їх квадратів мінімальна, тобто.
та min.
Ці властивості використовуються при обробці результатів вимірювань контролю правильності обчислень.
Потім обчислюють оцінку значення середньої квадратичної похибкидля даного ряду вимірів

. (4.4)
Відповідно до теорії ймовірностей при досить великій кількості вимірів, що мають незалежні випадкові похибки, оцінка Sсходиться ймовірно до s.Таким чином,

. (4.5)
З огляду на те, що середнє арифметичне значення також є випадковою величиною, що має сенс поняття середньоквадратичного відхилення середнього арифметичного значення. Цю величину позначимо символом sср. Можна показати, що для незалежних похибок
. (4.6)
Значення sср характеризує ступінь розкиду . Як зазначалося вище, виступає оцінкою справжнього значення вимірюваної величини, тобто. є кінцевим результатом вимірів, що виконуються. Тому sср називають середньою квадратичною похибкою результату вимірювань.
На практиці значенням s, що обчислюється за формулою (4.5), користуються в тому випадку, якщо необхідно дати характеристику точності методу вимірювання, що застосовується: якщо метод точний, то розкид результатів окремих вимірювань малий, тобто. мало значення s . Значення ж sср , обчислюється по (4.6), використовується для характеристики точності результату вимірювань деякої величини, тобто. результату, отриманого за допомогою математичної обробки підсумків цілої низки окремих прямих вимірів.
Оцінюючи результатів вимірів іноді користуються поняттям максимальноюабо граничної допустимої похибки,значення якої визначають у частках s або S. Нині існують різні критерії встановлення максимальної похибки, т. е. межі поля допуску ±D, які випадкові похибки повинні вкластися. Загальноприйнятим поки визначення максимальної похибки D = 3s (чи 3 S). Останнім часом на підставі інформаційної теорії вимірів професор П. В. Новицький рекомендує користуватися значенням D = 2s.
Введемо тепер важливі поняття довірчої ймовірностіі довірчого інтервалу.Як зазначалося вище, середнє арифметичне значення , отримане в результаті деякого ряду вимірювань є оцінкою істинного значення Аі, зазвичай, не збігається з ним, а відрізняється значення похибки. Нехай Рдє ймовірність того, що відрізняється від Алише на D, тобто. Р(-D< А< + D)=Рд. Ймовірність Рдназивається довірчою ймовірністю,а інтервал значень вимірюваної величини від - D до + D - довірчим інтервалом.
Наведені вище нерівності означають, що з ймовірністю Рддовірчий інтервал від - D до + D містить у собі справжнє значення А. Таким чином, щоб характеризувати випадкову похибку досить повно, треба мати два числа — довірчу ймовірність і відповідний їй довірчий інтервал. Якщо закон розподілу ймовірностей похибок відомий, то за заданою вірогідністю можна визначити довірчий інтервал. Зокрема, за досить великої кількості вимірювань часто буває виправданим використання нормального закону, тоді як при невеликій кількості вимірювань (п< 20), результати яких належать нормальному розподілу, слід скористатися розподілом Стьюдента. Цей розподіл має щільність ймовірностей, що практично збігається з нормальною при великих п,але значно відрізняється від нормальної при малих п.
У табл. 4.1 наведено так звані квантил розподілу Стьюдента ½ t(n)½ Рддля числа вимірів п= 2 - 20 та довірчих ймовірностей Р = 0,5 - 0,999.
Вкажемо, проте, зазвичай таблиці розподілу Стьюдента наводяться задля значень пі Рд,а для значень m =n-1і a = 1 - Рд,що слід враховувати під час користування ними. Щоб визначити довірчий інтервал, потрібно для даних пі Рдзнайти квантиль ½ t(n)½Рд та обчислити величини Ан = - sср× ½ t(n)½Рді Ав = + sср× ½ t(n)½Рд, які будуть нижньою та верхньою межами довірчого інтервалу.

Після знаходження довірчих інтервалів для заданої довірчої ймовірності згідно з наведеною вище методикою роблять запис результату вимірювання у вигляді ; D =Dн¸ Dв; Рд,
де - Оцінка істинного значення результату вимірювання в одиницях вимірюваної величини; D – похибка вимірювання; Dв = + sср× ½ t(n)½Рд та Dн = - sср× ½ t(n)½Рд - верхня та нижня межі похибки вимірювання; Рд - довірча ймовірність.

