Часто у житті нам доводиться стикатися з різними наближеними величинами. Наближені обчислення завжди обчислення з деякою похибкою.
Поняття абсолютної похибки
Абсолютна похибка наближеного значення це модуль різниці точного значення та наближеного значення.
Тобто з точного значення потрібно відняти наближене значення та взяти отримане число за модулем. Отже, абсолютна похибка завжди величина позитивна.
Як обчислювати абсолютну похибку
Покажемо, як це може бути на практиці. Наприклад, ми маємо графік деякої величини, нехай це буде парабола: y=x^2.
За графіком ми зможемо визначити приблизне значення у деяких точках. Наприклад, при x=1.5 значення приблизно дорівнює 2.2 (y≈2.2).
За формулою y=x^2 ми можемо визначити точне значення точці x=1.5 у= 2.25.
Тепер вирахуємо абсолютну похибку наших вимірів. | 2.25-2.2 | = | 0.05 | = 0.05.
Абсолютна похибка дорівнює 0,05. У таких випадках ще кажуть значення обчислено з точністю до 0.05.
Часто буває так, що точне значення не завжди можна знайти, а отже абсолютну похибку не завжди можливо знайти.
Наприклад, якщо ми обчислюватимемо відстань між двома точками за допомогою лінійки, або значення кута між двома прямими за допомогою транспортира, ми отримаємо наближені значення. А ось точне значення вирахувати неможливо. У цьому випадку ми можемо вказати таке число, більше якого значення абсолютної похибки не може бути.
У прикладі з лінійкою це буде 0.1 см, оскільки ціна поділу на лінійці 1 міліметр. У прикладі для транспортира 1 градус, тому що шкала транспортира проградуйована через кожен градус. Отже, значення абсолютної похибки у разі 0.1, тоді як у другому випадку 1.
Потрібна допомога у навчанні?
Попередня тема:
Терміни помилка виміруі похибка вимірюваннявикористовуються як синоніми.) Можливо лише оцінити величину цього відхилення, наприклад, за допомогою статистичних методів. При цьому за справжнє значення набуває середньостатистичного значення, отриманого при статистичній обробці результатів серії вимірювань. Це отримане значення перестав бути точним, лише найімовірнішим. Тому у вимірах необхідно вказувати, яка їхня точність . Для цього разом із отриманим результатом вказується похибка вимірів. Наприклад, запис T=2.8±0.1 c. означає, що дійсне значення величини Tлежить в інтервалі від 2.7 с.до 2.9 с.деякою обумовленою ймовірністю (див. довірчий інтервал, довірча ймовірність, стандартна помилка).
У 2006 році на міжнародному рівні було прийнято новий документ, що диктує умови проведення вимірювань та встановив нові правила звірення державних еталонів. Поняття «похибка» почало старіти, натомість було запроваджено поняття «невизначеність вимірів».
Визначення похибки
Залежно від характеристик вимірюваної величини визначення похибки вимірювань використовують різні методи.
- Метод Корнфельда, полягає у виборі довірчого інтервалу в межах від мінімального до максимального результату вимірювання, і похибка як половина різниці між максимальним і мінімальним результатом вимірювання:
- Середня квадратична похибка:
- Середня квадратична похибка середнього арифметичного:
Класифікація похибок
За формою подання
- Абсолютна похибка - Δ Xє оцінкою абсолютної помилки виміру. Розмір цієї похибки залежить від способу її обчислення, який, своєю чергою, визначається розподілом випадкової величини X meas . При цьому рівність:
Δ X = | X true − X meas | ,
де X true - справжнє значення, а X meas - виміряне значення має виконуватися з деякою ймовірністю близькою до 1. Якщо випадкова величина X meas розподілена за нормальним законом , то, як правило, за абсолютну похибку приймають її середньоквадратичне відхилення . Абсолютна похибка вимірюється у тих самих одиницях виміру, як і сама величина.
