Насамперед, трикутник – це геометрична фігура, яка утворюється трьома, що не лежать на одній прямій, точками, які з'єднані трьома відрізками. Щоб визначити, чому дорівнює висота трикутника, необхідно, перш за все, визначити його тип. Трикутники розрізняються величиною кутів та кількістю рівних кутів. За величиною кутів трикутник може бути гострокутним, тупокутним та прямокутним. За кількістю рівних сторін виділяють рівнобедрений, рівносторонній та різнобічний трикутники. Висота – це перпендикуляр, який опущений протилежний бік трикутника з його вершини. Як знайти висоту трикутника?

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника

Для рівнобедреного трикутника характерна рівність сторін і кутів при його підставі, тому проведені до боків висоти рівнобедреного трикутника завжди рівні один одному. Також висота цього трикутника одночасно є медіаною та бісектрисою. Відповідно, висота ділить основу навпіл. Розглядаємо прямокутний трикутник, що вийшов, і знаходимо сторону, тобто висоту рівнобедреного трикутника, за допомогою теореми Піфагора. Скориставшись наступною формулою, обчислюємо висоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 де: а - бічна сторона даного рівнобедреного трикутника, b - основа даного рівнобедреного трикутника.

Як знайти висоту рівностороннього трикутника

Трикутник із рівними сторонами називається рівностороннім. Висоту такого трикутника виводять із формули висоти рівнобедреного трикутника. Виходить: H = √3/2*a де a - сторона даного рівностороннього трикутника.

Як знайти висоту різностороннього трикутника

Різностороннім називають трикутник, у якого будь-які дві сторони не є рівними одна одній. У такому трикутнику всі три висоти будуть різними. Розрахувати довжини висот можна за допомогою формули: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2 де а - сторона трикутника або спочатку порахувати площу конкретного трикутника за формулою Герона, яка виглядає як: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, де а, b, з – сторони різнобічного трикутника, а p – його напівпериметр. Кожна висота = 2*площа/сторона

Як знайти висоту прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник має прямий кут. Висота, яка проходить до одного з катетів, є другим катетом. Тому щоб знайти висоти, що лежать на катетах, потрібно скористатися зміненою формулою Піфагора: a = √(c 2 − b 2), де a, b - це катети (a - катет, який необхідно знайти), c - довжина гіпотенузи. Для того щоб знайти другу висоту треба поставити отримане значення a на місце b. Для знаходження третьої, що лежить усередині трикутника, висоти застосовується така формула: h = 2s/a, де h - висота прямокутного трикутника, s - його площа, a - довжина сторони, до якої перпендикулярна висота.

Трикутник називається гострокутним у разі, якщо всі його кути гострі. У такому разі всі три висоти розташовуються усередині гострокутного трикутника. Трикутник називається тупокутним за наявності одного тупого кута. Дві висоти тупокутного трикутника знаходяться поза трикутником і падають на продовження сторін. Третя сторона знаходиться усередині трикутника. Висота визначається за допомогою тієї ж теореми Піфагора.

Загальні формули, як обчислення висоти трикутника

• Формула для знаходження висоти трикутника через сторони: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), де h - висота, яку потрібно знайти, а, b та c – сторони даного трикутника, p – його напівпериметр, .
• Формула для знаходження висоти трикутника через кут та бік: H=b sin y = c sin ß
• Формула для знаходження висоти трикутника через площу та сторону: h = 2S/a, де a – це сторона трикутника, а h – побудована до сторони а висота.
• Формула для знаходження висоти трикутника через радіус та сторони: H=bc/2R.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Для вирішення багатьох геометричних завдань потрібно знайти висоту заданої фігури. Ці завдання мають прикладне значення. При проведенні будівельних робіт визначення висоти допомагає обчислити необхідну кількість матеріалів, а також визначити, наскільки точно зроблено укоси та отвори. Часто для побудови викрійок потрібно мати уявлення про властивості

У багатьох людей, незважаючи на хороші оцінки в школі, при побудові звичайних геометричних фігур виникає питання про те, як знайти висоту трикутника чи паралелограма. Причому є найскладнішим. Це тому, що трикутник може бути гострим, тупим, рівнобедреним чи прямокутним. Для кожного з існують свої правила побудови та розрахунку.

