ஸ்கேலர் உருவாக்கத்தின் சக்தி

ஸ்கேலர் tv_r திசையன்கள், மதிப்பு, சக்தி

திசையன்களில் நேரியல் செயல்பாடுகள்.

திசையன்கள், அடிப்படை புரிதல், காட்சிப்படுத்தல், அவற்றின் மீது நேரியல் செயல்பாடுகள்

சதுரத்தில் ஒரு திசையன் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடி புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதே நேரத்தில், ஒரு புள்ளி ஒரு கோப் என்றும், மறுமுனை ஒரு திசையன் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டு திசையன்கள் rivni என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் துர்நாற்றம் rіvnі மற்றும் சீரமைக்கப்படுகிறது.

ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்கும் திசையன்கள், துர்நாற்றம் ஒரே திசையன்களுடன் இணைந்து இயக்கப்படுவதால், ஒரே நேர்கோட்டில் படாததால், அவை இணை திசை என அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு நேர் கோட்டில் அல்லது இணையான நேர்கோட்டில் இருக்கும் திசையன்கள் கோலினியர் என்றும், கோலினியர், இணை திசையில் இல்லாவிட்டாலும், புரோட்டில்னி-ஸ்ட்ரேட் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

நேர்கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வணிக மதிப்பு 5.4. சும்யு a + b திசையன் அ і பி வெக்டரின் கோப்பில் இருந்து திசையன் என்று அழைக்கப்படும் அ திசையன் முடிவில் பி கோப் திசையன் பி திசையன் முடிவை அகற்றவும் அ .

வணிக மதிப்பு 5.5. ரிஸ்னிட்சியா a - b திசையன் அ і பி அத்தகைய திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது கள் , வெக்டருடன் கூட்டுத்தொகை போன்றது பி ஆம் திசையன் அ .

வணிக மதிப்பு 5.6. பாலாடைக்கட்டிகே அ திசையன் அ எண் மூலம் கேதிசையன் எனப்படும் பி , கோலினியர் திசையன் அ , scho maє தொகுதி, scho dorіvnyuє | கே||அ |, அந்த நேராக, scho zbіgaєtsya s நேராக | அ மணிக்கு கே> 0 மற்றும் பல அ மணிக்கு கே<0.

ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்கும் சக்தி:

சக்தி 1. கே (a + b ) = கே அ+ கே பி.

சக்தி 2. (கே + மீ)அ = கே அ+ மீ அ.

சக்தி 3. கே (மீ அ) = (கிமீ)அ .

Slidstvo. Iaksho பூஜ்யமற்ற திசையன்கள் அ і பி கோலினியர், பின்னர் எண் கே, ஸ்கூ b = கே அ.

இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு அі பிஒரு எண் (ஸ்கேலர்) ஒரு எண் (ஸ்கேலார்) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அவற்றுக்கிடையே வெட்டு φ இன் கொசைனில் பல திசையன்களைச் சேர்க்கலாம். ஸ்கேலர் டிவிரை வெவ்வேறு வழிகளில் வரையறுக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, யாக் ab, அ · பி, (அ , பி), (அ · பி) அத்தகைய தரவரிசையில், ஸ்கேலர் துணை நிரல்கள்:

அ · பி = |அ| · | பி| காஸ் φ

திசையன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்ல வேண்டுமெனில், அதன் ஸ்கேலர் சேர்க்கை பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்.

சக்தி வரிசைமாற்றம்: அ · பி = பி · அ(ஸ்கேலர் ட்விரில் உள்ள பெருக்கிகளின் வரிசைமாற்றம் மாறாது);

ரோஸ்போடிலின் சக்தி: அ · ( பி · c) = (அ · பி) · c(முடிவு அளவு வரிசையில் இல்லை);

ஒரு யூனிட் பவர் (100% ஸ்கேலர் பெருக்கி): (λ அ) · பி = λ ( அ · பி).

ஆர்த்தோகனாலிட்டியின் சக்தி (செங்குத்தாக): திசையன்களாக அі பிபூஜ்யம் அல்லாத, பூஜ்ஜியத்திற்கு їх ஸ்கேலர் சேர்த்தல், திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே (ஒன்றுக்கு ஒன்றுக்கு செங்குத்தாக) அ ┴ பி;

சதுரத்தின் சக்தி: அ · அ = அ 2 = |அ| 2 (அளவிலான திசையன்களை தன்னிலிருந்து தொகுதியின் சதுரத்திற்கு உருவாக்கவும்);

திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகள் அ= (x 1, y 1, z 1) பி= (x 2, y 2, z 2), பின்னர் கதவின் ஸ்கேலர் ஆட்-ஆன் அ · பி= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

திசையன்களை கடத்தும் திசையன். Viznachennya: ஒரு திசையன் படைப்புக்கு இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் ஒரு திசையன், இதற்கு:

கொடுக்கப்பட்ட வெக்டார்களால் தூண்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் இடத்தின் தொகுதி, tobto. , டி வெட்டு mіzh திசையன்கள் ma

Tsey என்பது திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு திசையன் ஆகும், இதை பெருக்க முடியும், tobto.

