Найменування розділів та тем		Об'єм годинника	Рівень освоєння
Тема 3.3. Рух небесних тіл під впливом сил тяжіння.	Закон всесвітнього тяготіння. Обурення у русі тіл Сонячної системи. Маса та щільність Землі. Визначення маси небесних тіл. Рух штучних супутників Землі та космічних апаратів до планет. Опис особливостей руху тіл Сонячної системи під впливом сил тяжіння по орбітах з різним ексцентриситетом. Пояснення причин виникнення припливів на Землі та збурень у русі тіл Сонячної системи. Розуміння особливості руху та маневрів космічних апаратів для дослідження тіл Сонячної системи.

3.3.1. Закон всесвітнього тяготіння.

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, вивченого в курсі фізики,

всі тіла у Всесвіті притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

де т 1і т 2- Маси тіл;r - Відстань між ними;G - гравітаційна стала.

Відкриття закону всесвітнього тяжіння багато в чому сприяли закони руху планет, сформульовані Кеплером, та інші досягнення астрономії XVII ст. Так, знання відстані до Місяця дозволило Ісааку Ньютону (1643-1727) довести тотожність сили, що утримує Місяць під час її руху навколо Землі, і сили, що викликає падіння тіл на Землю.

Адже якщо сила тяжіння змінюється обернено пропорційно квадрату відстані, як це випливає із закону всесвітнього тяжіння, то Місяць, що знаходиться від Землі на відстані приблизно 60 її радіусів, повинен відчувати прискорення в 3600 разів менше, ніж прискорення сили тяжіння на поверхні Землі, рівне 9 8 м/с. Отже, прискорення Місяця має становити 0,0027 м/с2.

У той же час Місяць, як будь-яке тіло, що рівномірно рухається по колу, має прискорення

де ω - її кутова швидкість,r - Радіус її орбіти. Якщо вважати, що радіус Землі дорівнює 6400 км, то радіус місячної орбіти становитимеr= 60 6400000 м = 3,84 10 6 м. Зірковий період звернення Місяця Т= 27,32 діб, в секундах становить 2,36 10 6 с. Тоді прискорення орбітального руху Місяця

Рівність цих двох величин прискорення доводить, що сила, яка утримує Місяць на орбіті, є сила земного тяжіння, ослаблена в 3600 разів у порівнянні з діючою на поверхні Землі.

Можна переконатися і в тому, що при русі планет, відповідно до третього закону Кеплера, їх прискорення і сила тяжіння Сонця, що діє на них, назад пропорційні квадрату відстані, як це випливає із закону всесвітнього тяжіння. Дійсно, згідно з третім законом Кеплера відношення кубів великих півосей орбіт.d та квадратів періодів обігу Tє величина постійна:

Прискорення планети одно

З третього закону Кеплера випливає

тому прискорення планети одно

Отже, сила взаємодії планет та Сонця задовольняє закон всесвітнього тяжіння.

3.3.2. Обурення у русі тіл Сонячної системи.

Закони Кеплера суворо виконуються, якщо розглядається рух двох ізольованих тіл (Сонце та планета) під дією їхнього взаємного тяжіння. Однак у Сонячній системі планет багато, всі вони взаємодіють не лише із Сонцем, а й між собою. Тому рух планет та інших тіл не точно підпорядковується законам Кеплера. Відхилення тіл від руху по еліпсах називають обуреннями.

Обурення ці невеликі, оскільки маса Сонця набагато більше за масу не тільки окремої планети, але і всіх планет в цілому. Найбільші обурення у русі тіл Сонячної системи викликає Юпітер, маса якого у 300 разів перевищує масу Землі. Особливо помітні відхилення астероїдів і комет під час їхнього проходження поблизу Юпітера.

В даний час обурення враховуються при обчисленні становища планет, їх супутників та інших тіл Сонячної системи, а також траєкторій космічних апаратів, які запускаються для дослідження. Але ще XIX в. розрахунок збурень дозволив зробити одне з найвідоміших у науці відкриттів «на кінчику пера» - відкриття планети Нептун.

Проводячи черговий огляд неба у пошуку невідомих об'єктів, Вільям Гершель 1781 р. відкрив планету, названу згодом Ураном. Приблизно через півстоліття стало очевидно, що рух Урану не узгоджується з розрахунковим навіть при обліку збурень з боку всіх відомих планет. На основі припущення про наявність ще однієї «зауранової» планети було зроблено обчислення її орбіти та положення на небі. Незалежно одне від одного це завдання вирішилиДжон Адамc в Англії та Урбен Левер'є у Франції. На основі розрахунків Левер'є німецький астроном Йоганн Галле 23 вересня 1846 р. виявив у сузір'ї Водолія невідому раніше планету - Нептун. Це відкриття стало тріумфом геліоцентричної системи, найважливішим підтвердженням справедливості закону всесвітнього тяжіння. Надалі в русі Урана і Нептуна було помічено обурення, які стали підставою для припущення про існування Сонячної системі ще однієї планети. Її пошуки увінчалися успіхом лише в 1930 р., коли після перегляду великої кількості фотографій зоряного неба було відкрито найдальшу від Сонця планету - Плутон.

3.3.3. Маса та щільність Землі.

Закон всесвітнього тяжіння дозволив визначити масу нашої планети. Виходячи із закону всесвітнього тяжіння, прискорення вільного падіння можна висловити так:

Підставимо у формулу відомі значення цих величин:

g = 9,8 м/с, G = 6,67 10 -11 H м 2 /кг 2 R = 6370 км - і отримаємо, що маса Землі М = 6 10 24 кг

Знаючи масу та об'єм земної кулі, можна обчислити її середню щільність: 5,5 10 3 кг/м 3 . З глибиною за рахунок збільшення тиску та утримання важких елементів густина зростає.

3.3.4. Визначення маси небесних тіл.

Більш точна формула третього закону Кеплера, отримана Ньютоном, дає можливість визначити одну з найважливіших характеристик будь-якого небесного тіла - масу. Виведемо цю формулу, вважаючи (у першому наближенні) орбіти планет круговими.

Нехай два тіла, що взаємно притягуються і звертаються навколо загального центру мас, що мають масиm 1 і m 2 , знаходяться від центру мас на відстаніr 1і r 2і звертаються навколо нього з періодом Т.Відстань між їхніми центрамиR= r 1 + r 2 . На підставі закону всесвітнього тяжіння прискорення кожного з цих тіл одно:

Кутова швидкість обігу навколо центру мас становить . Тоді доцентрове прискорення висловиться для кожного тіла так:

Прирівнявши отримані для прискорень вирази, висловивши їхr 1 і r 2 і склавши їх почленно, отримуємо:

звідки

Оскільки в правій частині цього виразу знаходяться лише постійні величини, воно справедливе для будь-якої системи двох тіл, що взаємодіють за законом тяжіння і звертаються навколо загального центру мас, - Сонце і планета, планета та супутник. Визначимо масу Сонця, для цього запишемо вираз:

де М- Маса Сонця;m 1 - Маса Землі; т 2- Маса Місяця;T 1іa 1 - період звернення Землі навколо Сонця (рік) та велика піввісь її орбіти; Т 2і а 2- період обігу Місяця навколо Землі та велика піввісь місячної орбіти.

Нехтуючи масою Землі, яка мізерно мала в порівнянні з масою Сонця, і масою Місяця, який у 81 раз менше маси Землі, отримаємо:

Підставивши у формулу відповідні значення та прийнявши масу Землі за 1, ми отримаємо, що Сонце приблизно в 333 000 разів за масою більше за нашу планету.

Маси планет, що не мають супутників, визначають за тими обуреннями, які вони надають на рух астероїдів, комет або космічних апаратів, що пролітають в околицях.

3.3.5. Причини виникнення припливів Землі

Під впливом взаємного тяжіння частинок тіло прагне набути форми кулі. Якщо ці тіла обертаються, вони деформуються, стискаються вздовж осі обертання.

Крім того, зміна їх форми відбувається і під дією взаємного тяжіння, яке викликають явища, які називаються припливами.Давно відомі Землі, вони отримали пояснення лише з урахуванням закону всесвітнього тяжіння.

Розглянемо прискорення, створювані тяжінням Місяця у різних точках земної кулі (рис. 3.13). Оскільки точки А, Взнаходяться на різних відстанях від Місяця, прискорення, створювані її тяжінням, будуть різні.

Різниця прискорень, викликаних тяжінням іншого тіла у цій точці й у центрі планети, називається приливним прискоренням.

Приливні прискорення у точках Аі Успрямовані від центру Землі. В результаті Земля, і в першу чергу, її водна оболонка, витягується в обидві сторони по лінії, що з'єднує центри Землі та Місяця. У точках Аі Успостерігається приплив, а вздовж кола, площина якого перпендикулярна до цієї лінії, на Землі відбувається відлив. Тяжіння Сонця також викликає припливи, але через більшу його віддаленість вони менші, ніж викликані Місяцем. Припливи спостерігаються у гідросфері, а й у атмосфері й у літосфері Землі та інших планет.