Як знайти висоту трикутника, в якому всі кути гострі, графічним способом

Якщо всі кути трикутника гострі (кожен кут у трикутнику менше 90 градусів), то для знаходження висоти необхідно зробити наступне.

1. За заданими параметрами виконуємо побудову трикутника.
2. Введемо позначення. А, В та С будуть вершинами фігури. Кути, що відповідають кожній вершині - α, β, γ. Протилежні цим кутам сторони - a, b, c.
3. Висотою називається перпендикуляр, опущений з вершини кута до протилежної сторони трикутника. Для знаходження висот трикутника проводимо побудову перпендикулярів: з вершини кута до сторони a, з вершини кута до сторони b і так далі.
4. Точку перетину висоти та сторони a позначимо H1, а саму висоту h1. Точка перетину висоти та сторони b буде H2, висота відповідно h2. Для сторони c висота буде h3, а точка перетину H3.

Висота у трикутнику з тупим кутом

Тепер розглянемо, як знайти висоту трикутника, якщо один (більше 90 градусів). В цьому випадку висота, проведена з тупого кута, буде всередині трикутника. Інші дві висоти будуть за межами трикутника.

Нехай у нашому трикутнику кути α та β будуть гострими, а кут γ – тупим. Тоді для побудови висот, що виходять з кутів α і β, треба продовжити протилежні сторони трикутника, щоб провести перпендикуляри.

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника

Така фігура має дві рівні сторони і основу, при цьому кути, що знаходяться при підставі, також є рівними між собою. Ця рівність сторін і кутів полегшує побудову висот та його обчислення.

Спершу намалюємо сам трикутник. Нехай сторони b та c, а також кути β, γ будуть відповідно рівними.

Тепер проведемо висоту з вершини кута, позначимо її h1. Для ця висота буде одночасно бісектрисою та медіаною.

Для основи можна зробити лише одну побудову. Наприклад, провести медіану - відрізок, що з'єднує вершину рівнобедреного трикутника та протилежну сторону, основу, для знаходження висоти та бісектриси. А для обчислення довжини висоти для двох інших сторін можна побудувати лише одну висоту. Таким чином, щоб графічно визначити, як обчислити висоту трикутника рівнобедреного, достатньо знайти дві висоти з трьох.

Як знайти висоту прямокутного трикутника

У прямокутного трикутника визначити висоти набагато простіше, ніж інші. Це тому, що самі катети становлять прямий кут, отже, є висотами.

Для побудови третьої висоти, як завжди, проводиться перпендикуляр, що з'єднує вершину прямого кута та протилежну сторону. У результаті для того, щоб трикутника в даному випадку, потрібна лише одна побудова.

Трикутники.

Основні поняття.

Трикутник- це фігура, що складається з трьох відрізків та трьох точок, що не лежать на одній прямій.

Відрізки називаються сторонами, А точки - вершинами.

Сума кутівтрикутника дорівнює 180 º.

Висота трикутника.

Висота трикутника- це перпендикуляр, проведений з вершини до протилежної сторони.

У гострокутному трикутнику висота міститься усередині трикутника (рис.1).

У прямокутному трикутнику катети є висотами трикутника (рис.2).

У тупокутному трикутнику висота проходить поза трикутником (рис.3).

Властивості висоти трикутника:

Бісектриса трикутника.

Бісектриса трикутника- це відрізок, який ділить кут вершини навпіл і з'єднує вершину з точкою на протилежному боці (рис.5).

Властивості бісектриси:

Медіана трикутник.

Медіана трикутника- це відрізок, що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (рис.9а).