திசையன்கள் கோலினியர் அல்லாததால், துர்நாற்றம் சரியான மூன்று திசையன்களை அமைக்கிறது.

திசையன் உருவாக்கும் சக்தி:

1. பெருக்கியின் வரிசையை மாற்றும்போது, ​​திசையன் சமிக்ஞை மாறுகிறது, zvorotny அடையாளம், தொகுதி சேமிக்கப்படுகிறது, tobto.

2 .வெக்டார் சதுரம் முதல் பூஜ்ஜிய திசையன் வரை, டோப்டோ.

3 டோப்டோ என்ற வெக்டார் சிம்பலுக்கு ஸ்கேலர் பெருக்கி பயன்படுத்தப்படலாம்.

4 .எந்த மூன்று திசையன்களுக்கும், சமத்துவம் நியாயமானது

5 ... இரண்டு திசையன்களின் இணைத்தன்மைக்கு ஒரு தேவை மற்றும் போதுமான நுண்ணறிவு உள்ளது:

Viznachennya. கோலினியர் வெக்டரில் (பெருக்கி) திசையன் a (பெருக்கி) இன் திசையன் தயாரிப்பு மூன்றாவது திசையன் z (tvir) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது அடுத்த தரவரிசையாக இருக்கும்:

1) படத்தில் உள்ள இணையான வரைபடத்தின் எண்ணிக்கையில் பெரிய பகுதி வது தொகுதி. 155), யூகிக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு நேரடியாக செங்குத்தாக வாசலில் இருக்கும்படி திசையன்கள் மீது தூண்டியது;

3) திசையன் z ஒரு குறிப்பிட்ட மின்னழுத்தத்தில் அதிர்வு (இரண்டில் இருந்து) அதனால் திசையன் சரியான அமைப்பை உருவாக்கியது (§ 110).

பதவி: abo

viznachennya க்கு மேம்படுத்தவும். திசையன் கோலினியர் என்றால், புள்ளிவிவரங்கள் ஒரு இணையான வரைபடத்துடன் vvazhayuchi (புத்திசாலித்தனமாக) இருக்கும், அது பூஜ்ஜிய பகுதிக்கு காரணமாக இருக்க வேண்டும். அதற்கு, கோலினியர் வெக்டார்களின் வெக்டார் சேர்த்தல் பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மதிப்பின் 2 மற்றும் 3 புள்ளிகளுக்கு மிகையாக செயல்படாமல் இருப்பதற்காக, பூஜ்ஜிய-வெக்டரின் அலைவுகளை நேரடியாகக் கூறலாம்.

மரியாதை 1. "வெக்டோரியல் டிவிர்" என்ற வார்த்தையில், முதல் வார்த்தை திசையன் (ஸ்கேலார் உருவாக்கத்திற்கு மாறாக; எப்போதாவது § 104, மதிக்கப்படும் 1) விளைந்தவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பயன்பாடு 1. வலது ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் முக்கிய திசையன் திசையன் டிவிர் (படம் 156) ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.

1. முக்கிய திசையன்களின் ஊசலாட்டங்கள் ஒரே அளவில் இருக்கும், பின்னர் இணையான வரைபடத்தின் (சதுரம்) பகுதி எண்ணியல் ரீதியாக ஒரே அளவில் இருக்கும். Otzhe, திசையன் ஆட்-ஆன் டோர்-டு-டோர் யூனிட்டின் தொகுதி.

2. எனவே யாக் பகுதிக்கு செங்குத்தாக є அந்த சுழலும் திசையன் tvir є திசையன், கோலினியர் வெக்டரின் அச்சு; குற்றம் துர்நாற்றம் வீசும் தொகுதி 1 என்றால், shukaniy திசையன் கதவைச் சேர்க்கும், k அல்லது -k.

3. மூன்று cich இரண்டு சாத்தியமான திசையன்கள் அதிர்வு செய்யப்பட வேண்டும், எனவே திசையன் சரியான அமைப்பை அமைக்கும் (மேலும் திசையன் இடதுபுறமாக இருக்கும்).

இணைப்பு 2. திசையன் டிவிரை அறிக

முடிவு. யாக் பட் 1, செட்-அப், ஸ்கோ வெக்டார் dorіvnyuє ஒன்று k, அல்லது -k. Ale இப்போது, ​​நீங்கள் -k அதிர்வு செய்ய வேண்டும், எனவே திசையன் கணினியை வலதுபுறமாக அமைக்கும் (மேலும் திசையன் இடதுபுறமாக இருக்கும்). ஓட்சே,

பட் 3. திசையன்கள் 80 மற்றும் 50 செ.மீ.க்கு சமமாக இருக்கலாம், மேலும் வெட்டு 30 ° ஆக அமைக்கவும். ஒரு அலகுக்கு ஒரு மீட்டர் எடுத்து, திசையன் உருவாக்கம் தெரியும்

முடிவு. டோவ்ஜினின் ஷுகனி வெக்டருக்கு திசையன்களால் தூண்டப்பட்ட இணை வரைபடத்தின் பரப்பளவு, உருவாக்கம்,

பயன்பாடு 4. திசையன்களின் மேதையை அறிய, திசையன்கள் அமைதியாக இருக்கும், சென்டிமீட்டரை ஒரு அலகாக எடுத்துக் கொள்கின்றன.