Внаслідок добового обертання Земля прагне захопити за собою приливні горби, в той же час внаслідок тяжіння Місяця, що обертається навколо Землі за місяць, смуга припливів повинна переміщатися земною поверхнею значно повільніше. Через війну між величезними масами води, що у приливних явищах, і дном океану виникає приливне тертя. Воно гальмує обертання Землі та викликає збільшення тривалості доби, яка в минулому була значно коротшою (5-6 год). Водночас припливи, що викликаються Землею на Місяці, загальмували її обертання, і вона тепер звернена до Землі однією стороною. Таке ж повільне обертання притаманно багатьох супутників Юпітера та інших планет. Сильні припливи, що викликаються на Меркурії і Венері Сонцем, мабуть, є причиною вкрай повільного обертання навколо осі.

3.3.6. Рух штучних супутників Землі та космічних апаратів до планет.

Можливість створення штучного супутника Землі теоретично обґрунтував ще Ньютон. Він показав, що існує така горизонтально спрямована швидкість при якій тіло, падаючи на Землю, проте на неї не впаде, а рухатиметься навколо Землі, залишаючись від неї на тій самій відстані. За такої швидкості тіло буде наближатися до Землі внаслідок її тяжіння якраз на стільки, наскільки через кривизну поверхні нашої планети воно віддалятиметься від неї (рис. 3.14). Цю швидкість, яку називають першою космічною (або круговою), відома вам із курсу фізики:

Практично здійснити запуск штучного супутника Землі виявилося можливо лише через два з половиною століття після відкриття Ньютона - 4 жовтня 1957 р. За сорок з лишком років, що минули з цього дня, який нерідко називають початком космічної ери людства, у багатьох країнах світу запущено близько 4000 супутників різного пристрою та призначення. Створено орбітальні станції, на яких тривалий час, змінюючи одна одну, працюють екіпажі, які складаються з космонавтів різних країн. Американські астронавти неодноразово відвідували Місяць, автоматичні міжпланетні станції досліджували всі планети Сонячної системи, за винятком найвіддаленішої планети Плутон.

Космічні апарати (КА), які прямують до Місяця і планет, зазнають тяжіння з боку Сонця і згідно з законами Кеплера так само, як і самі планети, рухаються еліпсами. Швидкість руху Землі орбітою становить близько 30 км/с. Якщо геометрична сума швидкості космічного апарату, яку йому повідомили при запуску, і швидкості Землі буде більшою за цю величину, то КА рухатиметься по орбіті, що лежить за межами земної орбіти. Якщо менше – усередині її. У першому випадку, коли він полетить до Марса або іншої зовнішньої планети, енергетичні витрати будуть найменшими, якщо КА досягне орбіти цієї планети при своєму максимальному віддаленні від Сонця в афелії (рис. 3.15). Крім того, необхідно розрахувати час старту КА, щоб до цього моменту в ту ж точку своєї орбіти прийшла планета. Інакше кажучи, початкова швидкість і день запуску КА повинні бути обрані таким чином, щоб КА та планета, рухаючись кожен по своїй орбіті, одночасно підійшли до точки зустрічі. У другому випадку – для внутрішньої планети – зустріч із КА має відбутися у перигелії його орбіти (рис. 3.16). Такі траєкторії польотів називаються напівеліптичні.Великі осі цих еліпсів проходять через Сонце, яке знаходиться в одному з фокусів, як і належить за першим законом Кеплера.

(Терміни гравітація та тяжіння рівнозначні).

Прискорення, яке відчуває тіло m 2 , що знаходиться на відстані rвід цього тіла m 1 , так само:
.
Ця величина не залежить від природи (складу) та маси тіла, що отримує прискорення. У цьому співвідношенні виражається експериментальний факт, відомий ще Галілаю, згідно до якого всі тіла падають у гравітат. поле Землі з прискоренням.

Ньютон встановив, що прискорення і сила обернено пропорційні, зіставивши прискорення тіл, що падають поблизу поверхні Землі, з прискоренням, з яким рухається Місяць по своїй орбіті. (Радіус Землі приблизна відстань до Місяця були на той час відомі.) Далі було показано, що із закону всесвітнього тяжіння випливають закони Кеплера, які були знайдені І. Кеплером шляхом обробки численних спостережень за рухами планет. Так з'явилася небесна механіка. Блискучим підтвердженням ньютонівської теорії Т. було передбачення існування планети за Ураном (англ. астроном Дж. Адамс, франц. астроном У. Левер'є, 1843-45 рр.) і відкриття цієї планети, яку назвали Нептун (нім. астроном І. Галле , 1846).

У ф-ли, що описують рух планет, входить твір Gі маси Сонця, воно відоме з великою точністю. Для визначення константи Gпотрібні лабораторні досліди щодо вимірювання сили гравітацій. взаємодії двох тіл із відомою масою. Перший такий досвід було поставлено англ. вченим Г. Кавендішем (1798). Знаючи G, вдається визначити абс. значення маси Сонця, Землі та ін. небесних тіл.

Закон тяжіння у формі (1) безпосередньо застосовується до точкових тіл. Можна показати, що він справедливий і для протяжних тіл зі сферично-симетричним розподілом маси, причому rє відстань між центрами симтерії тел. Для сферич. тіл, розташованих досить далеко один від одного, закон (1) справедливий приблизно.

У ході розвитку теорії Т. уявлення про безпосередню силову взаємодію тіл поступово поступилося місцем уявленню про поле. Гравітац. поле в теорії Ньютона характеризується потенціалом, де x,y,z- координати, t- Час, і навіть напруженістю поля , тобто.
.
Потенціал гравітації. поля, створюваного сукупністю мас, що покояться, не залежить від часу. Гравітац. потенціали дек. тіл задовольняють принципи суперпозиції, тобто. потенціал к.-л. точці їхнього загального поля дорівнює сумі потенціалів аналізованих тіл.

Передбачається, що гравітація. поле описується інерційної системі координат, тобто. в системі координат, щодо якої тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють ніякі сили. У гравітації. поле сила, що діє на частинку речовини, дорівнює добутку її маси на напруженість поля в місці знаходження частки: F=mg. Прискорення частки щодо інерційної системи координат (т.зв. абс. прискорення) є, очевидно, g.

Точкове тіло з масою dmстворює гравітації. потенціал
.
Суцільне середовище, розподілене у просторі із щільністю (може залежати і від часу), створює гравітація. потенціал, що дорівнює сумі потенціалів всіх елементів середовища. У цьому випадку напруженість поля виражається як векторна сума напруженостей, створюваних усіма частинками.

Гравітац. потенціал підпорядковується ур-нію Пуассона:
. (2)

Зрозуміло, що потенціал ізольованого сферично-симетричного тіла залежить лише від r. Поза таким тілом потенціал збігається з потенціалом точкового тіла, розташованого в центрі симетрії і має ту ж масу m. Якщо при r>R, то при r>R. Тим самим обґрунтовується наближення матеріальних точок у небесній механіці, де зазвичай мають справу з майже сферич. тілами, до того ж, досить далеко один від одного. Точне ур-ня Пуассноа з урахуванням реального, несиметричного розподілу мас використовується, наприклад, щодо будівництва Землі методами гравіметрії. Закон Т. у формі ур-ня Пуассона застосовується при теоретич. дослідженні будови зірок. У зірках сила Т., що змінюється від точки до точки, врівноважується градієнтом тиску; в зірках, що обертаються, до градієнта тиску додається відцентрова сила.

Зазначимо деякі важливі особливості класич. Теорія Т.
1) У ур-нии руху матеріального тіла - другий закон механіки Ньютона, ma=F(де F- діюча сила, a- придбання тілом прискорення), і в закон тяжіння Ньютона входить та сама характеристика тіла - його маса. Тим самим мається на увазі, що інертна маса тіла та його гравітації. маса рівні (докладніше див. у розділі 3).

2) Миттєве значення гравітації. потенціалу повністю визначається миттєвим розподілом мас у всьому просторі та граничними умовами для потенціалу на нескінченності. Для обмежених розподілів речовини приймають умову звернення до нуля на нескінченності (при ). Додавання до потенціалу постійного доданку порушує умову на нескінченності, але не змінює напруженість поля gі змінює ур-ния руху матеріальних тіл у цьому полі.

3) Перехід відповідно до перетворення Галілея ( x"=x-vt, t"=t) від однієї інерційної системи координат до іншої, що рухається щодо першої з постійною швидкістю v, не змінює ур-ня Пуассона і змінює ур-ния руху матеріальних тел. Інакше кажучи, механіка, включаючи ньютонівську теорію Т., інваріантна щодо перетворень Галілея.