- Відносна погрішність- Відношення абсолютної похибки до того значення, яке приймається за істинне:
Відносна похибка є безрозмірною величиною, або вимірюється у відсотках.
- Наведена похибка- відносна похибка, виражена ставленням абсолютної похибки засобу вимірювань до умовно прийнятого значення величини, постійному у всьому діапазоні вимірювань або в частині діапазону. Обчислюється за формулою
де X n- нормуюче значення, яке залежить від типу шкали вимірювального приладу та визначається за його градуюванням:
Якщо шкала пристрою одностороння, тобто. нижня межа вимірювань дорівнює нулю, то X nвизначається рівною верхній межі вимірювань;
- якщо шкала приладу двостороння, то нормуюче значення дорівнює ширині діапазону вимірювання приладу.
Наведена похибка – безрозмірна величина (може вимірюватися у відсотках).
Через виникнення
- Інструментальні/приладові похибки- похибки, які визначаються похибками засобів вимірювань, що застосовуються, і викликаються недосконалістю принципу дії, неточністю градуювання шкали, ненаглядністю приладу.
- Методичні похибки- похибки, зумовлені недосконалістю методу, і навіть спрощеннями, покладеними основою методики.
- Суб'єктивні / операторні / особисті похибки- Похибки, зумовлені ступенем уважності, зосередженості, підготовленості та іншими якостями оператора.
У техніці застосовують прилади для вимірювання лише з певною заздалегідь заданою точністю – основною похибкою, яка допускається нормалі в нормальних умовах експлуатації для даного приладу.
Якщо прилад працює в умовах, відмінних від нормальних, виникає додаткова похибка, що збільшує загальну похибку приладу. До додаткових похибок відносяться: температурна, викликана відхиленням температури навколишнього середовища від нормальної, настановна, обумовлена відхиленням положення приладу від нормального робочого положення тощо. За нормальну температуру навколишнього повітря приймають 20°С, нормальний атмосферний тиск 01,325 кПа.
Узагальненою характеристикою засобів вимірювання є клас точності, що визначається граничними значеннями основної і додаткової похибок, що допускаються, а також іншими параметрами, що впливають на точність засобів вимірювання; значення параметрів встановлено стандартами окремі види засобів вимірів. Клас точності засобів вимірювань характеризує їх точнісні властивості, але не є безпосереднім показником точності вимірювань, що виконуються за допомогою цих засобів, оскільки точність залежить також від методу вимірювання та умов їх виконання. Вимірювальним приладам, межі основної похибки яких задані у вигляді наведених основних (відносних) похибок, присвоюють класи точності, що вибираються з ряду наступних чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0 5,0; 6,0) * 10n, де n = 1; 0; -1; -2 і т.д.
За характером прояву
- Випадкова похибка- похибка, що змінюється (за величиною та по знаку) від виміру до виміру. Випадкові похибки можуть бути пов'язані з недосконалістю приладів (тертя в механічних приладах тощо), трясінням у міських умовах, з недосконалістю об'єкта вимірювань (наприклад, при вимірюванні діаметра тонкого дроту, який може мати не зовсім круглий переріз внаслідок недосконалості процесу виготовлення) ), з особливостями самої вимірюваної величини (наприклад при вимірі кількості елементарних частинок, що проходять за хвилину через лічильник Гейгера).
- Систематична похибка- похибка, що змінюється у часі за певним законом (приватним випадком є постійна похибка, що не змінюється з часом). Систематичні похибки можуть бути пов'язані з помилками приладів (неправильна шкала, калібрування тощо), неврахованими експериментатором.
- Прогресуюча (дрейфова) похибка- Непередбачувана похибка, що повільно змінюється в часі. Вона є нестаціонарним випадковим процесом.
- Груба похибка (промах)- похибка, що виникла внаслідок недогляду експериментатора або несправності апаратури (наприклад, якщо експериментатор неправильно прочитав номер розподілу на шкалі приладу, якщо сталося замикання електричного ланцюга).