முடிவு. திசையன் திசையன்கள், பின்னர் திசையன் திசையன், 2000 divs, tobto ஆகியவற்றால் தூண்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவின் ஊசலாட்டங்கள்.

3 முதல் 4 வரை, திசையன் ஒன்றின் காரணிகளில் ஒன்றிற்கு சமமாக இருப்பதைக் காணலாம்.

திசையன் உருவாக்கத்தின் இயற்பியல் zmist.ஒரு திசையன் தயாரிப்பாகக் காட்சிப்படுத்தக்கூடிய மூன்று எண்ணியல் இயற்பியல் அளவுகள், சக்தியின் தருணத்தை இழக்கும்.

Nekhai A є விசையை வெளிப்படுத்தும் புள்ளி அல்லது O புள்ளியில் இருந்து விசையின் தருணம் Oskilka வெக்டார் tvir என்று அழைக்கப்படுகிறது, இந்த திசையன் உருவாக்கத்தின் தொகுதியானது இணையான வரைபடம் பகுதிக்கு எண்ணியல் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது (படம் 157), பின்னர் மாடுலஸ் கணம் உயரத்தின் அடிப்படையில் கணத்தில் சேர்க்கப்படுகிறது, இதனால் புள்ளிகள் அனைத்து பெரிய வலிமைக்கும் பெருக்கப்படுகின்றன.

இயக்கவியலுக்கு திடமான வலிமையின் நிலைக்கு கொண்டு வருவது அவசியம், இதனால் பூஜ்ஜிய திசையன்கள் உள்ளன, அவை வலுவாக இருக்கலாம், வலிமையின் தருணம் வரை பயன்படுத்தப்படும். இந்த வழக்கில், அனைத்து சக்திகளும் ஒரே பகுதிக்கு இணையாக இருந்தால், மடிப்பு திசையன்கள், நீங்கள் தருணங்களை கற்பனை செய்யலாம், நீங்கள் கூடுதல் மற்றும் குறிப்பிட்ட தொகுதிகளை மாற்றலாம். சக்திகளின் வலுவான விகாரங்களுக்கு அலே, அத்தகைய மாற்றீடு சங்கடமானது. உண்மையில், திசையன் உருப்படியானது வெக்டரில் இருந்து தொடங்குகிறது, திசையன் எண்ணுடன் அல்ல.

Vectorniy vitvir- ஒரு முழு சூடோவெக்டர், பகுதிக்கு செங்குத்தாக, இரண்டு பெருக்கிகளால் தூண்டப்படுகிறது, இது அற்பமான யூக்ளிடியன் இடத்தில் உள்ள திசையன்களின் மீது பைனரி செயல்பாட்டின் "வெக்டார் பெருக்கல்" விளைவாகும். திசையன் tvir என்பது கம்யூடேட்டிவ் மற்றும் அசோசியேட்டிவ் (є ஆன்டிகம்யூடேடிவ்) і, ஸ்கேலார் வெக்டர் வெக்டர்களின் பார்வையில், є திசையன். பகடோக் தொழில்நுட்ப மற்றும் உடல் சப்ளிமெண்ட்ஸில் பரவலாக வெற்றி பெற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, துடிப்புக்கான தருணம் மற்றும் லோரென்ட்ஸ் விசை ஆகியவை வெக்டார் உருவாக்கம் என கணித ரீதியாக எழுதப்படுகின்றன. வெக்டார் ஆட்-ஆன் என்பது வெக்டார்களின் செங்குத்தாக "காட்சிப்படுத்துவதற்கு" இலவங்கப்பட்டை ஆகும் - ஒரு துணை நிரலின் கதவுக்கு இரண்டு திசையன்களின் ஒரு திசையன் துணை நிரலின் தொகுதி, அது செங்குத்தாக துர்நாற்றம் வீசுகிறது, மேலும் திசையன் போலவே பூஜ்ஜியமாக மாறுகிறது. இணை அல்லது எதிரெதிர்.

பார்வைக்கு, வெக்டார் டிவியை எளிமையான முறையில் பயன்படுத்தலாம், மேலும் கோட்பாட்டளவில், திறந்தவெளியில், ஏதேனும் பரிமாணம் n உள்ளதா, உங்கள் சொந்த ஒரு வெக்டரில் இருந்து அகற்றப்பட்ட n-1 திசையன்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட முடியும். அவை அனைத்திற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது. tvir ஆனது வெக்டார் முடிவுகளுடன் அற்பமான பைனரியல் படைப்புகளால் சூழப்பட்டிருந்தால், பாரம்பரிய திசையன் tvir என்பது அற்பமான மற்றும் ஏழு பரிமாண இடைவெளிகளை இழக்கும். ஒரு வெக்டார் உருவாக்கத்தின் விளைவு, ஒரு அளவிடல் போன்றது, யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் இடத்தில் உள்ளது.

அற்பமான செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளில் ஸ்கேலர் ஆட்-ஆனின் திசையன்களின் ஆயங்களை கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களின் அடிப்படையில், திசையன் துணை நிரலுக்கான சூத்திரம் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அமைப்பின் வடிவத்தில் உள்ளது abo, innax, ї "சிராலிட்டி".

Viznachennya:
R 3 இடத்தில் உள்ள திசையன் a vector b ஐ வெக்டார் சேர்ப்பது வெக்டார் c என்று அழைக்கப்படுகிறது, எனவே நாம் விமோகத்தில் அடியெடுத்து வைப்பதில் மகிழ்ச்சி அடைகிறோம்:
கூடுதல் தலைமுறை திசையன்கள் c கூடுதல் கூடுதல் தலைமுறை திசையன்கள் a மற்றும் b per sine kuta:
| c | = | a || b | பாவம் φ;
திசையன் c ஆர்த்தோகனல் முதல் தோல் z திசையன்கள் a і b;
ஒரு திசையன் c conjugations அதனால் மூன்று திசையன்கள் abc є வலது;
R7 இன் இடைவெளிக்கு, a, b, c ஆகிய மூன்று திசையன்களின் தொடர்பு தேவை.
பதவி:
c === a × b

சிறிய. 1. இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு திசையன் உருவாக்கத்தின் தொகுதிக்கு செல்கிறது

திசையன் உருவாக்கத்தின் வடிவியல் சக்தி:
இரண்டு பூஜ்ஜியம் அல்லாத வெக்டார்களின் போதுமான மன இணைத்தன்மையின் தேவை є திசையன் திசையன்களின் பூஜ்ஜியத்தின் சமத்துவம்.

திசையன் tvoru தொகுதி சாலை பகுதி எஸ்திசையன்களால் தூண்டப்பட்ட ஒரு இணை வரைபடம் அі பி(திவ். படம் 1).

யக்ஷோ இ- ஒற்றை திசையன், ஆர்த்தோகனல் திசையன் அі பிமற்றும் அதிர்வுகள் அதனால், என்ன ஒரு திரிகா a, b, e- உரிமைகள், மற்றும் எஸ்- இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு, அவர்கள் மீது தூண்டியது (கோப்பை சுட்டிக்காட்டுகிறது), பின்னர் திசையன் உருவாக்கத்திற்கான சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:
= எஸ் இ

படம் 2. வெக்டரின் விகோரிஸ்டான்_ உடன் ஒப்'இம் இணையாக உள்ளது மற்றும் திசையன்களின் ஸ்கேலார் கூட்டல்; கோடு போடப்பட்ட கோடுகள் a × b இல் திசையன் c மற்றும் b × c இல் வெக்டார் ப்ராஜெக்ஷனைக் காட்டுகின்றன, முதல் குக்கீ என்பது ஸ்கேலர் படைப்புகளின் பொருள்

யக்ஷோ cஒரு திசையன், π - be-yaka flatness, திசையன் மீது பழிவாங்குவது எப்படி, இ- ஒரு ஒற்றை திசையன், இது பகுதிக்கு அருகில் உள்ளது π ta orthogonal to c, g- ஒற்றை திசையன், பகுதிக்கு ஆர்த்தோகனல் π மூன்று திசையன்கள் இருக்கும் வகையில் இணைத்தல் ஈ.சி.ஜிє சரி, பிறகு ஒருவருக்கு, அந்த பகுதியில் பொய் π திசையன் அசூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:
= Pr e a | c | g
de Pr e a என்பது e இன் திசையன் முன்கணிப்பு ஆகும்
சி | -வெக்டரின் தொகுதி

வெக்டார் மற்றும் ஸ்கேலார் உருவாக்கம் வெற்றிபெறும் போது, ​​விரஹுவதி ஒப்ஸ்யாக் பாராலெலெப் செய்ய முடியும், இது திசையன்களால் தூண்டப்படுகிறது. a, bі c... மேலும், மூன்று திசையன்கள் zmishanim என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
V = | a (b × c) |
விஷயங்களைத் தெரிந்துகொள்வதற்கு இரண்டு வழிகள் உள்ளன என்று சிறுவரிடம் காட்டப்பட்டுள்ளது: "ஸ்கேலர்" மற்றும் "வெக்டார்" உருவாக்கத்தை மாற்றுவதன் மூலம் வடிவியல் முடிவைச் சேமிக்க முடியும்:
V = a × b c = a b × c

வெக்டரின் அளவு கோப் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள வெட்டு சைனஸில் உள்ளது, எனவே திசையன் திசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் படிகளாகவும், அதே போல் ஸ்கேலரை இணையான படிகளாகவும் காணலாம். சாலை 1 (ஒற்றை திசையன்) இல் இரண்டு ஒற்றை திசையன்களின் திசையன் சேர்த்தல், கோப் திசையன்கள் செங்குத்தாக இருப்பதால், சாலை 0 (பூஜ்ஜிய திசையன்), ஏனெனில் திசையன்கள் இணையாக அல்லது எதிரெதிர் திசையன்களாக உள்ளன.