Довжину медіани можна обчислити за такою формулою: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 де m a- медіана, проведена до сторони а. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: c m c = — 2 де m c- медіана, проведена до гіпотенузи c(Мал.9в) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (в центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відсотковому співвідношенні 2:1, відраховуючи від вершини. Тобто відрізок від вершини до центру вдвічі більше відрізка від центру до сторони трикутника (рис.9с). Три медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників.

Середня лінія трикутника.

Середня лінія трикутника- це відрізок, що з'єднує середини двох сторін (рис.10).

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині

Зовнішній кут трикутника.

Зовнішній куттрикутника дорівнює сумі двох несуміжних внутрішніх кутів (рис.11).

Зовнішній кут трикутника більший за будь-який несуміжний кут.

Прямокутний трикутник.

Прямокутний трикутник- це трикутник, який має прямий кут (рис.12).

Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою.

Дві інші сторони називаються катетами.

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

1) У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, утворює три подібні трикутники: ABC, ACH та HCB (рис.14а). Відповідно, кути, що утворюються висотою, дорівнюють кутам А і В.

Рис.14а

Рівнобедрений трикутник.

Рівнобедрений трикутник- Це трикутник, у якого дві сторони рівні (рис.13).

Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а третя - основоютрикутник.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. (У нашому трикутнику кут А дорівнює куту C).

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є одночасно і бісектриса, і висотою трикутника.

Рівносторонній трикутник.

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні (рис.14).

Властивості рівностороннього трикутника:

Чудові властивості трикутників.

Трикутники мають оригінальні властивості, які допоможуть вам успішно вирішувати завдання, пов'язані з цими фігурами. Деякі з цих властивостей викладені вище. Але повторюємо їх ще раз, додавши до них кілька інших чудових рис:

1) У прямокутному трикутнику з кутами 90º, 30º та 60º катет b, що лежить навпроти кута в 30 º, дорівнює половині гіпотенузи. А катетa більше катетаbу √3 разів (рис.15 а). Наприклад, якщо катет b дорівнює 5, то гіпотенуза cобов'язково дорівнює 10, а катет адорівнює 5√3. 2) У прямокутному рівнобедреному трикутнику з кутами 90º, 45º та 45º гіпотенуза у √2 разів більша за катет (рис.15). b). Наприклад, якщо катети дорівнюють 5, то гіпотенуза дорівнює 5√2. 3) Середня лінія трикутника дорівнює половині паралельної сторони (рис.15 з). Наприклад, якщо сторона трикутника дорівнює 10, паралельна їй середня лінія дорівнює 5. 4) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи (рис.9в): m c= с/2. 5) Медіани трикутника, перетинаючи в одній точці, діляться цією точкою у співвідношенні 2:1. Тобто відрізок від вершини до точки перетину медіан вдвічі більше відрізка від точки перетину медіан до сторони трикутника (рис.9c) 6) У прямокутному трикутнику середина гіпотенузи є центром описаного кола (рис.15). d).

Ознаки рівності трикутників.

Перша ознака рівності: якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності: якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні стороні та прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності: якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Нерівність трикутника.

У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін.

Теорема Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площа трикутника.

1) Площа трикутника дорівнює половині твору його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:

ah
S = ——
2

2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Трикутник, описаний біля кола.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін (рис.16 а).

Трикутник, вписаний у коло.

Трикутник називається вписаним у коло, якщо він стосується її всіма вершинами (рис.17 a).

Синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника (рис.18).

Сінусгострого кута x протилежногокатета до гіпотенузи.
Позначається так: sinx.

Косінусгострого кута xпрямокутного трикутника - це відношення прилеглогокатета до гіпотенузи.
Позначається так: cos x.

Тангенсгострого кута x- це відношення протилежного катета до катета, що прилягає.
Позначається так: tgx.

Котангенсгострого кута x- Це ставлення прилеглого катета до протилежного.
Позначається так: ctgx.

Правила:

Катет, що протилежить куту x, дорівнює добутку гіпотенузи на sin x:

b = c· sin x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку гіпотенузи на cos x:

a = c· cos x

Катет, протилежний куту x, дорівнює добутку другого катета на tg x:

b = a· tg x

Катет, що прилягає до кута x, дорівнює добутку другого катета на ctg x:

a = b· ctg x.