Абсолютна похибка обчислень знаходиться за формулою:
Знак модуля показує, що нам не має значення, яке значення більше, а яке менше. Важливо, наскільки далеконаближений результат відхилився від точного значення у той чи інший бік.
Відносна похибка обчислень знаходиться за формулою:
, або, те саме: 
Відносна похибка показує, на скільки відсотківнаближений результат відхилився від точного значення. Існує версія формули і без домноження на 100%, але на практиці я майже завжди бачу наведений вище варіант з відсотками.
Після короткої довідки повернемося до нашого завдання, в якому ми вирахували наближене значення функції 
за допомогою диференціалу.
Обчислимо точне значення функції за допомогою мікрокалькулятора:
, Строго кажучи, значення все одно наближене, але ми вважатимемо його точним. Такі завдання зустрічаються.
Обчислимо абсолютну похибку:
Обчислимо відносну похибку:
, Отримані тисячні частки відсотка, таким чином, диференціал забезпечив просто відмінне наближення.
Відповідь: абсолютна похибка обчислень, відносна похибка обчислень
Наступний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 4
у точці. Обчислити більш точне значення функції у цій точці, оцінити абсолютну і відносну похибку обчислень.
Зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.
Багато хто звернув увагу, що у всіх розглянутих прикладах фігурує коріння. Це не випадково, в більшості випадків у завданні, що розглядається, дійсно пропонуються функції з корінням.
Але для читачів я розкопав невеликий приклад з арксинусом:
Приклад 5
Обчислити приблизно за допомогою диференціала значення функції 
у точці
Цей коротенький, але пізнавальний приклад для самостійного рішення. А я трохи відпочив, щоби з новими силами розглянути особливе завдання:
Приклад 6
Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до двох знаків після коми.
Рішення:Що нового у завданні? За умовою потрібно округлити результат до двох знаків після коми. Але справа не в цьому, шкільне завдання округлення, думаю, не є для вас складнощами. Справа в тому, що у нас дано тангенс із аргументом, який виражений у градусах. Що робити, коли вам пропонується для вирішення тригонометричної функції з градусами? Наприклад , і т.д.
Алгоритм рішення принципово зберігається, тобто необхідно, як і попередніх прикладах, застосувати формулу
Записуємо очевидну функцію
Значення потрібно у вигляді . Серйозну допомогу надасть таблиця значень тригонометричних функцій . До речі, хто її не роздрукував, рекомендую це зробити, оскільки заглядати туди доведеться на протязі всього курсу вивчення вищої математики.
Аналізуючи таблицю, помічаємо «хороше» значення тангенсу, яке близько розташовується до 47 градусів:
Таким чином: 
Після попереднього аналізу градуси необхідно перевести в радіани. Так і тільки так!
У цьому прикладі безпосередньо з тригонометричної таблиці можна з'ясувати, що . За формулою переведення градусів у радіани: 
(Формули можна знайти в тій же таблиці).
Подальше шаблонно:
Таким чином: 
(При обчислення використовуємо значення ). Результат, як і вимагалося за умовою, заокруглений до двох знаків після коми.
Відповідь:
Приклад 7
Обчислити приблизно за допомогою диференціалу , результат округлити до трьох знаків після коми.
Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Як бачите, нічого складного, градуси переводимо в радіани і дотримуємося звичайного алгоритму розв'язання.
Наближені обчислення за допомогою повного диференціала функції двох змінних
Все буде дуже і дуже схоже, тому якщо ви зайшли на цю сторінку саме цим завданням, то спочатку рекомендую переглянути хоча б пару прикладів попереднього пункту.
Для вивчення параграфа необхідно вміти знаходити приватні похідні другого порядку куди ж без них. На вищезгаданому уроці функцію двох змінних я позначав через букву. Що стосується розглянутого завдання зручніше використовувати еквівалентне позначення.
Як і для випадку функції однієї змінної, умова завдання може бути сформульована по-різному, і я постараюся розглянути всі формулювання, що зустрічаються.