கார்ட்டீசியன் ஆயங்களில் திசையன் ட்வோருக்கான விராஸ்
யக்ஷோ இரண்டு திசையன்கள் அі பிமதிப்புகள் அவற்றின் வலது கோண கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் அல்லது மாறாக, வெளிப்படையாக, ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகின்றன
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு சரியாக உள்ளது, பின்னர் їхній திசையன் tvіr maє viglyad
= (a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x)
சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்ய:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- லெவி-சிவிட்டி சின்னம்.

7.1 திசையன் உருவாக்கத்தின் மதிப்பு

மூன்று கோப்லனர் அல்லாத திசையன்கள் a, b і с, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்ட, சரியான மூன்று வரியை நிறுவவும், மூன்றாவது திசையன் முடிவில் இருந்து முதல் திசையன் a இலிருந்து மற்றொரு திசையன் b க்கு குறுகிய சுழற்சியில் இருந்து, நீங்கள் அதைக் காணலாம் நாம் div. படம் 16) எதிராக செல்கிறோம்.

ஒரு திசையன் b உடன் ஒரு திசையன் சேர்க்கை ஒரு திசையன் z என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது:

1. திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக a і b, tobto s ^ a і с ^ b;

2. Ma dovzhin, எண்ணியல் ரீதியாக இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமானது, திசையன்கள் மீது தூண்டியது a மற்றும்பிபக்கங்களில் யாக் (திவ். படம் 17), டோப்டோ.

3. திசையன்கள் a, b і கள் மூன்றின் உரிமையை உறுதிப்படுத்துகின்றன.

திசையன் twir என்பது x b abo [a, b] எனக் குறிக்கப்படுகிறது. நடுத்தர தேவை இல்லாமல் திசையன் உருவாக்கத்தின் மதிப்பிலிருந்து, அதே அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தலாம், ஜேі கே(திவ். படம் 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
உங்களிடம் கொண்டு வரப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, ஸ்கோ i хj = k.

1) கே ^ ஐ, கே ^ ஜே;

2) | k | = 1, ale | i x j| = | நான் | ஜே | பாவம் (90 °) = 1;

3) திசையன்கள் i, j கேசரியான மூன்றை அங்கீகரிக்கவும் (படம் 16).

7.2 திசையன் உருவாக்கும் சக்தி

1. வெக்டரில் பெருக்கியை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​எந்த அறிகுறியும் இல்லை, டோப்டோ. a хb = (b хa) (div. படம் 19).

திசையன்கள் a xb і b கோலினியர், அவை ஒரே தொகுதிகளாக இருக்கலாம் (இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு முக்கியமற்றதாக மாறும்), ஆனால் அவை நீண்ட காலமாக நேராக்கப்படுகின்றன (tris a, b, a xb і a, b, bxa ஆகியவை முன்மாதிரியாக இருக்கும். சார்ந்த). கப்பலாக மாறியது ஒரு எக்ஸ்பி = -(b xa).

2. வெக்டார் பவர் ஒரு அளவிடல் பெருக்கியின் சக்தியைக் கொடுக்கலாம், அதனால் l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

வாருங்கள் l> 0. திசையன் l (a xb) திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக a மற்றும் b. வெக்டர் ( எல் a) x பிதிசையன்களுக்கு செங்குத்தாக a i பி(வெக்டர் ஏ, எல்மற்றும் ஒரு பகுதிக்கு அருகில் படுத்துக்கொள்ளவும்). எனவே திசையன் எல்(a xb) ma ( எல் a) x பிகோலினியர். வெளிப்படையாக, அது நேராக நடக்காது. அதே இரவு உணவு:

டாம் எல்(a хb) = எல்ஒரு எக்ஸ்பி. எப்பொழுதும் இதேபோல் தெரிவிக்க வேண்டும் எல்<0.

3. இரண்டு பூஜ்யமற்ற திசையன்கள் a i பிகோலினியர் டோடி மற்றும் டோடி மட்டும், திசையன் tvir பூஜ்ஜிய திசையன் சென்றால், a || b<=>ஒரு xb = 0.

Zokrem, i * i = j * j = k * k = 0.

4. வெக்டார் பவர் சக்தியிலிருந்து வேறுபட்டது:

(a + b) xc = a xc + பி xc

உறுதிப்படுத்தல் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது.

7.3 ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் Viraz vector tvoru

i இல் உள்ள திசையன் உருவாக்கும் திசையன்களின் அட்டவணையை விகோரிஸ்டோவுவாட் செய்வோம், ஜேநான் கே:

முதல் திசையனில் இருந்து மற்றொன்றுக்கு நேராகச் சென்றால், அம்புகள் வழியாக நேராகச் சென்று, பின்னர் மூன்றாவது திசையனுக்குச் சென்று, மூன்றாவது திசையனுக்குச் செல்லுங்கள் - மூன்றாவது திசையன் கழித்தல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டது.

இரண்டு திசையன்களை a = a x i + a y கொடுக்க வேண்டாம் ஜே+ a z கேі b = b x நான்+ பி ஒய் ஜே+ b z கே... திசையனின் திசையன் ட்விர் திருப்பத்தின் திசையன் மூலம் பெருக்கப்படுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது (திசையியலின் சக்தியைப் பொறுத்து):

Otriman இன் சூத்திரத்தை ஒரு குறுகிய வடிவத்தில் எழுதலாம்:

சமத்துவத்தின் (7.1) பகுதியின் உரிமைகளின் ஊசலாட்டங்கள் முதல் வரிசையின் உறுப்புகளுக்கு மூன்றாம் வரிசை அட்டை வைத்திருப்பவரின் விநியோகத்திற்கு வழிவகுக்கும். சமநிலை (7.2) நினைவில் கொள்வது எளிது.