Таблиця 4.1

	Значення квантилів розподілу Стьюдента t(n) при довірчій ймовірності Рд

Оцінка похибок результатів непрямих вимірів.При непрямих вимірах шукана величина Афункціонально пов'язана з однією або декількома величинами, що безпосередньо вимірюються: х,y,..., t. Розглянемо найпростіший випадок визначення похибки при одній змінній, коли A= F(x). Позначивши абсолютну похибку вимірювання величини хчерез ±Dx отримаємо A+ D A= F(x± D x).
Розклавши праву частину цієї рівності в ряд Тейлора і нехтуючи членами розкладання, що містять Dх у ступені вище першої, отримаємо
A+DA » F(x) ± Dx або DA » ± Dx.
Відносна помилка вимірювання функції визначиться з виразу
.
Якщо вимірювана величина Ає функцією кількох змінних: A=F(x,y,...,t),то абсолютна похибка результату непрямих вимірів
.
Приватні відносні похибки непрямого виміру визначаються за формулами ; і т. д. Відносна похибка результату вимірів
.
Зупинимося також на особливостях оцінки результату непрямого виміру за наявності випадкової похибки.
Для оцінки випадкової похибки результатів непрямих вимірів величини Абудемо вважати, що систематичні похибки вимірювань величин x, y,…, tвиключені, а випадкові похибки вимірювання цих величин не залежать один від одного.
При непрямих вимірах значення вимірюваної величини знаходять за формулою ,
де - середні чи середні зважені значення величин x, y, ..., t.
Для обчислення середнього квадратичного відхилення значення вимірюваної величини Адоцільно використовувати середні квадратичні відхилення, отримані при вимірах x, y, ..., t.
Загалом для визначення середнього квадратичного відхилення s непрямого вимірювання служить наступна формула:
, (4.7)
де Dx;Dy; ...;Dt -так звані приватні похибки непрямого виміру ; ; …; ; ; ; … ; — приватні похідні Апо x, y, ..., t;sx; sy ,…,st , …середні квадратичні відхилення результатів вимірювань величин x, y, ..., t.
Розглянемо деякі окремі випадки застосування рівняння (4.7), коли функціональна залежність між опосередковано і безпосередньо вимірюваними величинами виражається формулою A =k× xa× yb× zg,де k -числовий коефіцієнт (безрозмірний).
У цьому випадку формула (4.7) набуде наступного вигляду:
.
Якщо a =b =g = 1і A =k× x× y× z,то формула відносної похибки спрощується до вигляду .
Ця формула застосовна, наприклад, для обчислення середнього квадратичного відхилення результату вимірювання об'єму за результатами вимірювання висоти, ширини та глибини резервуара, що має форму прямокутного паралелепіпеда.

4.5. Правила підсумовування випадкових та систематичних похибок
Похибка складних вимірювальних приладів залежить від похибок його окремих вузлів (блоків). Похибки підсумовуються за певними правилами.
Нехай, наприклад, вимірювальний прилад складається з mблоків, кожен з яких має незалежні один від одного випадкові похибки. При цьому відомі абсолютні значення середніх квадратичних sk або максимальних Мkпохибок кожного блоку.
Арифметичне підсумовування або дає максимальну похибку приладу, яка має мізерну ймовірність і тому рідко використовується для оцінки точності роботи приладу в цілому. Відповідно до теорії помилок результуюча похибка sріз і Мрезвизначається додаванням за квадратичним законом або .
Аналогічно визначається і результуюча відносна похибка виміру: . (4.8)
Рівняння (4.8) можна використовувати для визначення допустимих похибок окремих блоків приладів, що розробляються, з заданою загальною похибкою вимірювання. При конструюванні приладу зазвичай задаються рівними похибками для окремих блоків, що входять до нього. Якщо існує кілька джерел похибок, які на кінцевий результат вимірювання впливають неоднаково (або прилад складається з кількох блоків з різними похибками), формулу (4.8) слід ввести вагові коефіцієнти ki :
, (4.9)
де d1, d2, ..., dm - Відносні похибки окремих вузлів (блоків) вимірювального приладу; k1,k2, … ,km- Коефіцієнти, що враховують ступінь впливу випадкової похибки даного блоку на результат вимірювання.
За наявності у вимірювального приладу (або його блоків) також систематичних похибок загальна похибка визначається їх сумою:. Такий самий підхід справедливий і для більшої кількості складових.
Оцінюючи впливу приватних похибок слід враховувати, що точність вимірів переважно залежить від похибок, великих за абсолютної величині, а деякі найменші похибки можна взагалі не враховувати. Приватна похибка оцінюється на підставі так званого критерію нікчемної похибки,який полягає у наступному. Припустимо, що сумарна похибка dрез визначена за формулою (4.8) з урахуванням усіх mприватних похибок, серед яких деяка похибка має мало значення. Якщо сумарна похибка d¢рез, обчислена без урахування похибки di, відрізняється від dрез лише на 5 %, тобто. dрез-d¢рез< 0,05×dрез или 0,95×dрезУ практиці технічних розрахунків часто користуються менш суворим критерієм - у формули вводять коефіцієнт 0,4.

4.6. Форми подання результатів виміру

Результат виміру має значення лише тоді, коли можна оцінити його інтервал невизначеності, тобто. ступінь достовірності. Тому результат вимірювань повинен містити значення вимірюваної величини та характеристики точності цього значення, якими є систематичні та випадкові похибки. Кількісні показники похибок, способи їх вираження, а також форми подання результатів вимірів регламентуються ГОСТ 8.011-72 «Показники точності вимірів та форми подання результатів вимірів». Розглянемо основні форми представлення результатів вимірів.
Похибка результату прямого одноразового виміру залежить багатьох чинників, але насамперед визначається похибкою використовуваних засобів вимірів. Тому в першому наближенні похибка результату виміру можна прийняти рівною
похибки, якою у цій точці діапазону вимірів характеризується використовуваний засіб вимірів.
Похибки засобів вимірювання змінюються в діапазоні вимірювань. Тому в кожному випадку для кожного вимірювання необхідно провести обчислення похибки результату вимірювань, використовуючи формули (3.19) - (3.21) нормування похибки відповідного засобу вимірювань. Обчислюватися повинна як абсолютна, так і відносна похибки результату вимірювання, так як перша з них потрібна для округлення результату та його правильного запису, а друга для однозначної порівняльної характеристики його точності.
Для різних характеристик нормування похибок СІ ці обчислення виробляються по-різному, тому розглянемо три характерні випадки.
1. Клас приладу вказано у вигляді одного числа q,ув'язненого в гурток. Тоді відносна похибка результату (у відсотках) g = q,а абсолютна його похибка D х =q× x/ 100.
2. Клас приладу вказано одним числом p(Без гуртка). Тоді абсолютна похибка результату виміру D х =p× xk / 100, де xk— межа виміру, на якій воно проводилося, а відносна похибка виміру (у відсотках) знаходиться за формулою ,
тобто в цьому випадку при вимірі, крім відліку вимірюваної величини хобов'язково має бути зафіксовано і межу вимірювань xk ,інакше згодом не можна буде вирахувати похибку результату.
3. Клас приладу вказаний двома числами як c/d. І тут зручніше обчислити відносну похибку dрезультату за формулою (3.21), а вже потім знайти абсолютну похибку як Dx =d× x/100.
Після проведення обчислень похибки використовують одну з форм подання результату вимірювань у такому вигляді: х;± Dі d, де х- Виміряне значення; D- Абсолютна похибка вимірювання; d-відносна похибка виміру. Наприклад, проводиться наступний запис: «Вимірювання зроблено з відносною похибкою d= …%. Виміряне значення х = (А± D), де А- результат вимірів».
Однак наочно вказати межі інтервалу невизначеності вимірюваної величини у вигляді: x = (A-D)¸(A+D)або (A-D)< х < (A+D)із зазначенням одиниць виміру.
Інша форма подання результату вимірювання встановлюється у такому вигляді: х; Dвід Dндо Dв; Р,де х- результат виміру в одиницях вимірюваної величини; D ,Dн,Dв- відповідно похибка вимірювання з нижньою та верхньою її межами у тих самих одиницях; Р- ймовірність, з якою похибка виміру перебуває у цих межах.
ГОСТ 8.011-72 допускає й інші форми подання результатів вимірювання, що відрізняються від наведених форм тим, що в них вказують окремо характеристики систематичної та випадкової складових похибки виміру. При цьому для систематичної похибки вказують її імовірнісні характеристики. І тут основними характеристиками систематичної похибки є математичне очікування М [ Dхс], середньоквадратичне відхилення s[ Dхс] та її довірчий інтервал. Виділення систематичної та випадкової складових похибки доцільно, якщо результат виміру буде використаний при подальшій обробці даних, наприклад, при визначенні результату непрямих вимірів та оцінці його точності, при підсумовуванні похибок тощо.

Будь-яка з форм подання результату вимірювання, передбачена ГОСТ 8.011-72, повинна містити необхідні дані, на підставі яких може бути визначений інтервал довіри для похибки результату вимірювання. У випадку довірчий інтервал може бути встановлений, якщо відомі вид закону розподілу похибки і основні числові характеристики цього закону.

При вимірі будь-якої величини незмінно є деяке відхилення від правдивого значення, тому що жоден прилад неспроможна дати точного результату. Для того щоб визначити допустимі відхилення отриманих даних від точного значення, застосовують уявлення відносної та безумовної похибки.

Вам знадобиться

• – підсумки вимірів;
• - Калькулятор.

Інструкція

1. Насамперед, проведіть кілька вимірювань приладом однієї й тієї ж величини, щоб мати можливість порахувати дійсне значення. Чим більше буде проведено вимірювань, тим вірніше буде результат. Скажімо, зважте яблуко на електронних терезах. Можливо, ви отримали підсумки 0,106, 0,111, 0,098 кг.

2. Тепер порахуйте реальне значення величини (дійсне, тому що правдиве виявити неможливо). Для цього складіть отримані підсумки та поділіть їх на кількість вимірювань, тобто виявіть середнє арифметичне. У прикладі дійсне значення дорівнюватиме (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

3. Для розрахунку безумовної похибки першого виміру віднімайте з результату дійсне значення: 0,106-0,105=0,001. Так само обчисліть безумовні похибки інших вимірів. Зверніть увагу, самостійно від того, вийде результат з мінусом або з плюсом, символ похибки постійно позитивний (тобто ви берете модуль значення).

4. Щоб отримати відносну похибку першого виміру, поділіть безумовну похибку на дійсне значення: 0,001/0,105=0,0095. Зверніть увагу, зазвичай відносна похибка вимірюється у відсотках, тому помножте отримане число на 100%: 0,0095х100% = 0,95%. Так само вважайте відносні похибки інших вимірів.

5. Якщо правдиве значення вже відомо, одночасно беріться за розрахунок похибок, виключивши пошук середнього арифметичного підсумків вимірювань. Відразу відніміть із правдивого значення отриманий результат, при цьому ви виявите безумовну похибку.

6. Після цього поділяєте безумовну похибку на правдиве значення та множте на 100% – це буде відносна похибка. Скажімо, число учнів 197, але його заокруглили до 200. У такому разі розрахуйте похибку заокруглення: 197-200=3, відносну похибку: 3/197х100%=1,5%.

Похибкає величиною, яка визначає припустимі відхилення отриманих даних від точного значення. Існують уявлення відносної та безумовної похибки. Їх знаходження – одне із завдань математичного огляду. Втім на практиці більш значуще буває порахувати похибку розкиду якогось вимірюваного показника. Фізичні прилади мають власну можливу похибку. Але не тільки її треба розглядати при визначенні показника. Для підрахунку похибки розкиду потрібно провести кілька вимірювань даної величини.

Вам знадобиться

• Прилад для вимірювання необхідної величини

Інструкція

1. Виміряйте приладом або іншим способом вимірювання необхідну вам величину. Повторіть виміри кілька разів. Тим більше буде отримано значень, тим вища точність визначення похибки розкиду. Традиційно проводять 6-10 вимірів. Запишіть отриманий набір значень вимірюваної величини.

2. Якщо отримані значення рівні, отже, похибка розкиду дорівнює нулю. Якщо ж у ряду є значення, обчисліть похибку розкиду. Для її визначення існує спеціальна формула.

3. Згідно з формулою, спочатку обчисліть середню величину<х>з отриманих значень. Для цього складіть всі значення, а їх суму поділіть на кількість вимірювань, що проводяться n.

4. Визначте по черзі різницю між усією отриманою величиною та середнім значенням<х>. Запишіть результати отриманих різниць. Після цього зведіть усі різниці у квадрат. Виявіть суму даних квадратів. Збережете кінцевий отриманий результат суми.

5. Обчисліть вираз n(n-1), де n – число вимірювань, які ви проводите. Поділіть результат суми з попереднього обчислення на отримане значення.

6. Візьміть квадратний корінь приватного від поділу. Це буде похибка розкиду σ, виміряної вами величини.

Проводячи виміри, неможливо гарантувати їхню точність, кожен прилад дає якусь похибка. Щоб дізнатися точність вимірювань чи клас точності приладу, необхідно визначити безумовну і відносну похибка .

Вам знадобиться

• - Кілька підсумків вимірювань або інша вибірка;
• - Калькулятор.

Інструкція

1. Проведіть вимірювання щонайменше 3-5 разів, щоб мати можливість порахувати дійсне значення параметра. Складіть отримані підсумки і поділіть їх на кількість вимірів, ви отримали дійсне значення, яке застосовується в задачах замість правдивого (визначити його нереально). Скажімо, якщо виміри дали підсумок 8, 9, 8, 7, 10, то дійсне значення дорівнюватиме (8+9+8+7+10)/5=8,4.

2. Виявіть безумовну похибкавсього виміру. Для цього з підсумку виміру віднімайте дійсне значення, знаками нехтуйте. Ви отримаєте 5 безумовних похибок, по одному для будь-якого виміру. У прикладі вони дорівнюватимуть 8-8,4 = 0,4, 9-8,4 =0,6, 8-8,4=0,4, 7-8,4 =1,4, 10-8,4 =1,6 (взяті модулі результатів).

3. Щоб дізнатися відносну похибкавсякого виміру, поділіть безумовну похибкана дійсне (правдиве) значення. Після цього помножте отриманий результат на 100%, зазвичай саме у відсотках вимірюється ця величина. У прикладі виявіть відносну похибкатаким чином: ?1=0,4/8,4=0,048 (або 4,8%), ?2=0,6/8,4=0,071 (або 7,1%), ?3=0,4/ 8,4=0,048 (чи 4,8%), ?4=1,4/8,4=0,167 (чи 16,7%), ?5=1,6/8,4=0,19 (чи 19 %).

4. Насправді для особливо точного відображення похибки застосовують середнє квадратичне відхилення. Щоб його виявити, зведіть у квадрат всі безумовні похибки виміру і складіть між собою. Після цього поділіть це число на (N-1), де N – число вимірів. Обчисливши корінь з отриманого результату, ви отримаєте середнє відхилення, що характеризує похибкавимірів.

5. Щоб виявити граничну безумовну похибка, виявіть мінімальне число, що явно перевищує безумовну похибкаабо рівне йому. У цьому прикладі примітивно виберіть найбільше значення – 1,6. Також зрідка потрібно виявити граничну відносну похибка, у разі виявите число, перевищує чи дорівнює однакової похибки, у прикладі вона дорівнює 19%.

Невіддільною частиною будь-якого виміру є деяка похибка. Вона є добротним відгуком точності проведеного дослідження. За формою уявлення вона може бути безумовною та відносною.

Вам знадобиться

• - Калькулятор.

Інструкція

1. Похибки фізичних вимірів поділяються на систематичні, випадкові та зухвалі. Перші викликаються факторами, що діють ідентично при багаторазовому повторенні вимірів. Вони безперервні чи правомірно змінюються. Вони можуть бути викликані неправильною установкою або недосконалістю обраного способу вимірювання.

2. Другі виникають від могутності факторів, і така вдача. До них можна віднести неправильне округлення при підрахунку показань і могутність навколишнього середовища. Якщо такі помилки набагато менше, ніж розподілу шкали цього приладу вимірювання, то як безумовна похибка доречно взяти половину розподілу.

3. Промах або зухвала похибкаявляє собою результат стеження, який круто відрізняється від усіх інших.

4. Безумовна похибканаближеного числового значення – це різницю між підсумком, отриманим у ході вимірювання та правдивим значенням вимірюваної величини. Правдиве чи реальне значення особливо чітко відбиває досліджувану фізичну величину. Ця похибкає найлегшим кількісним заходом помилки. Її можна розрахувати за формулою: ?Х = Хисл – Хіст. Вона може набувати позитивного та негативного значення. Для більшого розуміння розглянемо приклад. У школі 1205 учнів, при округленні до 1200 безумовна похибкадорівнює: ? = 1200 - 1205 = 5.

5. Існують певні правила розрахунку похибки величин. По-перше, безумовна похибкасуми 2-х самостійних величин дорівнює сумі їх безумовних похибок: ?(Х+Y) = ?Х+?Y. Подібний підхід застосовується для різниці 2-х похибок. Дозволено користуватися формулою: ?(Х-Y) = ?Х+?Y.

6. Поправка є безумовною похибка, взяту зі зворотним знаком: ?п = -?. Її застосовують для виключення систематичної похибки.

Вимірюванняфізичних величин незмінно супроводжуються тій чи іншій похибкою. Вона є відхилення підсумків виміру від правдивого значення вимірюваної величини.

Вам знадобиться

• -вимірювальний пристрій:
• -Калькулятор.

Інструкція

1. Похибки можуть виникнути внаслідок могутності різних чинників. Серед них можна виділити недосконалість засобів або методів вимірювання, неточності при їх виготовленні, невиконання особливих умов при проведенні дослідження.

2. Існує кілька систематизації похибок. За формою подання вони можуть бути безумовними, відносними та наведеними. Перші є різниця між обчисленим і дійсним значенням величини. Виражаються в одиницях вимірюваного явища і знаходяться за формулою: х = хісл-хіст. Другі визначаються ставленням безумовних похибок до величини правдивого значення показника. Формула розрахунку має вигляд:? =? Х / хіст. Вимірюється у відсотках чи частках.

3. Наведена похибка вимірювального приладу знаходиться як відношення до нормуючого значення хн. Залежно типу приладу воно приймається або дорівнює межі вимірювань, або віднесено до їхнього певного діапазону.

4. За умовами походження розрізняють основні та додаткові. Якщо виміри проводилися в типових умовах, з'являється 1-й вид. Відхилення, обумовлені виходом значень межі типових, є додаткової. Для її оцінки в документації зазвичай встановлюють норми, у яких може змінюватися величина у разі порушення умов проведення вимірів.

5. Також похибки фізичних вимірів поділяються на систематичні, випадкові та зухвалі. Перші викликаються факторами, що діють при багаторазовому повторенні вимірів. Другі виникають від могутності факторів, і така вдача. Промах є результатом стеження, який круто відрізняється від решти.

6. Залежно від характеру вимірюваної величини можуть застосовуватися різні способи виміру похибки. Перший із них це спосіб Корнфельда. Він ґрунтується на обчисленні довірчого проміжку в межах від найменшого до максимального результату. Похибка у разі буде половину різниці цих результатів: ?х = (хmax-xmin)/2. Ще один із методів – це розрахунок середньої квадратичної похибки.

Вимірювання можуть проводитися з різним ступенем точності. При цьому, безумовно, точними не бувають навіть прецизійні прилади. Безумовна та відносна похибки можуть бути малі, але насправді вони є практично незмінно. Різниця між наближеним і точним значеннями певної величини називається безумовною похибкою. При цьому відхилення може бути як у велику, так і меншу сторону.

Вам знадобиться

• - Дані вимірювань;
• - Калькулятор.

Інструкція

1. Перед тим, як розраховувати безумовну похибку, прийміть за початкові дані кілька постулатів. Виключіть зухвалі похибки. Прийміть, що необхідні поправки вже розраховані і внесені до результату. Такий виправлення може бути, скажімо, перенесення початкової точки вимірювань.

2. Прийміть як початкове розташування те, що знамениті та враховані випадкові похибки. При цьому мається на увазі, що вони менш систематичні, тобто безумовною і відносною, характерних саме для цього приладу.

3. Випадкові похибки впливають на результат навіть високоточних вимірів. Тому будь-який результат буде більш-менш наближеним до абсолютного, але завжди будуть розбіжності. Визначте цей проміжок. Його можна висловити формулою (Xізм-? Х)? Хізм? (Хізм +? Х).

4. Визначте величину максимально наближену до правдивого значення. У реальних вимірах береться середнє арифметичне, яке можна знайти за такою формулою, зображеної малюнку. Прийміть результат за правдиву величину. У багатьох випадках як точний приймається показання еталонного приладу.

5. Знаючи правдиву величину виміру, ви можете виявити безумовну похибку, яку слід розглядати за всіх наступних вимірах. Виявіть величину Х1 – дані певного виміру. Визначте різницю?Х, відібравши від більшого числа менше. При визначенні похибки враховується лише модуль цієї різниці.

Зверніть увагу!
Як водиться, на практиці, безумовно, точне вимірювання провести не виходить. Отже, за еталонну величину приймається гранична похибка. Вона є найвищим значенням модуля безумовної похибки.

Корисна порада
У практичних вимірах за величину безумовної похибки зазвичай приймається половина найменшої ціни поділу. При діях з числами за безумовну похибку приймається половина значення цифри, що у подальшому за точними цифрами розряді. Для визначення класу точності приладу найбільш важливим буває відношення безумовної похибки до результату вимірювань чи довжини шкали.

Похибки вимірів пов'язані з недосконалістю приладів, інструментів, методології. Точність залежить також від спостережливості та стану експериментатора. Похибки поділяються на безумовні, відносні та наведені.

Інструкція

1. Нехай одноразове вимірювання величини дало результат x. Правдиве значення позначено x0. Тоді безумовна похибка?x=|x-x0|. Вона оцінює безумовну помилку виміру. Безумовна похибкаскладається з 3 складових: випадкових похибок, систематичних похибок та промахів. Зазвичай при вимірі приладом беруть як похибку половину ціни поділу. Для міліметрової лінійки це буде 0,5 мм.

2. Правдиве значення вимірюваної величини знаходиться в інтервалі (x-x ; x + x). Коротше записується як x0=x±?x. Головно вимірювати x і ?x в одних і тих же одиницях вимірювання і записувати в тому самому форматі числа, скажімо, ціла частина і три цифри пізніше комою. Виходить, безумовна похибкадає межі проміжку, у якому з певною ймовірністю перебуває правдиве значення.

3. Відносна похибкавиражає ставлення безумовної похибки до дійсного значення величини: ?(x)=?x/x0. Це безрозмірна величина, вона може записуватися також у відсотках.

4. Вимірювання бувають прямі та непрямі. У прямих вимірах відразу заміряється бажана величина відповідним приладом. Скажімо, довжина тіла вимірюється лінійкою, напруга – вольтметром. При непрямих вимірах величина знаходиться за формулою залежності між нею і величинами, що заміряються.

5. Якщо результат є пов'язаність від 3 невимушено вимірюваних величин, що мають похибки?x1, ?x2, ?x3, то похибканепрямого виміру?F=?[(?x1?F/?x1)?+(?x2?F/?x2)?+(?x3?F/?x3)?]. Тут?F/?x(i) – приватні похідні від функції з будь-якої з невимушено вимірюваних величин.