Приклад 8
Рішення:Як би не було записано умову, у самому рішенні для позначення функції, повторюся, краще використовувати не букву «зет», а .
А ось і робоча формула:
Перед нами, фактично, старша сестра формули попереднього параграфа. Змінна тільки додалася. Та що казати, сам алгоритм рішення буде принципово таким самим!
За умовою потрібно знайти наближене значення функції у точці.
Число 3,04 представимо у вигляді. Колобок сам проситься, щоб його з'їли:
,
Число 3,95 представимо у вигляді. Дійшла черга і до другої половини Колобка:
,
І не дивіться на всякі лисячі хитрощі, Колобок є – треба його з'їсти.
Обчислимо значення функції в точці:
Диференціал функції у точці знайдемо за формулою:
З формули випливає, що потрібно знайти приватні похідні першого порядку і обчислити їх значення у точці.
Обчислимо приватні похідні першого порядку в точці:
Повний диференціал у точці:
Таким чином, за формулою наближене значення функції в точці:
Обчислимо точне значення функції в точці:
Це значення є абсолютно точним.
Похибки розраховуються за стандартними формулами, про які вже йшлося у цій статті.
Абсолютна похибка:
Відносна погрішність:
Відповідь: абсолютна похибка: відносна похибка:
Приклад 9
Обчислити наближене значення функції 
у точці за допомогою повного диференціалу, оцінити абсолютну та відносну похибку.
Це приклад самостійного рішення. Хто зупиниться докладніше цьому прикладі, той зверне увагу, що похибки обчислень вийшли дуже і дуже помітними. Це сталося з наступної причини: у запропонованій задачі досить великі збільшення аргументів: .
Загальна закономірність такаа - що більше ці збільшення по абсолютній величині, то нижче точність обчислень. Так, наприклад, для схожої точки збільшення будуть невеликими: , і точність наближених обчислень вийде дуже високою.
Ця особливість справедлива й у випадку функції однієї змінної (перша частина уроку).
Приклад 10
Рішення:Обчислимо цей вираз приблизно за допомогою повного диференціала функції двох змінних:
На відміну від Прикладів 8-9 полягає в тому, що нам спочатку необхідно скласти функцію двох змінних: 
. Як складено функцію, думаю, всім інтуїтивно зрозуміло.
Значення 4,9973 близько до «п'ятірки», тому: , .
Значення 0,9919 близько до «одиниці», отже, вважаємо: , .
Обчислимо значення функції в точці:
Диференціал у точці знайдемо за формулою:
Для цього обчислимо приватні похідні першого порядку в точці.
Похідні тут не найпростіші, і слід бути обережним: 
;
.
Повний диференціал у точці:
Таким чином, наближене значення даного виразу:
Обчислимо більш точне значення за допомогою мікрокалькулятора: 2,998899527
Знайдемо відносну похибку обчислень:
Відповідь: , 
Саме ілюстрація вищесказаному, у розглянутому завданні збільшення аргументів дуже малі, і похибка вийшла фантастично мізерною.
Приклад 11
За допомогою повного диференціала функції двох змінних обчислити приблизно значення даного виразу. Обчислити цей вираз за допомогою мікрокалькулятора. Оцінити у відсотках відносну похибку обчислень. 
Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.
Як уже зазначалося, найбільш приватний гість у даному типі завдань - це якесь коріння. Але іноді зустрічаються й інші функції. І останній простий приклад для релаксації:
Приклад 12
За допомогою повного диференціалу функції двох змінних обчислити наближено значення функції, якщо 
Рішення ближче до дна сторінки. Ще раз зверніть увагу на формулювання завдань уроку, в різних прикладах практично формулювання можуть бути різними, але це принципово не змінює суті та алгоритму рішення.
Якщо чесно, трохи стомився, оскільки матеріал був нудний. Непедагогічно це було говорити на початку статті, але зараз уже можна =) Дійсно, завдання обчислювальної математики зазвичай не дуже складні, не дуже цікаві, найважливіше, мабуть, не припуститися помилки у звичайних розрахунках.