7.4 தியாகி நிரல் வெக்டார் உருவாக்கம்

திசையன்களின் கோலினரிட்டியின் செருகல்

இணையான வரைபடம் மற்றும் முச்சக்கரவண்டியின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதி

திசையன் திசையன் திசையன்களின் மதிப்புகளை அறிந்து கொள்வது நல்லது அநான் பி ஒரு xb | =| ஒரு | * | b | sin g, அதாவது S ஜோடிகள் = | a x b |. மேலும், D S = 1/2 | a x b |

ஒரு கணத்தின் வலிமை அல்லது புள்ளியின் மதிப்பு

A புள்ளிக்கு விசை பயன்படுத்தப்படட்டும் F = ABஇல்லை பற்றி- தியாகா புள்ளி விண்வெளி (திவ். படம். 20).

Z fiziki விடோமோ, ஸ்கோ வலிமையின் தருணம் எஃப் ஷோடோ புள்ளிகள் பற்றிதிசையன் எனப்படும் எம்,ஒரு புள்ளியை எப்படி கடப்பது பற்றிஅந்த:

1) பகுதிக்கு செங்குத்தாக, புள்ளிகள் வழியாக செல்லவும் ஓ, ஏ, பி;

2) எண்ணிக்கையில், தோளில் கூடுதல் வலிமை

3) OA மற்றும் A ஆகிய மூன்று திசையன்களை நான் சரிபார்க்கிறேன்.

Otzhe, M = OA x F.

குறிப்பிடத்தக்க பரம்பரை shvidkosti மடக்குதல்

வேகம் vஒரு கன சதுரம் shvidkistyu மூடப்பட்டிருக்கும் இது திட உடல், புள்ளிகள் எம் டபிள்யூநிலையற்ற அச்சுக்கு அருகில், இது யூலர் சூத்திரத்துடன் தொடங்குகிறது v = w xr, de r = OM, de O-deyaka அச்சின் புள்ளி கட்டுக்கடங்காதது (டிவ். படம் 21).