Для будь-якого гострого кута x:

sin (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = sin x

Обчислення висоти трикутника залежить від самої фігури (рівностегновий, рівносторонній, різнобічний, прямокутний). У практичній геометрії складні формули, як правило, не зустрічаються. Достатньо знати загальний принцип обчислень для того, щоб він міг бути універсальним для всіх трикутників. Сьогодні ми познайомимо вас з базовими принципами обчислення висоти фігури, розрахунковими формулами, виходячи з властивостей висот трикутників.

Що таке висота?

Висота має кілька відмінних властивостей

1. Крапка, де всі висоти з'єднуються, називається ортоцентром. Якщо трикутник гострий, то ортоцентр знаходиться всередині фігури, якщо один з кутів тупий, то ортоцентр, як правило, зовні.
2. У трикутнику, де один кут дорівнює 90°, ортоцентр та вершина збігаються.
3. Залежно від виду трикутника, є кілька формул, як знайти висоту трикутника.

Традиційні обчислення

1. Якщо р – це половина периметра, тоді a, b, c є позначенням сторін необхідної фігури, h – висота, то перша і найпростіша формула буде виглядати так: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. У шкільних підручниках часто можна знайти завдання, у яких відомо значення однієї зі сторін трикутника та величина кута між цією стороною та основою. Тоді формула розрахунку висоти буде виглядати так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Коли дана площа трикутника – S, а також довжина основи – а, обчислення будуть максимально простими. Висоту знаходять за такою формулою: h = 2S/a.
4. Коли дано радіус кола, описаного навколо фігури, спочатку обчислюємо довжини двох сторін, а потім приступаємо до обчислення заданої висоти трикутника. Для цього використовуємо формулу: h = b ∙ c/2R, де b та c – це дві сторони трикутника, які не є основою, а R – радіус.

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника?

Усі сторони цієї фігури рівнозначні, їх довжини рівні, тому й кути при основі теж будуть рівними. З цього випливає, що висоти, які проводимо на підстави, також будуть рівні, вони ж і медіани, і бісектриси одночасно. Говорячи простою мовою, висота в рівнобедреному трикутнику ділить основу надвоє. Трикутник із прямим кутом, який вийшов після проведення висоти, будемо розглядати за допомогою теореми Піфагора. Позначимо бічну сторону як а, а основу як b, тоді висота h = ½ √4 a2 − b2.

Як знайти висоту рівнобічного трикутника?

Формула рівностороннього трикутника (фігури, де всі сторони є рівновеликими) можна знайти, виходячи з попередніх обчислень. Необхідно лише виміряти довжину однієї зі сторін трикутника та позначити її як а. Тоді висота виводиться за такою формулою: h = √3/2 a.

Як знайти висоту прямокутного трикутника?

Як відомо, кут у прямокутному трикутнику дорівнює 90 °. Висота, опущена однією катет, одночасно є і другим катетом. На них і лежатимуть висоти трикутника із прямим кутом. Для отримання даних про висоту потрібно трохи перетворити наявну формулу Піфагора, позначивши катети - а і b, а також вимірявши довжину гіпотенузи - с.

Знайдемо довжину катета (сторона, якою буде перпендикулярна висота): a = √ (c2 − b2). Довжина другого катета знаходиться за такою самою формулою: b =√(c2 − b2). Після чого можна приступати до обчислення висоти трикутника з прямим кутом, попередньо порахувавши площу фігури – s. Значення висоти h = 2s/a.

Розрахунки з різностороннім трикутником

Коли різнобічний трикутник має гострі кути, то висота, що опускається на основу, видно. Якщо ж трикутник з тупим кутом, то висота може бути поза фігурою, і потрібно подумки її продовжити, щоб отримати точку з'єднання висоти та основи трикутника. Найпростішим способом виміряти висоту є обчислення її через одну зі сторін та величини кутів. Формула виглядає так: h = b sin y + c sin ß.