Нехай не зітруться клавіші вашого калькулятора!
Рішення та відповіді:
Приклад 2:
Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,
Таким чином: 
Відповідь:
Приклад 4:
Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: 
, ,
Таким чином:
Обчислимо більш точне значення функції за допомогою мікрокалькулятора:
Абсолютна похибка:
Відносна погрішність:
Відповідь: 
абсолютна похибка обчислень, відносна похибка обчислень
Приклад 5:
Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , ,
Таким чином:
Відповідь: 
Приклад 7:
Рішення:Використовуємо формулу:
В даному випадку: , , 
Вимірювання називаються прямими,якщо значення величин визначаються приладами безпосередньо (наприклад, вимірювання довжини лінійкою, визначення часу секундоміром тощо). Вимірювання називаються непрямимиякщо значення вимірюваної величини визначається за допомогою прямих вимірювань інших величин, які пов'язані з вимірюваною певною залежністю.
Випадкові похибки при прямих вимірах
Абсолютна та відносна похибка.Нехай проведено Nвимірювань однієї і тієї ж величини xбез систематичної похибки. Окремі результати вимірювань мають вигляд: x 1 ,x 2 , …,x N. Як найкраще вибирається середнє значення виміряної величини:
Абсолютною похибкоюодиничного виміру називається різниця виду:
.
Середнє значення абсолютної похибки Nодиничних вимірів:
(2)
називається середньою абсолютною похибкою.
Відносною похибкоюназивається відношення середньої абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини:
.
(3)
Приладові похибки при прямих вимірах
Якщо немає особливих вказівок, похибка приладу дорівнює половині ціни розподілу (лінійка, мензурка).
Похибка приладів, забезпечених ноніусом, дорівнює ціні поділу ноніуса (мікрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Похибка табличних величин дорівнює половині одиниці останнього розряду (п'ять одиниць наступного порядку за останньою цифрою).
Похибка електровимірювальних приладів обчислюється згідно з класом точності З, вказаному на шкалі приладу:
Наприклад: 
і 
,
де U maxі I max- Межа вимірювання приладу.
Похибка приладів із цифровою індикацією дорівнює одиниці останнього розряду індикації.
Після оцінки випадкової та приладової похибок у розрахунок приймається та, значення якої більше.
Обчислення похибок при непрямих вимірах
Більшість вимірів є непрямими. У цьому випадку потрібна величина Х є функцією декількох змінних а,b, c… значення яких можна знайти прямими вимірами: Х = f( a, b, c…).
Середнє арифметичне результату непрямих вимірів дорівнюватиме:
X = f( a, b, c…).
Одним із способів обчислення похибки є спосіб диференціювання натурального логарифму функції Х = f( a,
b,
c…). Якщо, наприклад, потрібна величина Х визначається співвідношенням Х = 
, то після логарифмування отримуємо: lnX = ln a+ ln b+ ln ( c+
d).
Диференціал цього виразу має вигляд:
.
Стосовно обчислення наближених значень його можна записати для відносної похибки у вигляді:
=
.
(4)
Абсолютна похибка при цьому розраховується за такою формулою:
Х = Х(5)
Таким чином, розрахунок похибок та обчислення результату при непрямих вимірах виробляють у наступному порядку:
1) Проводять вимірювання всіх величин, що входять до вихідної формули для обчислення кінцевого результату.
2) Обчислюють середні арифметичні значення кожної вимірюваної величини та його абсолютні похибки.
3) Підставляють у вихідну формулу середні значення всіх виміряних величин та обчислюють середнє значення шуканої величини:
X = f( a, b, c…).
4) Логарифмують вихідну формулу Х = f( a, b, c...) і записують вираз відносної похибки у вигляді формули (4).
5) Розраховують відносну похибку = 
.
6) Розраховують абсолютну похибку результату за формулою (5).
7) Остаточний результат записують у вигляді:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютні та відносні похибки найпростіших функцій наведені в таблиці:
