Насправді більшість випадкових величин, у яких впливає велика кількість випадкових чинників, підпорядковуються нормальному закону розподілу ймовірностей. Тому у різних додатках теорії ймовірностей цей закон має особливе значення.

Випадкова величина $X$ підпорядковується нормальному закону розподілу ймовірностей, якщо її щільність розподілу ймовірностей має такий вигляд

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Схематично графік функції $f \ left (x \ right) $ представлений на малюнку і має назву "Гауссова крива". Праворуч від цього графіка зображено банкноту в 10 марок ФРН, яка використовувалася ще до появи євро. Якщо добре придивитися, то на цій банкноті можна помітити криву гауса і її першовідкривача найбільшого математика Карла Фрідріха Гауса.

Повернемося до нашої функції щільності $f\left(x\right)$ і дамо деякі пояснення щодо параметрів розподілу $a,\ (\sigma )^2$. Параметр $a$ характеризує центр розсіювання значень випадкової величини, тобто сенс математичного очікування. При зміні параметра $a$ і незміненому параметрі $(\sigma )^2$ ми можемо спостерігати зміщення графіка функції $f\left(x\right)$ вздовж осі абсцис, причому графік щільності не змінює своєї форми.

Параметр $(\sigma )^2$ є дисперсією і характеризує форму кривої графіка щільності $f\left(x\right)$. При зміні параметра $(\sigma )^2$ при незміненому параметрі $a$ ми можемо спостерігати, як графік щільності змінює свою форму, стискаючись чи розтягуючись, у своїй не зсуваючись уздовж осі абсцис.

Імовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал

Як відомо, ймовірність попадання випадкової величини $X$ в інтервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можна обчислювати $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Тут функція $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ - функція Лапласа . Значення цієї функції беруться із . Можна відзначити такі властивості функції $ \ Phi \ left (x \ right) $.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, тобто функція $\Phi \left(x\right)$ є непарною.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно зростаюча функція.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ left (x \ right) \ ) = -0,5 $.

Для обчислення значень функції $\Phi \left(x\right)$ можна також скористатися майстром функція $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right ) -0,5 $. Наприклад, обчислимо значень функції $\Phi\left(x\right)$ за $x=2$.

Можливість попадання нормально розподіленої випадкової величини $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ в інтервал, симетричний щодо математичного очікування $a$, може бути обчислена за формулою

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Правило трьох сигм. Практично достовірно, що нормально розподілена випадкова величина $X$ потрапить в інтервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Приклад 1 . Випадкова величина $X$ підпорядкована нормальному закону розподілу ймовірностей із параметрами $a=2,\sigma =3$. Знайти ймовірність попадання $X$ в інтервал $\left(0,5;1\right)$ і можливість виконання нерівності $\left|X-a\right|< 0,2$.

Використовуючи формулу

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

знаходимо $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over(3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\) over (3))\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left (0,33 \ right) = 0,191-0,129 = 0,062 $.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Приклад 2 . Припустимо, що протягом року ціна на акції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням, рівним 50 умовним грошовим одиницям, і стандартним відхиленням, рівним 10. Чому дорівнює ймовірність того, що у випадково обраний день обговорюваного періоду ціна за акцію буде:

а) понад 70 умовних грошових одиниць?

б) нижче за 50 за акцію?

в) між 45 та 58 умовними грошовими одиницями за акцію?

Нехай випадкова величина $X$ – ціна на акції деякої компанії. За умовою $X$ підпорядкована нормальному закону розподілу з параметрами $a=50$ - математичне очікування, $sigma =10$ - стандартне відхилення. Можливість $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\) over (10)) \ right) = 0,5-Phi \ left (2 \ right) = 0,5-0,4772 = 0,0228.

$$б)\ P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$в)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Задано математичне очікування а=3 та середнє квадратичне відхилення =5 нормально розподіленої випадкової величини Х.

Написати щільність розподілу ймовірностей та схематично побудувати її графік.

Знайти ймовірність того, що х набуде значення з інтервалу (2; 10).

Знайти ймовірність того, що х прийме значення, що перевищує 10.

Знайти інтервал симетричний щодо математичного очікування, в якому з ймовірністю =0,95 буде укладено значення величини х.