4) Перехід від інерційної системи координат до прискорення рухомої з прискоренням a(t)(Без обертання) не змінює ур-ня Пуассона, але призводить до появи додаткового, не залежить від координат члена maв ур-нях руху. Точно такий же човн в ур-нях руху виникає, якщо в інерційній системі координат до гравітації. потенціалу додати доданок, що лінійно залежить від координат, , тобто. додати однорідне поле Т. Т.о., однорідне поле Т. може бути компенсовано в умовах прискореного руху.

2. Рух тіл під впливом сил тяжіння

Найважливішим завданням ньютонівської небесної механіки явл. завдання руху двох точкових матеріальних тіл, що взаємодіють гравітаційно. На її рішення, використовуючи закон тяжіння Ньютона, становлять ур-ния руху тел. Св-ва рішень цих ур-ний відомі з вичерпною повнотою. За відомим рішенням можна встановити, що деякі величини, що характеризують систему, залишаються постійними в часі. Їх називають інтегралами руху. основ. інтегралами руху (зберігаються величинами) явл. Енергія, імпульс, момент імпульсу системи. Для системи двох тіл повна механіч. енергія E, що дорівнює сумі кінетич. енергії ( T) та потенційної енергії ( U), зберігається:
E=T+U= Const ,
де Кінетіч. енергія двох тіл.

У класич. Небесної механіки потенційна енергія обумовлена ​​гравітаціями. взаємодією тел. Для пари тіл гравітаційна (потенційна) енергія дорівнює:
,
де – гравітац. потенціал, створюваний масою m 2 у точці знаходження маси m 1 а - потенціал, створюваний масою m 1 у точці знаходження маси m 2 . Нульовим значенням Uмають тіла, рознесені на нескінченно велику відстань. Оскільки при зближенні тіл їх кінетич. енергія збільшується, а потенційна енергія зменшується, отже, знак Uнегативний.

Для стаціонарних гравітуючих систем порівн. значення абс. величини гравітації. енергії вдвічі більше порівн. значення кінетич. енергії частинок, що становлять систему (див. ). Так, наприклад, для малої маси m, що обертається круговою орбітою навколо центрального тіла , умова рівності відцентрової сили mv 2 /rсилі тяжіння призводить до , тобто. кінетич. енергія, тоді як. Отже, U=-2Tі E=U+T=-T= const

У ньютонівській теорії Т. зміна положення частки миттєво призводить до зміни поля у всьому просторі (гравітація взаємодія здійснюється з нескінченною швидкістю). Інакше кажучи, в класич. теорії Т. поле служить цілям опису миттєвої взаємодії з відривом, воно має собст. ступенями свободи, не може поширюватися та випромінюватись. Зрозуміло, що таке уявлення про гравітації. поле справляє лише приблизно при досить повільних рухах джерел. Врахування кінцевої швидкості поширення гравітацій. взаємодії виробляється у релятивистській теорії Т. (див. нижче).

У нерелятивістській теорії Т. повна механічна енергія системи тіл (що включає енергію гравітаційної взаємодії) повинна залишатися незмінною нескінченно довго. Теорія Ньютона допускає систематич. зменшення цієї енергії лише за наявності диссипації, що з перетворенням частини енергії на теплоту, напр. за непружних зіткнень тел. Якщо тіла в'язкі, їх деформації і коливання під час руху в гравітац. поле також зменшують енергію системи тіл за рахунок перетворення енергії на теплоту.

3. Прискорення та тяжіння

Інертною масою тіла ( m i) називають величину, що характеризує його здатність набувати те чи інше прискорення під дією заданої сили. Інертна маса входить до другого закону механіки Ньютона. Гравітац. маса ( m g) характеризує здатність тіла створювати те чи інше поле Т. Гравітаці. маса входить у закон Т.

З дослідів Галілея з тією точністю, з якою вони були поставлені, випливало, що всі тіла падають з однаковим прискоренням, незалежно від їхньої природи та інертної маси. Це означає, що сила, з якою діє Земля на ці тіла, залежить тільки від їх інертної маси, причому сила пропорційна інертній масі тіла, що розглядається. Але за третім законом Ньютона тіло, що вивчається, діє на Землю точно з такою ж силою, з якою Земля діє на тіло. Отже, сила, що створюється падаючим тілом, залежить тільки від однієї з його характеристик - інертної маси - і пропорційна їй. У той самий час падаюче тіло діє Землю із силою, обумовленої гравітац. масою тіла. Т.о., для всіх тіл гравітації. маса пропорційна інертній. Вважаючи m iі m gпросто збігаються, знаходять з експериментів конкретне чисельне значення постійної G.

Пропорційність інертної та гравітації. мас у тіл різної природи була предметом дослідження в дослідах угор. фізика Р. Етвеша (1922), амер. фізика Р. Дікке (1964 р.) та радянського фізика В.Б. Брагінського (1971). Вона перевірена у лабораторії з високою точністю (з похибкою

Висока точність цих експериментів дозволяє оцінити вплив масу різних видів енергії зв'язку між частинками тіла (див. ). Пропорційність інертної та гравітації. мас означає, що фіз. взаємодії всередині тіла однаковим чином беруть участь у створенні його інертної та гравітації. мас.

Щодо системи координат, що рухається із прискоренням a, всі вільні тіла набувають однакового прискорення - a. Через рівність інертної та гравітації. мас всі вони набувають таке ж прискорення щодо інерційної системи координат під впливом гравітацій. поля з напруженістю g=-a. Саме тому можна сказати, що з погляду законів механіки однорідне гравітація. поле не відрізняється від поля прискорень. У неоднорідному гравітації. поле компенсація напруженості поля прискоренням відразу у всьому просторі неможлива. Однак напруженість поля може бути компенсована прискоренням спеціально підібраної системи координат вздовж усієї траєкторії тіла, що вільно рухається під дією сил Т. Така система координат зв. вільно падає. У ньому має місце явище невагомості.

Рух косміч. корабля (ИСЗ) у полі Т. Землі можна як рух падаючої системи координат. Прискорення космонавтів і всіх предметів на кораблі щодо Землі однаково і прискоренню вільного падіння, а щодо один одного практично дорівнює нулю, тому вони знаходяться в невагомості.

При вільному падінні у неоднорідному гравітації. полекомпенсація напруженості поля прискоренням може бути повсюдної, оскільки прискорення сусідніх вільно падаючих частинок зовсім однаково, тобто. частинки мають відносне прискорення. У косміч. кораблі відносні прискорення практично непомітні, оскільки по порядку величини вони становлять см/с 2 де r- відстань від корабля до центру Землі, - маса Землі, x- Розмір корабля. Цими прискореннями можна знехтувати та ситати гравітац. поле Землі на відстані rвід її центру однорідним в обсязі з характерним розміром x. У будь-якому заданому обсязі простору неоднорідність гравітації. поля може бути встановлена ​​спостереженнями досить високої точності, але при будь-якій заданій точності спостережень можна вказати обсяг простору, в якому поле буде виглядати однорідним.

Відносні прискорення проявляють себе, наприклад, Землі як океанських припливів. Сила, з якою Місяць притягує Землю, різна у різних точках Землі. Найближчі до Місяця частини водної поверхні притягуються сильніше, ніж центр тяжіння Землі, а він, у свою чергу, - сильніший, ніж найвіддаленіші частини світового океану. Уздовж лінії, що з'єднує Місяць і Землю, відносні прискорення спрямовані від центру Землі, а ортогональних напрямах - до центру. В результаті водна оболонка Землі деформується так, що вона витягується у вигляді еліпсоїда вздовж лінії Земля-Місяць. Через обертання Землі приливні горби двічі на добу прокочуються поверхнею океану. Аналогічна, але менша припливна деформація викликається неоднорідністю гравітації. поля Сонця.

А. Ейнштейн, виходячи з еквівалентності однорідних полів Т. та прискорених систем координат у механіці, припустив, що така еквівалентність поширюється взагалі на всі без винятку фіз. явища. Цей постулат називають принципом еквівалентності: всі фізичні процеси протікають абсолютно однаково (за однакових умов) в інерційній системі відліку, що знаходиться в однорідному гравітаційному полі, і в системі відліку, що поступається поступово з прискоренням за відсутності гравітацій. поля. Принцип еквівалентності відіграв важливу роль у побудові ейнштейнівської теорії Т.

4. Релятивістська механіка та теорія поля

Вивчення ел.-магн. явищ М. Фарадеєм та Д. Максвеллом у другій половині 19 ст. спричинило створення теорії ел.-магн. поля. Висновки цієї теорії були підтверджені експериментально. Ур-ния Максвелла неінваріантні щодо перетворень Галілея, але інваріантні щодо перетворень Лоренца, тобто. закони електромагнетизму однаково формулюються у всіх інерційних системах координат, пов'язаних з перетвореннями Лоренца.

Якщо інерційна система координат x", y", z", t"рухається щодо інерційної системи координат x, y, z, tз постійною швидкістю vу напрямку осі x, то перетворення Лоренца мають вигляд:
y"=y, z"=z, .
При малих швидкостях () та зневаженні членами ( v/c) 2 і vx/c 2 ці перетворення перетворюються на перетворення Галілея.

Логіч. аналіз протиріч, що виникали при зіставленні висновків теорії ел.-магн. явищ із класич. уявленнями про простір та час, призвів до побудови приватної (спеціальної) теорії відносності. Вирішальний крок було зроблено А. Ейнштейном (1905 р.), величезну роль її побудові зіграли праці нідерландського фізика Р. Лоренца і франц. математика А. Пуанкаре. Приватна теорія відносності вимагає перегляду класичних уявлень про простір та час. У класич. фізика проміжок часу між двома подіями (напр., між двома спалахами світла), а також поняття одночасності подій мають абсолютний сенс. Вони залежать від руху спостерігача. У приватній теорії відносності це не так: міркування про інтервали часу між подіями та про відрізки довжини залежать від руху спостерігача (пов'язаної з ним системи координат). Ці величини виявляються відносними приблизно тому ж сенсі, у якому відносними, залежними від розташування спостерігачів, явл. їх судження про вугілля, під яким вони бачать одну і ту ж пару предметів. Інваріантним, абсолютним, незалежно від системи координат, явл. лише 4-мірний інтервал dsміж подіями, що включає як проміжок часу dt, і елемент відстані між ними:
ds 2 =c 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2 . (3)
Перехід від однієї інерційної системи до іншої, що зберігає ds 2 незмінним, здійснюється саме відповідно до перетворення Лоренца.

Інваріантність ds 2 означає, що простір і час поєднуються в єдиний 4-мірний світ - простір-час. Вираз (3) можна записати також у вигляді:
, (4)
де індекси та пробігають значення 0, 1, 2, 3 і за ними проводиться підсумовування, x 0 =ct, x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z, , Інші величини дорівнюють нулю. Набір величин називають метричним тензором плоского простору-часу або світу Мінковського [в загальній теорії відносності (ОТО) було показано, що простір-час має кривизну, див. нижче].

У терміні " метрич тензор " слово " метричний " свідчить про роль цих величин щодо відстані і проміжків часу. У випадку метрич. тензор являє собою сукупність десяти функцій, що залежать від x 0 , x 1 , x 2 , x 3 у вибраній системі координат. Метрич. тензор (або просто метрика) дозволяє визначити відстань та проміжок часу між подіями, що віддаляються на .

Спец. теорія відносності встановлює граничну швидкість руху матеріальних тіл і взагалі поширення взаємодій. Ця швидкість збігається зі швидкістю світла у вакуумі. Разом зі зміною уявлень про простір та час спец. Теорія відносності уточнила поняття маси, імпульсу, сили. У релятивістської механіки, тобто. у механіці, інваріантній щодо перетворень Лоренца, інертна маса тіла залежить від швидкості: , де m 0 – тіла. Енергія тіла та його імпульс поєднуються у 4-компонентний вектор енергії-імпульсу. Для суцільного середовища можна запровадити щільність енергії, щільність імпульсу та щільність потоку імпульсу. Ці величини поєднуються в 10-компонентну величину - тензор енергії-імпульсу. Всі компоненти піддаються спільному перетворенню під час переходу від однієї системи координат до іншої. Релятивістська теорія ел.-магн. поля (електродинаміка) значно багатші за електростатику, справедливу лише в межі повільних рухів зарядів. В електродинаміці відбувається об'єднання електрич. та магнітного полів. Облік кінцевої швидкості поширення змін поля і запізнення передачі взаємодії призводить до поняття эл.-магн. хвиль, які несуть енергію з випромінюючої системи.

Аналогічно релятивістська теорія Т. виявилася складнішою за ньютонівську. Гравітац. поле тіла, що рухається має ряд св-в, подібних св-вам ел.-магн. поля зарядженого тіла, що рухається в електродинаміці. Гравітац. поле на великій відстані від тіл залежить від положення та руху тіл у минулому, оскільки гравітація. поле поширюється із кінцевою швидкістю. Стає можливим випромінювання та поширення гравітацій. хвиль (див.). Релятивістська теорія Т., як і можна було припускати, виявилася нелінійною.

5. Кривизна простору-часу у ВТО

Відповідно до принципу еквівалентності, жодними спостереженнями, використовуючи будь-які закони природи, не можна відрізнити прискорення, створюваного однорідним полем Т., від прискорення системи координат, що рухається. В однорідному гравітації. поле можна домогтися рівності нулю прискорення всіх частинок, поміщених у цю область простору, якщо розглядати їх у системі координат, що вільно падає разом з частинками. Таку систему координат представляють подумки у вигляді лабораторії з жорсткими стінками і годинником, що знаходиться в ній. Інакше справа в неоднорідному гравітації. поле, в якому сусідні вільні частинки мають відносні прискорення. Вони рухатимуться з прискоренням, хай і невеликим, щодо центру лабораторії (системи координат), і таку систему координат слід визнати лише локально інерційною. Вважати систему координат інерційною можна лише у тій області, де допустимо знехтувати відносними прискореннями частинок. Отже, у неоднорідному гравітації. поле лише в малій області простору-часу та з обмеженою точністю можна розглядати простір-час як плоский і користуватися ф-лою (3) для визначення інтервалу між подіями.

Неможливість запровадити інерційну систему координат у неоднорідному гравітації. поле робить всі мислимі системи координат більш менш рівноправними. Ур-ня гравітації. поля мають бути записані так, щоб вони були справедливі у всіх координатних системах, не віддаючи переваги к.-л. з них. Звідси й назва релятивістської теорії Т. - загальна теорія відносності.

Гравітац. поля, що складаються реальними тілами, такими як Сонце або Земля, завжди неоднорідні. Їх називають справжніми чи непереборними полями. У такому гравітації. поле ніяка локально-інерційна система координат не може бути поширена на весь простір-час. Це означає, що інтервал ds 2 не може бути приведений до виду (3) у всьому просторово-часовому континуумі, тобто 2000 р.; простір-час не може бути плоским. Ейнштейн прийшов до радикальної ідеї ототожнити неоднорідні гравітації. поля з кривизною простору-часу. З цих позицій гравітація. поле будь-якого тіла можна як спотворення цим тілом геометрії простору-часу.

Основи математич. апарату геометрії простору, що має кривизну (неевклідову геометрію), було закладено у працях Н.І. Лобачевського, угор. математика Я. Бойаї, нім. математиків К. Гаусса та Г. Рімана. У неевклідовій геометрії викривлений простір-час характеризується метрич. тензором, що входить у вираз для інваріантного інтервалу:
, (5)
окремим випадком цього виразу явл. ф-ла (4). Маючи набір ф-ций, можна вирішити питання існування таких координатних перетворень, к-рые перевели б (5) в (3), тобто. дозволили б перевірити, чи не є простір-час плоским. Шукані перетворення здійсненні тоді, і тільки тоді, коли деякий тензор, складений з ф-цій, квадратів їх перших похідних і других похідних, дорівнює нулю. Цей тензор називають тензором кривизни. У випадку він, природно, не дорівнює нулю.

Набір величин використовують для інваріантного, незалежно від вибору системи координат, описи геометрич. св-в викривленого простору-часу. З фіз. погляду тензор кривизни, висловлюючись через другі похідні від гравітації. потенціалів, описує приливні прискорення в неоднорідному гравітації. поле.

Тензор кривизни – величина розмірна, його розмірність – квадрат зворотної довжини. Кривизні в кожній точці простору-часу відповідають характерні довжини – радіуси кривизни. У малій просторово-часовій області, що оточує дану точку, викривлений простір-час не відрізняється від плоскої точністю до малих членів, де l- Характерний розмір області. У цьому сенсі кривизна світу має ті ж св-вами, що, скажімо, і кривизна земної кулі: у малих областях вона несуттєва. Тензор кривизни у цій точці не можна "знищити" жодними перетвореннями координат. Однак у певній системі координат і з наперед відомою точністю поле Т. у малій області простору-часу можна вважати відсутнім. У цій галузі всі закони фізики набувають тієї форми, яка узгоджується зі спец. теорією відносності. Так поводиться принцип еквівалентності, покладений основою теорії Т. за її побудові.

Метрич. тензор простору-часу, і зокрема кривизна світу, доступні експериментальному визначенню. Щоб довести кривизну земної кулі, треба мати маленький "ідеальний" масштаб і з його допомогою виміряти відстань між досить віддаленими точками поверхні. Зіставлення виміряних відстаней вкаже на відміну від реальної геометрії від евклідової. Подібним чином геометрія простору-часу може бути встановлена ​​шляхом вимірювань, що виконуються за допомогою "ідеальних" лінійок і годин. Природно припустити, за Ейнштейном, що св-ва невеликого " ідеального " атома залежить від того, яку точку світу він поміщений. Тому, зробивши, напр., Вимірювання зсуву частоти світла (визначивши гравітац. червоне зміщення), можна в принципі визначити метрич. тензор простору-часу та його кривизну.

6. Рівняння Ейштейна

Шляхом підсумовування тензора кривизни з метрич. тензором можна утворити симетричний тензор , Що має стільки ж компонентів, скільки і тензор енергії імпульсу матерії, яка служить джерелом гравітац. поля.

Ейнштейн припустив, що ур-ня гравітації повинні встановлювати зв'язок між і . Крім того, він врахував, що у гравітації. поле повинні виконуватися ур-ня безперервності для матерії аналогічно до того, як виконується ур-ня безперервності струму в електродинаміці. Такі ур-ня виконуються автоматично, якщо ур-ня гравітації. поля написати так:
. (6)
Це і є ур-ня Ейнштейна, отримані ним 1916 р. Ці ур-ня випливають також із варіац. принципу, який незалежно показав ньому. математик Д. Гільберт.

Ур-ня Ейнштейна виражають зв'язок між розподілом і рухом матерії, з одного боку, і геометричні. св-вами простору-часу - з іншого.

У ур-ниях (6) в лівій частині стоять компоненти тензора, що описує геометрію простору-часу, а в правій - компоненти тензора енергії-імпульсу, що описує фіз. св-ва речовини та полів (джерел гравітації. поля). Величини - не просто ф-ції, що описують гравітаційне поле, але водночас - компоненти метричного тензора простору-часу.

Ейнштейн писав, що більша частина його робіт (спец. теорія відносності, квантова природа світла) йшла в руслі актуальних проблем свого часу. Вони були б зроблені ін. вченими із запізненням не більше 2-3 років, якби ці роботи не зробив він сам.Для ВТО Ейнштейн робив виняток і писав, що релятивістська теорія Т., можливо, затрималася б на 50. Цей прогноз, по суті, виправдався, тому що саме в 60-х рр. 20 ст з'явилися нові загальні методи теорії поля і виник ін. підхід до нелінійної теорії Т., що виходить з поняття поля, заданого в плоскому просторі-часі, було показано, що такий шлях призводить до тих же ур-ням, до яких прийшов Ейнштейн на основі геометричних. інтерпретації Т.

Слід підкреслити, що саме в астрономії і космології зустрічаються питання, в яких брало геометрич. підхід явл. кращим. Як приклад можна вказати космологіч. теорію просторово-замкнутого Всесвіту, а також теорію . Тому теорія Ейнштейна, що спирається на геометричні. поняття, що повністю зберігає своє значення.

У геометричні. інтерпретація руху матеріальної точки в гравітації. поле є рухом по 4-мірної траєкторії - геодезич. лінії простору-часу. У світі, що має кривизну, геодезич. лінія узагальнює поняття прямої лінії в евклідовій геометрії. Ур-ня руху речовини, які у ур-ниях Ейнштейна, зводяться до ур-ниям геодезич. ліній для точкових тіл. Тіла (частки), які не можна вважати точковими, відхиляються у своєму русі від геодезич. ліній і зазнають дії приливних сил.

7. Слабкі гравітаційні поля та ефекти, що спостерігаються.

Поле Т. більшості астрономіч. об'єктів явл. слабким. Прикладом може бути гравітац. поле землі. Щоб тіло назавжди залишило Землю, треба надати біля Землі швидкість 11,2 км/с, тобто. швидкість, малу проти швидкістю світла. Іншими словами, гравітація. потенціал Землі малий проти квадратом швидкості світла, як і явл. критерієм слабкості гравітації. поля.

У наближенні слабкого поля з ур-ний ОТО випливають закони ньютонівської теорії тяжіння та механіки. Ефекти ОТО в таких умовах є лише незначними поправками.

Найпростішим ефектом, хоч і важким для спостережень, явл. уповільнення перебігу часу в гравітації. поле, або, у більш поширеному формулюванні, ефект зсуву частоти світла. Якщо світловий сигнал з частотою випущений у точці зі значенням гравітацій. потенціалу і прийнятий з частотою в точці зі значенням потенціалу (де є такий самий дослідник для порівняння частоти), то повинна виконуватися рівність . Ефект гравітації. усунення частоти світла був передбачений Ейнштейном ще в 1911 р. на підставі закону збереження енергії фотона в гравітації. поле. Він надійно встановлений у спектрах зірок, виміряний з точністю до 1% у лабораторії та з точністю до в умовах косміч. польоту. У найбільш точному експерименті використовувався воднево-мазерний стандарт частоти, який був встановлений на косміч. ракеті, що піднялася до висоти 10 тис. км. Інший такий самий стандарт був встановлений на Землі. Порівняння їх частот здійснювалося різних висотах. Результати підтвердили зміну частоти, що передбачається.

При проходженні поблизу тіла, що тяжіє, ел.-магн. сигнал зазнає релятивістської затримки в часі поширення. За своєю фіз. природі цей ефект подібний до попереднього. По радіоспостереження планет і особливо міжпланетних косміч. кораблів, ефект затримки збігається з розрахунковим значенням не більше 0,1% (див. ).

Найбільш важливим з погляду перевірки ОТО явл. поворот орбіти тіла, що обертається навколо центру, що тяжіє (його називають також ефектом зсуву перигелія). Цей ефект дозволяє виявити нелінійний характер релятивістського граївтац. поля. Відповідно до ньютонівської небесної механіки, рух планет навколо Сонця описується ур-ням еліпса: , де p=a(1-e 2) - параметр орбіти, a- велика піввісь, e- Ексцентриситет (див.). З урахуванням релятивістських поправок траєкторія має вигляд:
.
За кожен оберт планети навколо Сонця велика вісь її еліптич. орбіти повертається у бік руху на кут . Для Меркурія релятивістський кут повороту становить століття. Той факт, що кут повороту накопичується з плином часу, полегшує можливість спостереження цього ефекту. За один оборот кут повороту великої осі орбіти настільки незначний ~ 0,1", що його виявлення суттєво ускладнюється викривленням променів світла в межах Сонячної системи. Проте совр. радіолокаційні дані підтверджують релятивістський ефект зсуву перигелія Меркурія з точністю 1%.

Перелічені ефекти зв. класичними. Можлива перевірка та інших передбачень ОТО (напр., прецесії осі гіроскопа) у слабкому гравітації. поле Сонячної системи. Релятивістські ефекти використовуються як перевірки теорії, а й уточнення астрофизических параметрів, напр., визначення маси компонентів подвійних зірок. Так, у подвійній системі, що включає пульсар PSR 1913+16, спостерігається ефект зсуву перигелію, що дозволило визначити сумарну масу компонентів системи з точністю 1%.

8. Тяжіння та квантова фізика

Рівняння Ейнштейна включають класичне гравітація. поле, що характеризується компонентами метрич. тензора, і ензор енергії-імпульсу матерії. Для опису руху тяжіючих тіл квантова природа матерії, як правило, не є важливою. Це відбувається тому, що зазвичай мають справу з гравітаціями. взаємодією макроскопіч. тіл, що складаються з величезної кількості атомів і молекул. Квантовомеханічний опис руху таких тіл практично не відрізняється від класичного. Наука поки що не має експериментальних даних про гравітації. взаємодії в умовах, коли стають суттєвими квантові св-ва частинок, що взаємодіють з гравітаціями. полем, і квантові св-ва самого гравітації. поля.

Квантові процеси за участю гравітації. поля є важливими в космосі (див. , ) і, можливо, стануть доступними вивченню також в лабораторних умовах. Об'єднання теорії Т. з квантовою теорією - одне з найважливіших завдань фізики, до вирішення якої вже приступили.

У звичайних умовах вплив гравітації. поля на квантові системи дуже мало. Щоб збудити атом зовніш. гравітації. полем, відносне прискорення, створюване гравітації. полем з відривом " радіусу атома водню " див і рівне , мало б бути порівняно з прискоренням, з к-рым рухається електрон в атомі, . (Тут - радіус кривизни гравітації. поля Землі, рівний: див.) У гравітації. поле Землі із запасом 10 19 це співвідношення не виконується, отже атоми в земних умовах під дією гравітації не збуджуються і не відчувають зрушень енергетич. рівнів.

Проте в деяких умовах можливість переходів у квантовій системі під впливом гравітац. поля можуть бути помітними. Саме на цьому принципі засновані деякі совр. припущення щодо детектування гравітацій. хвиль.

У спеціально створених (макроскопічних) квантових системах перехід між сусідніми квантовими рівнями може статися навіть під впливом слабкого змінного поля гравітацій. хвилі. Прикладом такої системи може бути ел.-магн. поле в порожнині з стінами, що добре відбивають. Якщо спочатку в системі було Nквантів поля (фотонів) (), то під впливом гравітацій. хвилі їх число з помітною ймовірністю може змінитися і стати рівним N+2 або N-2. Інакше кажучи, можливі переходи сенергетич. рівня , і вони в принципі доступні для виявлення.

Особливо важливою є роль інтенсивних гравітацій. полів. Такі поля, ймовірно, існували на початку розширення Всесвіту, поблизу космологічних. сингулярності та можуть виникати на пізніх стадіях гравітацій. колапсу. Висока інтенсивність цих полів проявляється в тому, що вони здатні проводити до ефектів, що спостерігаються (народженню пар частинок) навіть у відсутність атомів, реальних частинок або фотонів. Ці поля надають ефективний вплив на фіз. вакуум – фіз. поля у нижчому енергетичному стані. У вакуумі завдяки флуктуаціям квантованих полів постійно виникають і зникають т.зв. віртуальні частки, що реально не спостерігаються. Якщо інтенсивність зовніш. гравітації. поля настільки велика, що у відстанях, притаманних квантових полів і частинок, воно здатне виконувати роботу, що перевищує енергію пари частинок, то результаті може статися народження пари частинок - перетворення їх із віртуальної пари на реальну. Необхідною умовою цього процесу має бути порівнянність характерного радіусу кривизни, що описує інтенсивність гравітації. поля, з комптонівською довжиною хвилі , що зіставляється частинкам з масою спокою m. Аналогічна умова повинна виконуватися для безмасових частинок для того, щоб був можливий процес народження пари квантів з енергією. У вищезгаданому прикладі порожнини, що містить ел.-магн. поле, цей процес аналогічний переходу з ймовірністю, порівнянною з одиницею, з вакуумного стану N=0 в стан, що описує два кванти, N=2. У звичайних гравітаціях. полях ймовірність таких процесів мізерно мала. Однак у космосі вони могли призводити до народження частинок у дуже ранньому Всесвіті, а також до т.зв. квантового "випаровування" чорних дірок малої маси (згідно) робіт англ. вченого С. Хокінга).

Інтенсивні гравітації. поля, здатні суттєво впливати на нульову флуктуацію ін. фіз. полів повинні так само ефективно впливати і на власні нульові флуктуації. Якщо можливий народження квантів фіз. полів, то з тією ж ймовірністю (а в деяких випадках з ще більшою ймовірністю) повинен бути можливий процес народження квантів самого гравітації. поля - гравіони. Суворий та вичерпний розгляд таких процесів можливий лише на основі квантової теорії Т. Така теорія ще не створена. Застосування до гравітації. полю тих же ідей і методів, які призвели до успішного побудови квантової електродинаміки, наштовхується на серйозні труднощі. Зараз ще не ясно, якими шляхами піде розвиток квантової теорії Т. Безсумнівно одне - найважливішим способом перевірки таких теорій буде пошук явищ, що передбачаються теорією в космосі.

Рух тіла під впливом сили тяжіння є одним із центральних тем у динамічній фізиці. Про те, що розділ динаміки базується на трьох, знає навіть звичайний школяр. Давайте постараємося розібрати цю тему досконало, а стаття, яка докладно описує кожен приклад, допоможе нам зробити вивчення руху тіла під дією сили тяжіння максимально корисним.

Трохи історії

Люди з цікавістю спостерігали за різними явищами, що відбуваються у нашому житті. Людство довгий час не могло зрозуміти принципи та влаштування багатьох систем, проте тривалий шлях вивчення навколишнього світу привів наших предків до наукового перевороту. У наші дні, коли технології розвиваються з неймовірною швидкістю, люди майже не замислюються над тим, яким чином працюють ті чи інші механізми.

А тим часом наші предки завжди цікавилися загадками природних процесів та устроєм світу, шукали відповіді на найскладніші питання і не переставали вивчати, доки не знаходили на них відповіді. Так, наприклад, відомий вчений Галілео Галілей ще в 16 столітті запитав: "Чому тіла завжди падають вниз, яка ж сила притягує їх до землі?" У 1589 році він поставив низку дослідів, результати яких виявилися дуже цінними. Він детально вивчав закономірності вільного падіння різних тіл, скидаючи предмети зі знаменитої вежі у місті Пізі. Закони, які він вивів, були покращені та детальніше описані формулами ще одним відомим англійським ученим - сером Ісааком Ньютоном. Саме йому належать три закони, на яких ґрунтується практично вся сучасна фізика.

Той факт, що закономірності руху тіл, описані понад 500 років тому, актуальні й донині, означає, що наша планета підпорядковується постійним законам. Сучасній людині необхідно хоча б поверхово вивчити основні засади облаштування світу.

Основні та допоміжні поняття динаміки

Щоб повністю зрозуміти принципи такого руху, слід спочатку ознайомитися з деякими поняттями. Отже, найнеобхідніші теоретичні терміни:

• Взаємодія - це вплив тіл один на одного, при якому відбувається зміна або початок їхнього руху щодо один одного. Розрізняють чотири види взаємодії: електромагнітне, слабке, сильне та гравітаційне.
• Швидкість - це фізична величина, що означає швидкість, з якою рухається тіло. Швидкість є вектором, тобто має значення, а й напрям.
• Прискорення - та величина, яка показує нам швидкість зміни швидкості тіла у проміжок часу. Вона також є
• Траєкторія шляху - це крива, інколи ж - пряма лінія, яку окреслює тіло під час руху. При рівномірному прямолінійному русі траєкторія може збігатися зі значенням переміщення.
• Шлях – це довжина траєкторії, тобто рівно стільки, скільки пройшло тіло за певну кількість часу.
• Інерційна система відліку – це середовище, в якому виконується перший закон Ньютона, тобто тіло зберігає свою інерцію, за умови, що повністю відсутні всі зовнішні сили.

Вищезгаданих понять цілком достатньо для того, щоб грамотно накреслити або уявити в голові моделювання руху тіла під дією сили тяжіння.

Що означає сила?

Давайте перейдемо до основного поняття нашої теми. Отже, сила - це величина, сенс якої полягає у вплив чи вплив одного тіла на інше кількісно. А сила тяжіння - це та сила, яка діє абсолютно на кожне тіло, що знаходиться на поверхні або поблизу нашої планети. Виникає питання: звідки ж береться ця сила? Відповідь полягає у законі всесвітнього тяжіння.

А що таке сила тяжіння?

На будь-яке тіло з боку Землі впливає гравітаційна сила, яка повідомляє йому про прискорення. Сила тяжіння завжди має вертикальний напрямок до центру планети. Інакше висловлюючись, сила тяжкості притягує предмети Землі, ось чому предмети завжди падають вниз. Виходить, що сила тяжіння – це окремий випадок сили всесвітнього тяжіння. Ньютон вивів одну з головних формул для знаходження сили тяжіння між двома тілами. Виглядає вона так: F = G * (m 1 х m 2) / R 2 .

Чому дорівнює прискорення вільного падіння?

Тіло, яке відпустили з певної висоти, завжди летить униз під дією сили тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння вертикально вгору і вниз можна описати рівняннями, де основною константою буде значення прискорення "g". Ця величина обумовлена ​​виключно дією сили тяжіння і її значення приблизно дорівнює 9,8 м/с 2 . Виходить, що тіло, кинуте з висоти без початкової швидкості, рухатиметься вниз із прискоренням рівним значенню "g".

Рух тіла під дією сили тяжіння: формули для розв'язання задач

Основна формула знаходження сили тяжіння виглядає так: F тяжкості = m х g, де m - це маса тіла, на яке діє сила, а "g" - прискорення вільного падіння (для спрощення завдань його прийнято вважати рівним 10 м/с 2) .

Є ще кілька формул, що використовуються для знаходження того чи іншого невідомого під час вільного руху тіла. Так, наприклад, для того, щоб обчислити пройдений тілом шлях, необхідно підставити відомі значення в цю формулу: S = V 0 х t + a х t 2 / 2 (шлях дорівнює сумі творів початкової швидкості помноженої на час і прискорення на квадрат часу, поділеної на 2).

Рівняння для опису вертикального руху тіла

Рух тіла під дією сили тяжіння по вертикалі можна описати рівнянням, яке має такий вигляд: x = x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Використовуючи даний вираз, можна знайти координати тіла у відомий момент часу. Необхідно просто підставити відомі в задачі величини: початкове місце розташування, початкову швидкість (якщо тіло не просто відпустили, а штовхнули з деякою силою) і прискорення, у нашому випадку воно дорівнюватиме прискоренню g.

Так само можна знайти і швидкість тіла, що рухається під дією сили тяжіння. Вираз для знаходження невідомої величини в будь-який момент часу: v = v 0 + g х t (значення початкової швидкості може дорівнювати нулю, тоді швидкість дорівнюватиме добутку прискорення вільного падіння на значення часу, за яке тіло здійснює рух).