Viznachennya. ஒரு திசையன் a ஒரு திசையன் b உடன் ஒரு திசையன் சேர்த்தல் ஒரு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது குறியீடால் குறிக்கப்படுகிறது [α, b] (abo lxb), எடுத்துக்காட்டாக 1) திசையன் [a, b] dorіvnyuє (p, de у - kut mіzh திசையன்கள் а மற்றும் b (2) திசையன் [a, b) திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது a і b, அதாவது. திசையன்களின் செங்குத்து பகுதிகள்; 3) திசையன் [a, b] நேராக்குவதன் மூலம் திசையன் முடிவில் இருந்து a இலிருந்து b க்கு மிகக் குறுகிய திருப்பத்தை நாம் எதிர் அம்புக்குறியைக் காணும்போது காணலாம் (படம் 32). சிறிய. 32 படம் 31 சில காரணங்களால், திசையன்கள் a, b மற்றும் [a, b) சரியான மூன்று திசையன்களை அமைக்கின்றன. roztashovani அதனால், பெரிய, vz_vny என்று வலது கை நடுத்தர விரல். கீழே, திசையன்கள் a மற்றும் b ஆகியவை இணையாக இருந்தால், அது முக்கியமானது [a, b] = 0. வெக்டரின் மதிப்பின் காரணமாக, திசையன் வடிவமைப்பு எண்ணியல் ரீதியாக இணையான வரைபடத்தின் பகுதி Sa க்கு தகுதியானது (படம் 33), பெருக்க திசையன்கள் மீது தூண்டப்பட்டது, மற்றும் பக்கங்கள் மற்றும் b: 6.1. வெக்டார் உருவாக்கத்தின் சக்தி 1. வெக்டார் சேர்க்கைகள் பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு டோடி மற்றும் அவற்றில் ஒன்று மட்டுமே பெருக்கினால், є பூஜ்ஜியம், திசையன்கள் கோலினியர் என்றால் (வெக்டார்கள் இரண்டும், மற்றும் அவை பல) ... தவறு செய்வது எளிது, ஏனென்றால் நீங்கள் எந்த வெக்டருக்கும் இணையாக பூஜ்ய வெக்டரைப் பயன்படுத்தினால், நீங்கள் a மற்றும் b வெக்டார்களின் கோலினியரிட்டி இருந்தால், அதை இப்படி மாற்றலாம் 2. வெக்டர் டிவி ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ், எனவே அது எப்போதும். உண்மை, திசையன்கள் (a, b) அதே வழியில் கோலினியர் ஆக இருக்கலாம். எதிர் திசையில் உள்ள திசையன்களின் நேரான கோடுகள், திசையன் [a, b] முனையிலிருந்து துகள்கள், எதிர் அம்புக்குறியைக் காணும்போது a இலிருந்து b க்கு மிகக் குறுகிய திருப்பம் மற்றும் திசையனின் முனையிலிருந்து [b, a] - ஆண்டு வரி 34 க்கு பின்னால்). 3. வெக்டார் ஆட்-ஆன் தேதிக்கு முந்தைய தேதியுடன் தொடர்புடைய ஒரு தனி சக்தியைக் கொண்டுள்ளது 4. எண் பெருக்கி A ஆனது திசையன் ஆட்-ஆன் 6.2 இன் அடையாளத்தை வெல்ல முடியும். திசையன்களின் வெக்டார் சேர்த்தல், வெக்டரின் ஹெக்ஸின் ஆயத்தொகுப்புகளால் குறிப்பிடப்படுகிறது மற்றும் மற்றும் b, அடிப்படையில் அவற்றின் ஆயங்களால் குறிப்பிடப்படுகிறது. உருவாக்கத்திற்கு வெக்டரின் சக்தியை சிதைத்து, கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களின் திசையன் சேர்த்தல் நமக்குத் தெரியும். Zmіshany tvіr. திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்கவும் (படம் 35): திசையன் திசையன்களுக்கு, திசையன்கள் a மற்றும் b சூத்திரம் (3) தாக்குதல் வைரஸிலிருந்து அடையாளம் காண முடியும். : 1 வது வரிசையின் உறுப்புகளுக்குப் பின்னால் அட்டை வைத்திருப்பவரை மடித்து, நீங்கள் அதை உருவாக்கலாம் ( 4) கீழே வை. 1. இணையான வரைபடத்தின் பகுதியை அறிய, சுகன் பகுதியின் திசையன்கள் மீது தூண்டப்படுகிறது, அது அறியப்படுகிறது = நட்சத்திரங்கள் 2. முக்கோணத்தின் பகுதியை அறிய (படம் 36). Zrozumіlo, scho பகுதி b "d டிரைசைக்கிள் BAT சாலை பகுதியின் பாதி பகுதி S இணை வரைபடம் O AS V. எண்ணற்ற திசையன் திடப்பொருள்கள் (a, b | திசையன்கள் a = OA і b = ob, இது புரிந்து கொள்ளக்கூடியது மிகவும் முக்கியமானது. , a = ss j maєmo § 7. திசையன்களில் ஏதேனும் மாற்றம் Nehai maєmo மூன்று திசையன்கள் a, b і с. இதன் விளைவாக, நாம் திசையன் [a, 1>] ஐக் கழிக்கலாம், அதை z: (kb), c) எண் ([a, b], e) ஆனது a, இல் திசையன் மாற்றம் எனப்படும். பி. குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது (a, 1), e) 7.1 வடிவியல் மாற்றம் உருவாக்கத்திற்கான வேறுபாடு திசையன் தொடர்பாக a, b புள்ளி O இலிருந்து (படம். 37) அனைத்து புள்ளிகளும் O, A, B, C இல் உள்ளது அதே பகுதி (திசையன்கள் a, b і с பொதுவாக coplanar என்று அழைக்கப்படுகின்றன), பின்னர் tvir இன் மாற்றம் ([a, b], c) = 0. இது திசையன் [a, b | , і க்கு திசையன் s. / யக்ஷோ மற்றும் t கண் இமைகள் O, A, B, C ஆகியவை ஒரே விமானத்தில் இல்லை (திசையன்கள் a, b і கள் கோப்லனர் அல்லாதவை), அவை OA, OB மற்றும் OS இணையான விளிம்புகளில் இருக்கும் (படம். 38 a) . திசையன் உருவாக்கத்தின் மதிப்புகளுக்கு, maєmo (a, b) = So c, de So என்பது OADB என்ற இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவாகும், மேலும் c என்பது திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு ஒற்றை திசையன் a і b і அதாவது மூன்று a , b, c சரி, அதனால். வெக்டார்ஸ் a, b இஸ் இஸ் இஸ் இஸ் இஸ் இஸ் கிரேட், அது வலது கையின் நடுவிரல் (படம். 