1). Складемо функцію щільності розподілу випадкової величини Х з параметрами а=3, =5, скориставшись формулою

. Збудуємо схематично графік функції
. Звернемо увагу на те, що нормальна крива симетрична щодо прямої х = 3 і має max у цій точці, рівний
, тобто.
і дві точки перегину
з ординатою

Побудуємо графік

2) Скористаємося формулою:

Значення функцій знайдені за таблицею програм.

4) Скористаємося формулою
. За умовою ймовірність попадання в інтервал симетричний щодо математичного очікування
. По таблиці знайдемо t, у якому Ф(t)=0,475, t=2. значить
. Таким чином,
. Відповідь х(-1; 7).

До завдань 31-40.

Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного очікування а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо генеральне середнє відхилення =5, вибіркова середня
та обсяг вибіркиn=25.

Потрібно знайти довірчий інтервал
.

Усі величини, крім t, відомі. Знайдемо t із співвідношення Ф(t)=0,95/2=0,475. По таблиці докладання знаходимо t=1,96. Підставивши остаточно отримаємо шуканий довірчий інтервал 12,04

До завдань 41-50.

Відділ технічного контролю перевірив 200 партій однакових виробів та отримав наступний емпіричний розподіл, частота n i – кількість партій, що містять x i нестандартних виробів. Потрібно при рівні значимості 0,05 перевірити гіпотезу про те, що кількість нестандартних виробів Х розподілено згідно із законом Пуассона.

Знайдемо вибіркову середню:

Приймемо як оцінку параметра  розподілу Пуассона вибіркову середню =0,6. Отже, передбачуваний закон Пуассона
має вигляд
.

Поклавши i=0,1,2,3,4 знайдемо ймовірність P i появи i нестандартних виробів у 200 партіях:
,
,
,
,
.

Знайдемо теоретичні частоти за формулою
. Підставивши в цю формулу значення ймовірності, отримаємо
,
,
,
,
.

Порівняємо емпіричні та теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона. Для цього складемо розрахункову таблицю. Об'єднаємо нечисленні частоти (4+2=6) та відповідні їм теоретичні частоти (3,96+0,6=4,56).

приклад 1.Математичне очікування нормально розподіленого безперервного СВ X M(X) = 6, а середнє квадратичне відхилення s( X) = 2.

Знайти: 1) ймовірність влучення значень СВ Xв інтервал (2; 9);

3) інтервал, симетричний щодо a Xіз ймовірністю g = 0,9642.

Рішення. 1) Знайдемо ймовірність влучення значень СВ Xв інтервал (2; 9).

Значення функції Лапласа взяті з таблиці. Враховано властивість непарності функції Ф(– X) = - Ф ( X).

2) Визначимо ймовірність

Так як a = M(X) = 6 і s = s ( X) = 2, то

3) Знайдемо інтервал, симетричний щодо a, до якого потрапляють значення СВ Xіз ймовірністю g = 0,9642.

З таблиці значень функції Лапласа знаходимо, тобто d = 4,2. Тоді інтервал дорівнює -4,2< X – 6 < 4,2 и
1,8 < X < 10,2.

приклад 2.Випадкова величина Т(год.) – час безвідмовної роботи приладу має показовий розподіл. Знайти ймовірність того, що прилад пропрацює без ремонту щонайменше 600 годин, якщо середній час безвідмовної роботи приладів цього типу дорівнює 400 годин.

Рішення. M(T) = 400 год., отже, за такою формулою (1.46) Оскільки для показового розподілу то
0,2233.

приклад 3.Випадкова величина Xрозподілена рівномірно на відрізку [ a, b]. Знайти ймовірність попадання випадкової величини Xна відрізок
, що повністю міститься всередині відрізка [ a, b].

Рішення. Скористаємося формулою де щільність імовірності

.

Таким чином

приклад 4.Електропоїзди йдуть строго за розкладом з інтервалом
20 хв. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійшов до платформи, чекатиме на черговий електропоїзд понад 10 хв., а також середній час очікування.

Рішення. X– час очікування (хв.) електропоїзда, можна вважати рівномірно розподіленою випадковою величиною із щільністю:

і це середній час очікування електропоїзда.