Рух тіл під дією сили тяжіння: завдання та способи їх вирішення

При вирішенні багатьох завдань, пов'язаних із силою тяжіння, рекомендуємо скористатися наступним планом:

1. Визначити собі зручну інерційну систему відліку, зазвичай прийнято вибирати Землю, оскільки вона відповідає багатьом вимогам до ИСО.
2. Намалювати невеликий малюнок або малюнок, на якому зображені основні сили, що діють на тіло. Рух тіла під впливом сили тяжкості має на увазі малюнок чи схему, де зазначено, у якому напрямі рухається тіло, якщо нього діє прискорення, рівне g.
3. Потім слід вибрати напрямок для проектування сил та отриманих прискорень.
4. Записати невідомі величини та визначити їх напрямок.
5. І нарешті, використовуючи зазначені вище формули для вирішення завдань, обчислити всі невідомі величини, підставивши дані рівняння для знаходження прискорення або пройденого шляху.

Готове вирішення легкого завдання

Коли йдеться про таке явище, як рух тіла під дією того, яким способом практичніше вирішувати поставлене завдання, може бути скрутним. Однак є кілька хитрощів, використовуючи які, можна легко вирішити навіть найскладніше завдання. Отже, розберемо на живих прикладах, як слід вирішувати те чи інше завдання. Почнемо з легкої розуміння завдання.

Деяке тіло відпустили з висоти 20 м-коду без початкової швидкості. Визначити, скільки часу воно досягне поверхні землі.

Рішення: нам відомий шлях, пройдений тілом, відомо, що початкова швидкість дорівнювала 0. Також можемо визначити, що на тіло діє тільки сила тяжіння, виходить, що це рух тіла під дією сили тяжіння, і тому слід скористатися цією формулою: S = V 0 х t + a х t 2/2. Так як у нашому випадку a = g, то після деяких перетворень отримуємо наступне рівняння: S = g х t 2/2. Тепер залишилося лише виразити час через цю формулу, одержуємо, що t 2 = 2S/g. Підставимо відомі величини (при цьому вважаємо, що g = 10 м/с 2) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Отже, t = 2 с.

Отже, наша відповідь: тіло впаде на землю за 2 секунди.

Трюк, що дозволяє швидко розв'язати задачу, полягає в наступному: можна помітити, що описаний рух тіла в наведеній задачі відбувається в одному напрямку (вертикально вниз). Воно дуже схоже з рівноприскореним рухом, тому що на тіло не діє жодна сила, крім сили тяжіння (силою опору повітря нехтуємо). Завдяки цьому можна скористатися легкою формулою для знаходження шляху при рівноприскореному русі, минаючи зображення креслень з розстановкою сил, що діють на тіло.

Приклад вирішення складнішого завдання

А тепер давайте подивимося, як краще вирішувати завдання на рух тіла під дією сили тяжіння, якщо тіло рухається не вертикально, а має складніший характер переміщення.

Наприклад, таке завдання. Деякий предмет масою m рухається з невідомим прискоренням вниз по похилій площині, коефіцієнт тертя якої дорівнює k. Визначити значення прискорення, яке є під час руху даного тіла, якщо кут нахилу α відомий.

Рішення: Слід скористатися планом, описаним вище. В першу чергу накреслити малюнок похилої площини із зображенням тіла і всіх сил, що на нього діють. Вийде, що на нього діють три складові: сила тяжіння, тертя та сила реакції опори. Виглядає загальне рівняння рівнодіючих сил так: F тертя + N + mg = ma.

Головною особливістю завдання є умова схильності під кутом α. При ox і вісь oy необхідно врахувати цю умову, тоді в нас вийде наступне вираз: mg х sin α - F тертя = ma (для осі ох) і N - mg х cos α = F тертя (для осі oy).

F тертя легко обчислити за формулою знаходження сили тертя, вона дорівнює k х mg (коефіцієнт тертя, помножений на добуток маси тіла та прискорення вільного падіння). Після всіх обчислень залишається тільки підставити знайдені значення формулу, вийде спрощене рівняння для обчислення прискорення, з яким рухається тіло вздовж похилої площини.

Чому випущений із рук камінь падає на Землю? Тому що його притягує Земля, скаже кожен із вас. Насправді камінь падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Отже, на камінь із боку Землі діє сила, спрямовану Землі.

Згідно з третім законом Ньютона і камінь діє на Землю з такою ж за модулем силою, спрямованою до каменю. Іншими словами, між Землею та каменем діють сили взаємного тяжіння.

Здогад Ньютона

Ньютон був першим, хто спочатку здогадався, а потім і суворо довів, що причина, що викликає падіння каменю на Землю, рух Місяця навколо Землі та планет навколо Сонця, одна й та сама. Це сила тяжіння, що діє між будь-якими тілами Всесвіту. Ось перебіг його міркувань, наведених у головному праці Ньютона «Математичні засади натуральної філософії»: «Покинутий горизонтально камінь відхилиться під впливом тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті Землю. Якщо його кинути з більшою швидкістю, він впаде далі» (рис. 3.2). Продовжуючи ці міркування, Ньютон приходить до висновку, що якби не опір повітря, то траєкторія каменю, кинутого з високої гори з певною швидкістю, могла б стати такою, що він взагалі ніколи не досяг би поверхні Землі, а рухався навколо неї «подібно до того , як планети описують у небесному просторі свої орбіти».

Мал. 3.2

Зараз нам став настільки звичним рух супутників навколо Землі, що пояснювати думку Ньютона докладніше не потрібно.

Отже, на думку Ньютона, рух Місяця навколо Землі або планет навколо Сонця - це теж вільне падіння, але лише падіння, яке триває, не припиняючись, мільярди років. Причиною такого «падіння» (чи йдеться дійсно про падіння звичайного каменю на Землю або рух планет по їх орбітах) є сила всесвітнього тяжіння. Від чого ця сила залежить?

Залежність сили тяжіння від маси тіл

У § 1.23 йшлося про вільне падіння тел. Згадувалися досліди Галілея, які довели, що Земля повідомляє всім тілам у цьому місці те саме прискорення незалежно від своїх маси. Це можливо лише в тому випадку, якщо сила тяжіння Землі прямо пропорційна масі тіла. Саме в цьому випадку прискорення вільного падіння, що дорівнює відношенню сили земного тяжіння до маси тіла, є постійною величиною.

Справді, у разі збільшення маси m, наприклад, удвічі призведе до збільшення модуля сили теж удвічі, а прискорення, яке дорівнює відношенню , залишиться незмінним.

Узагальнюючи цей висновок для сил тяжіння між будь-якими тілами, робимо висновок, що сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна масі тіла, на яке ця сила діє. Але у взаємному тяжінні беруть участь щонайменше два тіла. На кожне з них, згідно з третім законом Ньютона, діють однакові за модулем сили тяжіння. Тому кожна з цих сил має бути пропорційна як масі одного тіла, так і масі іншого тіла.

Тому сила всесвітнього тяжіння між двома тілами прямо пропорційна добутку їх мас:

Від чого залежить сила тяжіння, що діє на дане тіло з боку іншого тіла?

Залежність сили тяжіння від відстані між тілами

Можна припустити, що сила тяжіння має залежати від відстані тіла. Щоб перевірити правильність цього припущення та знайти залежність сили тяжіння від відстані між тілами, Ньютон звернувся до руху супутника Землі – Місяця. Її рух був у ті часи вивчений набагато точніше, ніж рух планет.

Звернення Місяця навколо Землі відбувається під впливом сили тяжіння з-поміж них. Приблизно орбіту Місяця вважатимуться окружністю. Отже, Земля повідомляє Місяцю доцентрове прискорення. Воно обчислюється за формулою

де R - радіус місячної орбіти, що дорівнює приблизно 60 радіусам Землі, Т = 27 діб 7 год 43 хв = 2,4 10 6 с - період обігу Місяця навколо Землі. Враховуючи, що радіус Землі R 3 = 6,4 10 6 м, отримаємо, що доцентрове прискорення Місяця дорівнює:

Знайдене значення прискорення менше прискорення вільного падіння тіл біля Землі (9,8 м/с 2) приблизно 3600 = 60 2 раз.

Таким чином, збільшення відстані між тілом і Землею у 60 разів призвело до зменшення прискорення, що повідомляється земним тяжінням, а отже, і самої сили тяжіння у 60 2 разів (1).

Звідси випливає важливий висновок: прискорення, яке повідомляє тілам сила тяжіння до Землі, зменшується пропорційно квадрату відстані до центру Землі:

де C 1 - постійний коефіцієнт, однаковий всім тел.

Закони Кеплера

Дослідження руху планет показало, що цей рух викликаний силою тяжіння до Сонця. Використовуючи ретельні багаторічні спостереження датського астронома Тихо Браге, німецький вчений Йоган Кеплер на початку XVII ст. встановив кінематичні закони руху планет – звані закони Кеплера.

Перший закон Кеплера

Всі планети рухаються еліпсами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

Еліпсом (рис. 3.3) називається плоска замкнута крива, сума відстаней від будь-якої точки якої до двох фіксованих точок, званих фокусами, постійна. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі АВ еліпса, тобто.