38 ஆ). வலப்பக்கத்தில் எஞ்சியுள்ள சமத்துவத்தின் பகுதியின் குற்றத்தை ஒரு திசையன் மூலம் பெருக்கவும்; Zmіshany tvіr. புரவலன் (மூன்று a, b, c - right), і s அடையாளம் "-", வெட்டு என, "+" குறியினால் எடுக்கப்பட்ட, தூண்டப்பட்ட பேரலெல்பைப்பின் எண் prc, முக்கியமாக h ஊமை (மூன்று a, b , c - liv), எனவே டிம் தானே திசையன்கள் a, b மற்றும் z ஐ V parallelepiped தொகுதிக்கு மாற்றுகிறார், மூன்று a, b, c - right , i -V, மூன்று a , B, h - liva போன்றவை. குழப்பமான உருவாக்கத்தின் வடிவியல் உணர்வில் இருந்து, நீங்கள் ஒரு வடிவத்தை உருவாக்கலாம், ஆனால் திசையன்கள் a, b மற்றும் எந்த வரிசையிலும் பெருக்கப்படும், நாங்கள் எப்போதும் +7 அல்லது -K ஐ ஒழுங்கமைப்போம். சின்னம் படம். 38 பெருகும் மூன்று திசையன்கள் - சரியாகவோ இல்லாவிட்டாலும் நாம் அதை கீழே வைக்க முடியாது. திசையன்கள் a, b, சரியான மூன்றை மதிப்பிட்டால், b, c, a மற்றும் c, a, b ஆகிய மூன்று வரிகளும் சரியாக இருக்கும். அந்த நேரத்தில், மூன்று மும்மடங்குகள் b, a, h; a, c, b மற்றும் c, b, a - livi. டிம் அவர்களே, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b) a) மீண்டும், a, b, s coplanar ஆகிய திசையன்களை பெருக்கினால் மட்டுமே சாலையில் கூடுதல் திசையன்கள் இல்லை என்பது ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது: (a, b, z coplanarni) 7. 2. திசையன் a, b, z இன் ஹெக்சாய் ஆயங்களில் சேர்த்தல் மாற்றம் i, j, k: a = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (x3, uz, 23). தீய உயிரினத்திற்கு (a, b, c) வைரஸை நாம் அறிவோம். வெக்டார்களில் நிறைய மாற்றங்கள், ஐ, ஜே, அடிப்படையில் மூன்றாவது வரிசைக்கு அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, இதன் வரிசைகள் திசையன்களிலிருந்து முதல், மற்றொன்று மற்றும் மூன்றாவது ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின்படி மடிக்கப்படுகின்றன, அவை பெருக்கப்படுகின்றன. திசையன்கள் a y \, Z |), b = (x Y2. 22), z = (zh, uz, 23) ஆகியவற்றின் கோப்லானாரிட்டி அடிப்படையில் Y இன் தாக்கும் பார்வையில் பதிவு செய்யப்பட வேண்டியது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. z, a2 y2 -2 = 0. ஆப். திருத்தம், இங்கு є கோப்லனர் திசையன்கள் „= (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17). பார்க்கப்படும் வெக்டார், முதல் வரிசைக்கு கிடைக்காத காரணத்தால் தரிசு நிலத்தில் கோப்லனர் அல்லது கோப்லனர் அல்லாததாக இருக்கும். 7.3 சப்-வெக்டார் சப்-சப்-வெக்டர் ஆட்-ஆன் [a, [b, c]] என்பது திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு திசையன் a і [b, c]. இது திசையன்கள் b மற்றும் உடன் மற்றும் திசையன்களின் பரப்பளவில் இருக்க வேண்டும். சூத்திரம் [a, [!>, C]] = b (a, e) - c (a, b) செல்லுபடியாகும் என்பதைக் காட்டலாம். வலது 1. மூன்று திசையன்கள் AB = c, F? = சுமார் CA = b என்பது ட்ரைகோட்டின் பக்கங்களாகச் செயல்படும். விராசிட்டி மூலம் a, b і திசையன்கள், இவை முச்சக்கரவண்டியின் AM, DN, CP இடைநிலைகளுடன் காட்டப்படும். 2. p மற்றும் q ஆகிய திசையன்களையும், பின்னர் அவைகளுக்கு இடையேயான p + q dliv kut ஐயும் navpil ஐக் கட்டிவிடுவேன் என்று எப்படிச் சொல்ல முடியும்? இது மாற்றப்பட்டது, மூன்று திசையன்களும் ஜால்னி கோப்பிற்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன. 3. a = 5p + 2q மற்றும் b = p - 3q, vidomo என்றால், யார் | ப | = 2v / 2, | கே | = 3 H- (p7ci) = f. 4. அந்த b மூலம் ரோம்பஸின் பக்கங்களைக் குறிப்பிட்டு, வெளிப்புற உச்சியில் இருந்து வெளியே சென்று, ரோம்பஸின் மூலைவிட்டத்தை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக கொண்டு வரவும். 5. a = 4i + 7j + 3k மற்றும் b = 31 - 5j + k ஆகிய திசையன்களின் ஸ்கேலர் கூட்டலைக் கணக்கிடவும். 6. திசையன் a = (6, 7, -6) க்கு இணையான ஒற்றை திசையன் a0 ஐ அறிந்து கொள்ளுங்கள். 7. திசையன் a = l + j-kHa திசையன் b = 21 - j - 3k இன் ப்ராஜெக்ஷனை அறிக. 8. திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள வெட்டு கோசைனை அறிக IS «w, அங்கு A (-4,0,4), B (-1,6,7), C (1,10.9). 9. ஒற்றை திசையன் p °, திசையன் a = (3, 6, 8) மற்றும் அச்சு ஆக்ஸுக்கு செங்குத்தாக ஒரு மணிநேரத்தை அறியவும். 10. திசையன்கள் a = 2i + J-k, b = i-3j + k yak பக்கங்களில் தூண்டப்பட்ட பேரலலோபாமின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையே உள்ள வெட்டு சைனை எண்ணவும். a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, vectors மீது தூண்டப்படும் parallelepiped இன் உயரம் h ஐக் கணக்கிடவும், இணையான வரைபடத்தை அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​a மற்றும் I திசையன்கள் மீதான ஊக்கத்தொகை). வித்போவிடி