Корисна порада
Промахи - це зухвалі неточності вимірів, що виникають при несправності приладів, неуважності експериментатора, порушення методології експерименту. Щоб зменшити ймовірність таких промахів, під час проведення вимірювань будьте уважні та детально розписуйте отриманий результат.

Підсумок будь-якого виміру неминуче супроводжується відхиленням від правдивого значення. Обчислити похибку вимірювання можна кількома методами залежно від її типу, скажімо, статистичними способами визначення довірчого проміжку, середньоквадратичного відхилення та ін.

Інструкція

1. Існує кілька причин, через які з'являються похибки вимірювань. Це неточність приладів, недосконалість методології, а також помилки, викликані неуважністю оператора, що проводить виміри. Крім того, найчастіше за правдиве значення параметра набувають його дійсної величини, яка насправді є лише особливо можливою, виходячи з огляду статистичної вибірки підсумків серії експериментів.

2. Похибка – це міра відхилення параметра, що вимірюється, від його правдивого значення. Згідно з способом Корнфельда, визначають довірчий проміжок, який гарантує певний ступінь безпеки. У цьому знаходять звані довірчі межі, у яких коливається величина, а похибка обчислюють як напівсуму цих значень:? = (xmax – xmin)/2.

3. Це інтервальна оцінка похибки, яку користується проводити при невеликому обсязі статистичної вибірки. Точкова оцінка полягає у обчисленні математичного очікування та середньоквадратичного відхилення.

4. Математичне очікування є інтегральною сумою низки творів 2-х параметрів стеження. Це, власне, значення вимірюваної величини та її ймовірності у цих точках:М = ?xi pi.

5. Класична формула для обчислення середньоквадратичного відхилення вважає розрахунок середнього значення послідовності значень вимірюваної величини, що аналізується, а також розглядає обсяг серії проведених експериментів: ? =? (? (xi - xср)? / (n - 1)).

6. За методом вираження виділяють також безумовну, відносну та наведену похибку. Безумовна похибка виражається у тих самих одиницях, як і вимірювана величина, і дорівнює різниці між її розрахунковим і правдивим значенням: x = x1 – x0.

7. Відносна похибка вимірювання пов'язана з безумовною, проте є більш високоефективною. Вона не має розмірності, зрідка виражається у відсотках. Її величина дорівнює відношенню безумовної похибкидо правдивого чи розрахунковому значенню измеряемого параметра:?x = ?x/x0 чи?x = ?x/x1.

8. Наведена похибка виражається ставленням між безумовною похибкою та деяким умовно прийнятим значенням x, яке є постійним для всіх вимірюваньі визначається градуювання шкали приладу. Якщо шкала починається з нуля (одностороння), то це нормуюче значення дорівнює її верхній межі, а якщо двостороння – ширині кожного її діапазону:? =? x / xn.

Самоконтроль при діабеті вважається значним компонентом лікування. Для вимірювання цукру в домашніх умовах застосовується глюкометр. Можлива похибка цього приладу вище, ніж у лабораторних аналізаторів глікемії.

Вимірювання цукру крові потрібне для оцінки результативності лікування діабету та для корекції дози препаратів. Від призначеної терапії залежить те, скільки разів на місяць знадобиться міряти цукор. Зрідка забір крові на огляд необхідний неодноразово протягом дня, зрідка досить 1-2 рази на тиждень. Самоконтроль виключно потрібен вагітним та хворим 1 типом діабету.

Допустима похибка у глюкометра за світовими стандартами

Глюкометр не вважається високоточним приладом. Він призначений лише для орієнтовного визначення концентрації цукру в крові. Можлива похибка у глюкометра за світовими стандартами становить 20% при глікемії більше 4,2 ммоль/л. Скажімо, якщо за самоконтролю зафіксований ярус цукру 5 ммоль/л, то справжнє значення концентрації перебуває у інтервалі від 4 до 6 ммоль/л. Можлива похибка у глюкометра у стандартних умовах вимірюється у відсотках, а не у ммоль/л. Чим вище показники, тим більша похибка в безумовних числах. Скажімо, якщо цукор крові досягає близько 10 ммоль/л, то помилка не перевищує 2 ммоль/л, а якщо цукор – близько 20 ммоль/л, то різниця з результатом лабораторного виміру може бути до 4 ммоль/л. У більшості випадків глюкометр завищує показники глікемії. Еталони допускають перевищення заявленої похибки вимірювання у 5% випадків. Це означає, що будь-яке двадцяте дослідження може значно спотворювати результати.

Допустима похибка у глюкометрів різних фірм

Глюкометр підлягають неодмінній сертифікації. У документах, що супроводжують прилад, зазвичай вказані цифри можливої ​​похибки вимірювань. Якщо цього пункту немає в інструкції, похибка відповідає 20%. Деякі виробники глюкометрів приділяють особливу увагу точності вимірювань. Існують прилади європейських фірм, які мають можливу похибку менше 20%. Найкращий показник на сьогоднішній день становить 10-15%.

Похибка у глюкометра при самоконтролі

Допустима похибка вимірювання характеризує роботу приладу. На точність дослідження впливають і деякі інші фактори. Ненормально підготовлена ​​шкіра, занадто малий чи великий обсяг отриманої краплі крові, неприпустимий температурний режим – це може призводити до помилок. Тільки в тому випадку, якщо всі правила самоконтролю дотримуються, можна розраховувати на заявлену можливу похибку дослідження. Правила самоконтролю за допомогою глюкометра можна дізнатися у лікаря. Точність глюкометра можна перевірити в сервісному центрі. Гарантійні зобов'язання виробників передбачають безкоштовні консультації та усунення несправностей.

Абсолютну і відносну похибку використовують для оцінки неточності у розрахунках з високою складністю. Також вони використовуються у різних вимірах та для округлення результатів обчислень. Розглянемо, як визначити абсолютну та відносну похибку.

Абсолютна похибка

Абсолютною похибкою числаназивають різницю між цим числом та його точним значенням.
Розглянемо приклад : у школі навчається 374 учні Якщо округлити це число до 400, то абсолютна похибка виміру дорівнює 400-374=26.

Для підрахунку абсолютної похибки необхідно з більшої кількості віднімати менше.

Існує формула абсолютної похибки. Позначимо точне число буквою А, а буквою а – наближення до точного числа. Наближене число – це число, яке трохи відрізняється від точного і зазвичай замінює їх у обчисленнях. Тоді формула буде виглядати так:

Δа=А-а. Як знайти абсолютну похибку за формулою, ми розглянули вище.

Насправді абсолютної похибки недостатньо для точної оцінки виміру. Рідко, коли можна точно знати значення вимірюваної величини, щоб розрахувати абсолютну похибку. Вимірюючи книгу в 20 см завдовжки і припустившись похибки в 1 см, можна вважати вимір з великою помилкою. Але якщо похибка в 1 см була допущена при вимірі стіни 20 метрів, цей вимір можна вважати максимально точним. Тому на практиці важливіше значення має визначення відносної похибки виміру.

Записують абсолютну похибку числа за допомогою знак ±. Наприклад , Довжина рулону шпалер становить 30 м ± 3 см. Кордон абсолютної похибки називають граничною абсолютною похибкою.

Відносна погрішність

Відносною похибкоюназивають ставлення абсолютної похибки числа до цього числа. Щоб розрахувати відносну похибку у прикладі з учнями, розділимо 26 на 374. Отримаємо число 0,0695, переведемо у відсотки та отримаємо 6%. Відносну похибку позначають відсотками, оскільки це безрозмірна величина. Відносна похибка – це точна оцінка помилки вимірів. Якщо взяти абсолютну похибку в 1 см при вимірі довжини відрізків 10 см і 10 м, то відносні похибки відповідно дорівнюють 10% і 0,1%. Для відрізка довжиною 10 см похибка 1см дуже велика, це помилка в 10%. А для десятиметрового відрізка 1 см не має значення лише 0,1%.

Розрізняють систематичні та випадкові похибки. Систематичною називають ту похибку, що залишається незмінною при повторних вимірах. Випадкова похибка виникає в результаті на процес вимірювання зовнішніх факторів і може змінювати своє значення.

Правила підрахунку похибок

Для номінальної оцінки похибок є кілька правил:

• при складанні та відніманні чисел необхідно складати їх абсолютні похибки;
• при розподілі та множенні чисел потрібно скласти відносні похибки;
• при зведенні в ступінь відносну похибку множать показник ступеня.

Наближені та точні числа записуються за допомогою десяткових дробів. Береться лише середнє значення, оскільки точне може бути нескінченно довгим. Щоб зрозуміти, як записувати ці числа, необхідно дізнатися про вірні та сумнівні цифри.

Вірними називаються такі цифри, розряд яких перевершує абсолютну похибку числа. Якщо ж розряд цифри менший за абсолютну похибку, вона називається сумнівною. Наприклад для дробу 3,6714 з похибкою 0,002 вірними будуть цифри 3,6,7, а сумнівними – 1 і 4. У записі наближеного числа залишають лише вірні цифри. Дроб у цьому випадку виглядатиме таким чином – 3,67.

Що ми дізналися?

Абсолютні та відносні похибки використовуються для оцінки точності вимірювань. Абсолютною похибкою називають різницю між точним та наближеним числом. Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки числа до числа. Насправді використовують відносну похибку, оскільки є більш точної.