Приклад 5.Автомат виготовляє втулки. Втулка вважається придатною, якщо відхилення Xїї діаметра від проектного розміру за абсолютною величиною менше 1мм. Вважаючи, що випадкова величина Xрозподілена нормально із середнім квадратичним відхиленням s = 0,5 мм та математичним очікуванням a= 0, знайти скільки буде придатних втулок серед 100 виготовлених, а також ймовірність того, що відхилення від проектного розміру буде не менше 0,4 мм і не більше 0,8 мм.

Рішення. Скористаємося формулою () при d = 1, s = 0,5 та a = 0.

Звідси випливає, що приблизно 95 втулок із 100 виявляться придатними.

Для знаходження ймовірності того, що відхилення від проектного розміру буде не менше 0,4 мм і не більше 0,8 мм, скористаємося формулою (1.54)

при a= 0, s = 0,5, a = 0,4, b = 0,8.

Значення функції Ф( x) Знаходимо по таблиці.

Варіанти завдань

ВАРІАНТ 1

X (CB X) задана поруч розподілу:

x i
p i	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

F(x М(X), дисперсію D(XX), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(8≤ X < 30). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. Кожен із стрільців стріляє по мішені один раз. Імовірність того, що перший, другий і третій стрілки потраплять у ціль при одному пострілі, відповідно дорівнюють 0,8; 0,6 та 0,9. Для
CB Х– загальної кількості попадань у ціль за вказаних умов, скласти ряд розподілу та знайти F(x), M(X), s ( X) та D(X).

Завдання 3. Імовірність появи певної події Ау кожному досвіді дорівнює 0,6. Потрібно: 1) побудувати низку розподілу дискретної CB X– числа події Ау чотирьох незалежних дослідах; 2) оцінити ймовірність того, що в серії з 80 незалежних дослідів ця подія з'явиться щонайменше 60 разів.

Завдання 4. Дискретне CB Xзадана поруч розподілу:

x i	–2	–1
p i	0,05	0,10	0,15	?	0,15	0,20	0,10

Знайти ряд розподілу CB Y = –2X 2 + 3, M(Y) та D(Y).

Завдання 5. Безперервне CB X

Знайти: а) щільність розподілу f(x); б) M(x); в) г) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях CB Xрівно двічі набуде значень, що належать інтервалу

Завдання 6. Задано функцію

A CB X. Знайти F(x), M(X) та D(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 14 і s( X СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо a CB Хіз ймовірністю g = 0,8385.

Завдання 8. Шкала секундоміра має ціну поділу 0,2 с. Відлік часу робиться з точністю до цілого поділу із заокругленням у найближчу сторону. Помилка відліку за зазначених умов вважатимуться рівномірно розподіленої випадкової величиною.

Знайти ймовірність зробити за цим секундоміром відлік часу з помилкою: а) менше 0,05 с; б) не менше 0,01 с та не більше 0,05 с.

ВАРІАНТ 2

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i	–2	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(–2≤ X < 5). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. У лотереї 100 квитків, у тому числі 10 выигрышных. Хтось купує 4 квитки. Для СВ Х– числа виграшних квитків серед тих, що будуть куплені, скласти низку розподілу та знайти F(x), М(X), s ( X).

Завдання 3. Звіти складаються незалежно один від одного. Імовірність припуститися помилки при складанні кожного звіту дорівнює 0,3. Потрібно: 1) побудувати низку розподілу CB X –числа звітів з помилками серед чотирьох складових; обчислити M(X), D(X) та s( X); 2) оцінити ймовірність того, що при складанні 50 звітів дорівнюватиме 20 звітів з помилками.

Завдання 4. Відомо, що дискретна CB Xможе приймати лише два значення x 1 = -2 і x 2 = 3 та її математичне очікування M(X) = 1,5. Скласти ряди розподілу CB Xі CB Z= Знайти F(z) та s( Z).

Завдання 5. Безперервне CB Xзадана функцією розподілу

f(x); 2) M(x) та D(X);
3) 4) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях CB Xрівно один раз набуде значення, що належить інтервалу (1; 4).

Завдання 6. Задано функцію

Визначити значення параметра A, при якому ця функція задає щільність розподілу ймовірності деякої безперервної CB X. Знайти F(x), M(X), D(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 12 і s( X СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо aінтервал, до якого потрапляють значення CB Хіз ймовірністю g = 0,4515.

Завдання 8. Випадкова помилка виміру деякої деталі підпорядкована нормальному закону з параметром s = 20 мм. Знайти ймовірність того, що: а) вимірювання деталі зроблено з помилкою, яка не перевищує за модулем 22 мм; б) у жодному з двох вироблених вимірювань помилка не перевищить за модулем 22 мм.

ВАРІАНТ 3

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i
p i	0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(1≤ X < 7). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. З трьох спортсменів, які увійшли до молодіжної збірної країни на змаганнях зі стрибків у висоту, один може пройти кваліфіковані старти з ймовірністю 0,9, другий із ймовірністю 0,8 та третій із ймовірністю 0,6. Для CB Х– кількості спортсменів збірної, які пройдуть у наступне коло змагань, скласти низку розподілу та знайти M(X), s ( X).

Завдання 3. Виконується серія незалежних пострілів за мету. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,8. Потрібно: 1) побудувати низку розподілу CB X –числа попадань при трьох пострілах; 2) оцінити ймовірність того, що за 100 пострілів буде не менше 90 попадань.

Завдання 4. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i	–3	–2	–1
p i	0,1	0,2	0,3	0,2	?

Знайти ряд та функцію розподілу CB Y = 2X + 1, M(Y) та D(Y).

Завдання 5. Безперервне CB Xзадана функцією розподілу

Знайти: 1) щільність розподілу f(x); 2) M(x) та D(X);
3) P(–2,3 < X <1,5);4) вероятность того, что в трех независимых испытаниях CB Xрівно двічі набуде значень, що належать інтервалу (–2,3; 1,5).

Завдання 6. Задано функцію

Визначити значення параметра A, при якому ця функція задає щільність розподілу ймовірності деякої безперервної CB X. Знайти F(x), і M(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 13 і s( X СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо aінтервал, до якого потрапляють значення CB Хіз ймовірністю g = 0,9973.

Завдання 8. Відомо, що час ремонту телевізора є випадковою величиною X, розподілена за показовим законом, у своїй середній час ремонту телевізора становить два тижні. Знайти ймовірність того, що на ремонт привезеного в майстерню телевізора знадобиться: а) менше 10 днів; б) від 9 до 12 днів.

ВАРІАНТ 4

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i	–10	–5
p i	0,1	0,1	0,4	0,1	0,3

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(–10≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. У чергового є 5 різних ключів від різних кімнат. Вийнявши навмання ключ, він намагається відчинити двері однієї з кімнат. Для дискретної CB X– числа спроб відкрити двері (перевірений ключ вдруге не використовується) скласти ряд розподілу та знайти F(x) та M(X).

Завдання 3. Імовірність виготовлення деталі із заданими параметрами точності із стандартної заготівлі для кожної деталі дорівнює 0,8.

Потрібно: 1) побудувати низку розподілу CB X– числа деталей із заданими точнісними характеристиками, які будуть виготовлені із п'яти стандартних заготовок; 2) оцінити ймовірність того, що буде виготовлено 70 деталей із заданими точнісними характеристиками із 90 заготовок.

CB Xі Y:

x i
p i	?	0,5	0,2

y i
p i	0,6	?

Скласти низку розподілу CB Z = Y – X. Знайти M(Z) та D(Z).

Завдання 5. Безперервне CB Xзадана функцією розподілу

Знайти: 1) щільність розподілу f(x); 2) M(x); 3) CB Xрівно три рази прийме значення, що належать інтервалу

Завдання 6. Задано функцію

Визначити значення параметра A, при якому ця функція задає щільність розподілу ймовірності деякої безперервної CB X. Знайти F(x), M(X) та D(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 16 і s( X) = 2 нормально розподіленої безперервної СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо aінтервал, до якого потрапляють значення CB Хіз ймовірністю g = 0,9281.

Завдання 8. Зростання дорослого чоловіка є СВ Х, розподіленої за нормальним законом із параметрами а= 175 см і s = 10 см. Знайти ймовірність того, що зростання випадково обраного чоловіка виявиться: а) менше 180 см; б) щонайменше 170 див і трохи більше 175 див.

ВАРІАНТ 5

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i
p i	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(40≤ X < 80). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. Мета складається з кола і двох концентричних кілець. Попадання в коло дає 6 очок, в кільце 2 дає 4 очки, а влучення в кільце 3 дає два очки. Імовірності влучення в коло та кільця 2 і 3 відповідно дорівнюють 0,2; 0,3 та 0,5. Для дискретної СВ Х– суми вибитих очок у результаті трьох влучень, скласти низку розподілу та знайти F(x), M(X), s ( X).

Завдання 3. Автоматична лінія складається з nнезалежно працюючих однотипних верстатів. Імовірність того, що верстат вимагає налагодження протягом зміни для кожного верстата дорівнює 0,3. Потрібно: 1) побудувати низку розподілу CB X– числа верстатів, яким знадобиться налагодження протягом зміни, якщо n= 4; 2) оцінити ймовірність того, що за зміну вимагатимуть налагодження 20 верстатів, якщо n = 100.

Завдання 4. Спільний розподіл дискретних CB Xі Yподано таблицею:

Y X
	0,20	0,15	0,10
	0,30	0,20	0,05

Скласти закон розподілу CB Z = Y + X. Знайти M(Z) та D(Z).

Завдання 5. Безперервне CB Xзадана функцією розподілу

Знайти: 1) щільність розподілу f(x); 2) M(x) та D(X);
3) P(3 < X < 9); 4) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях CB Xрівно двічі набере значення, що належать інтервалу (3; 9).

Завдання 6. Задано функцію

Визначити значення параметра A, при якому ця функція задає щільність розподілу ймовірності деякої безперервної CB X. Знайти F(x), M(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 10 і s( X) = 4 нормально розподіленої безперервної СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо aінтервал, до якого потрапляють значення CB Хіз ймовірністю g = 0,5161.

Завдання 8. Хвилинна стрілка електричного годинника переміщається стрибком наприкінці кожної хвилини. Випадкова величина X- Різниця між часом, що показується на табло і істинним часом має рівномірний розподіл. Знайти ймовірність того, що в певний момент часу годинник вкаже час, який відрізняється від істинного: а) не менше ніж на 10 с і не більше ніж на 25 с; б) щонайменше, ніж 25 з.

ВАРІАНТ 6

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i	–5	–3	–1
p i	0,2	0,2	0,1	0,4	0,1

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(– 3≤ X < 1). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. У групі 12 студентів, з яких 5 мешкають у гуртожитку. За списком навмання відбираються 4 студенти. Для СВ Х– кількості студентів, які проживають у гуртожитку, серед тих, хто буде відібраний, скласти низку розподілу та знайти F(x), M(X) та D(X).

Завдання 3. При виготовленні однотипних деталей на застарілому устаткуванні кожна деталь може бути бракованою з ймовірністю 0,1. Побудувати низку розподілу CB X< 3);
4) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуваннях CB Xрівно двічі набере значення, що належать інтервалу (1; 3).

Завдання 6. Задано функцію

Визначити значення параметра A, при якому ця функція задає щільність розподілу ймовірності деякої безперервної CB X. Знайти F(x), M(X) та D(X). Побудувати графік F(x).

Завдання 7. Задані M(X) = 11 і s( X) = 3 нормально розподіленої безперервної СВ X. Знайти:

1) ймовірність ;

2) ймовірність ;

3) симетричний щодо aінтервал, до якого потрапляють значення CB Хіз ймовірністю g = 0,9973.

Завдання 8. Термін безвідмовної роботи телевізора даної марки є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом із параметрами а= 12 років та s = 2 роки. Знайти ймовірність того, що телевізор пропрацює без ремонту: а) від 9 до 12 років;
б) щонайменше 10 років.

ВАРІАНТ 7

Завдання 1. Дискретна випадкова величина X (CB X) задана поруч розподілу:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,2

Знайти: 1) функцію розподілу F(x); 2) числові характеристики: математичне очікування М(X), дисперсію D(X), середнє квадратичне відхилення s( X), моду M 0 (Х); 3) ймовірність P(2≤ X < 10). Построить многоугольник распределения и график F(x).

Завдання 2. Робочий обслуговує 4 незалежно працюючі верстати. Імовірність того, що протягом години верстат не вимагатиме уваги робітника для першого верстата дорівнює 0,7; для другого – 0,75; для третього – 0,8; для четвертого – 0,9. Для дискретної СВ Х– число верстатів, які не вимагатимуть уваги робітника протягом години, скласти низку розподілу та знайти F(x), M(X) та D(X).