де F 1 і F 2 – фокуси еліпса, а b = – його велика піввісь; О – центр еліпса. Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка – афелієм. Якщо Сонце знаходиться у фокусі F 1 (див. рис. 3.3), то точка А – перигелій, а точка В – афелій.

Мал. 3.3

Другий закон Кеплера

Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі. Так, якщо заштриховані сектори (рис. 3.4) мають однакові площі, то шляхи s 1 , s 2 , s 3 будуть пройдені планетою за рівні проміжки часу. З малюнка видно, що s1 > s2. Отже, лінійна швидкість руху планети у різних точках її орбіти неоднакова. У перигелії швидкість планети найбільша, афелії - найменша.

Мал. 3.4

Третій закон Кеплера

Квадрати періодів обігу планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їх орбіт.. Позначивши велику піввісь орбіти і період звернення однієї з планет через b 1 і T 1 а інший через b 2 і Т 2 , третій закон Кеплера можна записати так:

На підставі законів Кеплера можна зробити певні висновки про прискорення, які повідомляють планети Сонцем. Ми для простоти вважатимемо орбіти не еліптичними, а круговими. Для планет Сонячної системи ця заміна не є надто грубим наближенням.

Тоді сила тяжіння з боку Сонця у цьому наближенні має бути спрямована всім планет до центру Сонця.

Якщо через Т позначити періоди звернення планет, а через R – радіуси їх орбіт, то, згідно з третім законом Кеплера, для двох планет можна записати

Нормальне прискорення під час руху по колу а = ω 2 R. Тому відношення прискорень планет

Використовуючи рівняння (3.2.4), отримаємо

Оскільки третій закон Кеплера справедливий всім планет, то прискорення кожної планети назад пропорційно квадрату відстані її до Сонця:

Постійна 2 однакова для всіх планет, але не збігається з постійною 1 у формулі для прискорення, що повідомляється тілам земною кулею.

Вирази (3.2.2) і (3.2.6) показують, що сила тяжіння в обох випадках (притягнення до Землі та притягнення до Сонця) повідомляє всім тілам прискорення, що не залежить від їхньої маси і спадне пропорційно квадрату відстані між ними:

Закон всесвітнього тяготіння

Існування залежностей (3.2.1) та (3.2.7) означає, що сила всесвітнього тяжіння

У 1667 р. Ньютон остаточно сформулював закон всесвітнього тяжіння:

Сила взаємного тяжіння двох тіл прямо пропорційна добутку мас цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційною(2) постійною.

Взаємодія точкових та протяжних тіл

Закон всесвітнього тяжіння (3.2.8) справедливий лише для таких тіл, розміри яких зневажливо малі порівняно з відстанню між ними. Інакше висловлюючись, він справедливий лише матеріальних точок. При цьому сили гравітаційної взаємодії спрямовані вздовж лінії, яка з'єднує ці точки (рис. 3.5). Такі сили називаються центральними.

Мал. 3.5

Для знаходження сили тяжіння, що діє дане тіло з боку іншого, у разі, коли розмірами тіл знехтувати не можна, надходять таким чином. Обидва тіла подумки поділяють настільки малі елементи, щоб кожен із новачків можна було вважати точковим. Складаючи сили тяжіння, що діють на кожен елемент даного тіла з боку всіх елементів іншого тіла, набувають чинності, що діє на цей елемент (рис. 3.6). Виконавши таку операцію для кожного елемента даного тіла і склавши отримані сили, знаходять повну силу тяжіння, що діє на це тіло. Завдання це складне.

Мал. 3.6

Є, однак, практично важливий випадок, коли формула (3.2.8) застосовна до протяжних тіл. Можна довести, що сферичні тіла, щільність яких залежить лише від відстаней до їхніх центрів, при відстанях між ними, більших сум їх радіусів, притягуються з силами, модулі яких визначаються формулою (3.2.8). У цьому випадку R – це відстань між центрами куль.

І, нарешті, оскільки розміри падаючих Землю тіл набагато менше розмірів Землі, ці тіла можна як точкові. Тоді під R у формулі (3.2.8) слід розуміти відстань від тіла до центру Землі.

Запитання для самоперевірки

1. Відстань від Марса до Сонця на 52% більша за відстань від Землі до Сонця. Яка тривалість року на Марсі?
2. Як зміниться сила тяжіння між кулями, якщо алюмінієві кулі (рис. 3.7) замінити сталевими кулями тієї самої маси? того ж обсягу?

Мал. 3.7

(1) Цікаво, що, будучи студентом, Ньютон зрозумів, що Місяць рухається під впливом тяжіння Землі. Але на той час радіус Землі був відомий неточно, і розрахунки не привели до правильного результату. Лише через 16 років з'явилися нові, виправлені дані і закон всесвітнього тяжіння був опублікований.

(2) Від латинського слова gravitas – тяжкість.

ВИЗНАЧЕННЯ

Закон всесвітнього тяжіння відкрив І. Ньютоном:

Два тіла притягуються один до одного з прямо пропорційною добутку їх і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

Опис закону всесвітнього тяжіння

Коефіцієнт - це гравітаційна стала. У системі СІ гравітаційна стала має значення:

Ця постійна, як видно, дуже мала, тому сили тяжіння між тілами, що мають невеликі маси, також малі і практично не відчуваються. Проте рух космічних тіл повністю визначається гравітацією. Наявність всесвітнього тяжіння або, іншими словами, гравітаційної взаємодії пояснює, на чому «тримаються» Земля і планети, і чому вони рухаються навколо Сонця певними траєкторіями, а не відлітають від нього геть. Закон всесвітнього тяжіння дозволяє визначити багато характеристик небесних тіл – мас планет, зірок, галактик і навіть чорних дірок. Цей закон дозволяє з великою точністю розрахувати орбіти планет і створити математичну модель Всесвіту.

За допомогою закону всесвітнього тяжіння можна розрахувати космічні швидкості. Наприклад, мінімальна швидкість, за якої тіло, що рухається горизонтально над поверхнею Землі, не впаде на неї, а рухатиметься по круговій орбіті – 7,9 км/с (перша космічна швидкість). А, щоб залишити Землю, тобто. подолати її гравітаційне тяжіння, тіло повинне мати швидкість 11,2 км/с (друга космічна швидкість).

Гравітація є одним із найдивовижніших феноменів природи. У відсутності сил гравітації існування Всесвіту було б неможливим, Всесвіт не міг би навіть виникнути. Гравітація відповідальна за багато процесів у Всесвіті – її народження, існування порядку замість хаосу. Природа гравітації досі остаточно нерозгадана. Досі ніхто не зміг розробити гідний механізм і модель гравітаційної взаємодії.

Сила тяжіння

Окремим випадком прояву гравітаційних сил є сила тяжіння.

Сила тяжіння завжди спрямована вертикально вниз (у напрямку центру Землі).

Якщо тіло діє сила тяжкості, то тіло робить . Вид руху залежить від напрямку та модуля початкової швидкості.

З дією сили тяжіння ми зустрічаємося щодня. через деякий час виявляється на землі. Книжка, випущена з рук, падає вниз. Підстрибнувши, людина не відлітає у відкритий космос, а опускається вниз на землю.

Розглядаючи вільне падіння тіла поблизу поверхні Землі як результат гравітаційної взаємодії цього тіла із Землею, можна записати:

звідки прискорення вільного падіння:

Прискорення вільного падіння залежить від маси тіла, а залежить від висоти тіла над Землею. Земна куля трохи сплюснуть біля полюсів, тому тіла, що знаходяться біля полюсів, розташовані трохи ближче до центру Землі. У зв'язку з цим прискорення вільного падіння залежить від широти місцевості: на полюсі воно трохи більше, ніж на екваторі та інших широтах (на екваторі м/с, на Північному полюсі екваторі м/с).

Ця ж формула дозволяє знайти прискорення вільного падіння на поверхні будь-якої планети масою та радіусом.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1 (завдання про «зважування» Землі)

Завдання	Радіус Землі км, прискорення вільного падіння поверхні планети м/с . Використовуючи ці дані, оцінити приблизно масу Землі.
Рішення	Прискорення вільного падіння на поверхні Землі: звідки маса Землі: У системі Сі радіус Землі м. Підставивши у формулу чисельні значення фізичних величин, оцінимо масу Землі:
Відповідь	Маса Землі кг.

ПРИКЛАД 2

Завдання	Супутник Землі рухається круговою орбітою на висоті 1000 км від поверхні Землі. З якою швидкістю рухається супутник? За який час супутник зробить один повний оберт навколо Землі?
Рішення	По сила, що діє на супутник з боку Землі, дорівнює добутку маси супутника на прискорення, з яким він рухається: З боку землі на супутник діє сила гравітаційного тяжіння, яка за законом всесвітнього тяжіння дорівнює: де і маси супутника та Землі відповідно. Оскільки супутник знаходиться на певній висоті над поверхнею Землі, відстань від нього до центру Землі: де радіус Землі.