Завдання 3. Є nнезалежно працюючих верстатів. Побудувати низку розподілу CB X– числа верстатів, що працюють на даний момент часу, якщо n= 6, а можливість того, що верстат працює в даний момент часу дорівнює 0,9; обчислити M(X) та D(X). Оцінити ймовірність того, що на підприємстві, у якого n= 180 і ймовірність роботи для кожного верстата дорівнює 0,98, число верстатів, що працюють в даний момент, буде не менше 170.

Завдання 4. Задано закони розподілу незалежних дискретних CB Xі Y:

x i
p i	0,3	?	0,5

y i	–2	–1
p i	?	0,4

Скласти низку розподілу CB Z = XY+ 2. Знайти M(Z) та D(Z).

Імовірність того, що відхилення СВ Xвід її М.О. aпо абсолютній величині буде менше заданого позитивного числа

Якщо в цій рівності покласти, то отримаємо

s w:space="720"/>"> ,

Тобто нормально розподілена СВ Xвідхиляється від свого М.О. a, як правило, менш ніж на 3 .У цьому полягає так зване правило 3 сигм, Яким часто користуються в математичній статистиці

Функція однієї випадкової величини. Математичне очікування функції однієї СВ (тетр)

Якщо кожному можливому значенню випадкової величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини Y , то Y називають функцією випадкового аргу-менту Х: Y = φ (X ).

З'ясуємо, як знайти закон розподілу функції за відомим законом розподілу аргументу.

1) Нехай аргумент Х – дискретна випадкова величина, причому різним значенням Х відповідають різні значення Y . Тоді ймовірність відповідних значень Х і Y рівні .

2) Якщо різним значенням Х можуть відповідати однакові значення Y , то ймовірності значень аргументу, у яких функція приймає одне й те значення, складаються.

3) Якщо Х - Безперервна випадкова величина, Y = φ (X ), φ (x ) – монотонна та диференційована функція, а ψ (у ) - функція, зворотна до φ (х ).

Математичне очікування функції одного випадкового аргументу.

Нехай Y = φ (X ) – функція випадкового аргументу Х , і потрібно знайти її математичне очікування, знаючи закон розподілу Х .

1) Якщо Х – дискретна випадкова величина, то

2) Якщо Х - Безперервна випадкова величина, то M (Y ) можна шукати по-різному. Якщо відома щільність розподілу g (y ), то

21. Функція двох довільних аргументів. Розподіл функції Z=Х+У для дискретних незалежних СВ Х та У.(тетр)

Якщо кожній парі можливих значень випадкових велич X і У відповідає одне можливе значення випадкової величини Z, Z називають функцією двох випадкових аргументів X і Y і пишуть Z = φ (X, Y). Якщо X і Y-дискретні незалежні випадкові величини, то, щоб знайти розподіл функції Z=X+Y, треба знайти всі можливі значення Z, для чого достатньо скласти кожне можливе значення X з усіма можливими значеннями Y; ймовірності знайдених можливих значень Z дорівнюють творам ймовірностей значень X і Y, що складаються. в інтервалі (- оо, оо) однією формулою) може бути знайдена за формулою або за рівносильною формулою , де f1 і f2-щільності розподілу аргументів; якщо можливі значення аргументів невід'ємні, то щільність розподілу g(z) величини Z = X + Y знаходять за формулою або за рівносильною формулою . У тому випадку, коли обидві густини f1(x) і f2(y) задані на кінцевих інтервалах, для відшукання густини g(z) величини Z = X+Y доцільно спочатку знайти функцію розподілу G(z), а потім продиференціювати її по z : g(z) = G'(z). Якщо X і Y-незалежні випадкові величини, задані відповідними щільностями розподілу f1(x) і f2(y), то ймовірність попадання випадкової точки (X, Y) в область D дорівнює подвійному інтегралу по цій галузі від добутку щільностей розподілу: Р [( Х, У)сD] = . Дискретні незалежні випадкові величини X та Y задані розподілами:

Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4

Знайти розподіл випадкової величини Z = X + K. Рішення. Щоб скласти розподіл величини Z=X+Y, треба знайти всі можливі значення Z та його ймовірності. Можливі значення Z є суми кожного можливого значення X із усіма можливими значеннями Y: Z 1 = 1+2=3; z 2 = 1 +4 = 5; z 3 =3 +2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Знайдемо ймовірність цих можливих значень. Щоб Z=3, достатньо, щоб величина X прийняла значення x1= l і величина К-значення y1=2. Імовірності цих можливих значень, як випливає з цих законів розподілу, відповідно дорівнюють 0,3 та 0,6. Так як аргументи X і Y незалежні, то події Х = 1 і Y = 2 незалежні н, отже, ймовірність їхнього спільного наступу (тобто ймовірність події Z = 3) за теоремою множення раїну 0,3 * 0,6 = 0 ,18. Аналогічно знайдемо:

Я B = !-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12;

P(Z = 34-2 = 5) = 0,7 0.6 = 0,42;

P(Z = 3-Й = 7) = 0,7-0,4 = 0.28. Напишемо шуканий розподіл, склавши попередньо ймовірність несумісних подій Z = z 2 = 5, Z = z 3 = 5 (0,12 +0,42 = 0,54):

Z 3 5 7; Р 0,18 0,54 0,28. Контроль: 0,18+0,54+0,28=1.

Як було сказано раніше, прикладами розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х є:

• рівномірний розподіл
• показовий розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини;
• нормальний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини.

Дамо поняття нормального закону розподілу, функції розподілу такого закону, порядку обчислення ймовірності влучення випадкової величини Х у певний інтервал.

№	Показник	Нормальний закон розподілу	Примітка
	Визначення	Нормальним називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, щільність якого має вигляд
			де m x – математичне очікування випадкової величини Х, x – середнє квадратичне відхилення
2	Функція розподілу
	Ймовірність потрапляння до інтервалу (а;b)		- інтегральна функція Лапласа
	Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менша за позитивне число δ		при m x = 0

Приклад розв'язання задачі на тему «Нормальний закон розподілу безперервної випадкової величини»

Завдання.

Довжина X деякої деталі є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом розподілу, і має середнє значення 20 мм і середнє квадратичне відхилення - 0,2 мм.
Необхідно:
а) записати вираз щільності розподілу;
б) знайти ймовірність того, що довжина деталі буде укладена між 19,7 та 20,3 мм;
в) знайти можливість, що величина відхилення вбирається у 0,1 мм;
г) визначити, який відсоток становлять деталі, відхилення яких від середнього значення не перевищує 0,1 мм;
д) визначити, яким має бути задане відхилення, щоб відсоток деталей, відхилення яких від середнього не перевищує заданого, підвищився до 54%;
е) знайти інтервал, симетричний щодо середнього значення, в якому буде X з ймовірністю 0,95.

Рішення. а)Щільність ймовірності випадкової величини X, розподіленої за нормальним законом знаходимо:

за умови, що m x =20, =0,2.

б)Для нормального розподілу випадкової величини ймовірність потрапити в інтервал (19,7; 20,3) визначається:
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2 * 0,4332 = 0,8664.
Значення Ф(1,5) = 0,4332 знайшли в додатках, у таблиці значень інтегральної функції Лапласа Φ(x) ( Таблиця 2 )

в)Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа 0,1 знайдемо:
Р(|Х-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значення Ф(0,5) = 0,1915 знайшли в додатках, в таблиці значень інтегральної функції Лапласа Φ(x) ( Таблиця 2 )

г)Оскільки ймовірність відхилення, меншого 0,1 мм, дорівнює 0,383, то звідси випливає, що в середньому 38,3 деталі зі 100 виявляться з таким відхиленням, тобто. 38,3%.

д)Оскільки відсоток деталей, відхилення яких від середнього вбирається у заданого, підвищився до 54%, то Р(|Х-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Використовуючи програму ( Таблиця 2 ), знаходимо δ/σ = 0,74. Звідси δ = 0,74 * σ = 0,74 * 0,2 = 0,148 мм.

е)Оскільки шуканий інтервал симетричний щодо середнього значення m x = 20, його можна визначити як безліч значень X, що задовольняють нерівності 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

За умовою ймовірність знаходження X в інтервалі, що шукається, дорівнює 0,95, значить P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Використовуючи програму ( Таблиця 2 ), знаходимо δ/σ = 1,96. Звідси δ = 1,96 * σ = 1,96 * 0,2 = 0,392.
Шуканий інтервал : (20 - 0,392; 20 + 0,392) або (19,608; 20,392).