Конус. Осьовий переріз конуса. Перетину конуса площинами. Усічений конус. Вписані та описані піраміди та конуси

Конус- Це тіло, що складається з кола, точки, що не лежить на площині кола, і відрізків, що з'єднують цю точку з точками кола.

Основою конуса є коло, вершиною конуса є точка, що не лежить у площі кола, що утворюють конуса є відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола основи.

Прямим є конус, у якого пряма, що з'єднує вершину конуса із центром його основи, перпендикулярна до площини основи. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Осі прямого конуса пряма, що містить його висоту.

Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає конус по колу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.

Якщо січна площина проходить через вісь конуса, його перетин— це рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а бічні сторони утворюють конуса. Такий переріз називається осьовим.

Конус, осьовий переріз якого є рівностороннім трикутникомназивається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини основи, його перетин — це рівнобедрений трикутник, основа якого є хордою основи конуса, а бічні боку — утворюють конуса.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи конуса, то перетин є коло з центром на осі конуса. Така січна площина розсікає конус на дві частини - конус та усічений конус. Кола, що лежать у паралельних площинах цього конуса, - його основи; відрізок, що з'єднує їх центри, - це висота зрізаного конуса.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є багатокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є утворюючими конуси.

Стосовною площиною до конусаназивається площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю утворюючу.

Пірамідою, що описана біля конуса, називається піраміда, основою якої є багатокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.

p align="justify"> Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами до конуса.

Це цікаво. Якщо геометрії для зображення фігур використовують паралельне проектування, то живопису, архітектурі, фотографії використовують центральне проектування.

Наприклад, у просторі зафіксовано деяку точку О (центр проектування) та площину α, яка не проходить через цю точку. Через точку простору та центр проектування проведено пряму, яка перетинає задану площину в точці, яку називають центральною проекцією точки на площину. Центральне проектування не зберігає паралельність. Зображення просторових постатей на площині за допомогою центрального проектування називається перспективою. Теорією перспективи займалися художники Леонардо да Вінчі та Альбрехт Дюрер.

Джерело завдання: Рішення 4849. ЄДІ 2016 Математика, І.В. Ященко. 36 варіантів. Відповідь.

Завдання 14.Радіус основи конуса дорівнює 12 а висота конуса дорівнює 5.

а) Побудуйте перетин конуса площиною, що проходить через вершину конуса та взаємно перпендикулярні утворюючі.

б) Знайдіть відстань від площини перерізу до центру основи конуса.

Рішення.

а)Взаємно перпендикулярні утворюючі дають прямий кут, отже, перетин – прямокутний трикутник ASB з гіпотенузою AB і катетами AS і BS (див. малюнок).

б)Відстань від площини перерізу до центру основи конуса O є відрізок OK (див. рисунок). Спочатку знайдемо довжину відрізка AB із прямокутного трикутника ABS. Відрізки AS=SB=13 і з теореми Піфагора маємо:

.

Тепер знайдемо довжину ON із прямокутного трикутника AON. Оскільки трикутник AOB рівнобедрений, висота ON також є медіаною, отже, катет AN=AB:2, і ON дорівнює:

.

Знайдемо довжину відрізка SN із прямокутного трикутника ASB. Можна помітити, що SN - це висота, проведеного з прямого кута, а відрізки AN і BN – це радіуси описаного кола навколо трикутника. Отже, SN - це теж радіус і (Див. малюнок).

Відрізок OK висотою прямокутного трикутника SON. Знайдемо його висоту із формули площі

,

де - Формула площі для прямокутного трикутника, тобто.

Конспект уроку на тему:

«Конус. Перетин конуса площинами.

Розробила:

викладач математики ДБПОУ КТТ

Саричева С.В.

Цілі та завдання уроку :

Освітні: познайомити учнів із поняттям конічної поверхні та конуса; розглянути основні елементи конусу; прищепити навички побудови конуса; розглянути різні видиперерізів конуса; здійснити зв'язок між новим матеріалом та вивченням циліндра. Щеплювати вміння реалізовувати отримані знання під час вирішення завдань різного рівня складності, у тому числі тестових завдань.

Розвиваючі: сприяти розвитку просторової уяви; проводити аналогію з раніше вивченим матеріалом; розвивати логічне мислення учнів, кмітливість, розширювати їхній кругозір.

Виховують: продовжувати виховувати в учнів поважне ставлення одне до одного; виховувати культуру мови, акуратність.

Тип уроку : урок вивчення нового матеріалу

Методи навчання : інформаційно-ілюстративний, елементи інформаційних технологій, проблемний метод «незакінчених рішень», елементи лекції.

Форми роботи учнів : індивідуальна та групова.

Обладнання для уроку : мультимедійний проектор, екран, ноутбук, презентація до уроку, моделі тіл обертання, підручник, штатив, дріт.

Прогнозований результат : вміти оперувати поняттями вісь конуса, що утворює, радіус, діаметр, висота, бічна поверхня, перерізи; вміти розпізнавати їх на малюнках, вміти наводити приклади предметів, що мають форму конуса, вміти вирішувати завдання з використанням даних понять.

План уроку :

Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання.

Актуалізація знань.

Вивчення конусу.

Програмоване опитування.

Розв'язання задач.

Домашнє завдання.

Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку.

Організаційний момент.

Перевірити підготовку групи на роботу, відзначити відсутніх. Налаштувати учнів працювати.

Арабський математик Х століття стверджував: «Знання - найчудовіше з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить». (Абу-р-Райхан ал - Біруні) (Слайд 1)

Перевірка домашнього завдання.

Для перевірки теоретичної частини домашнього завдання проводиться переднє опитування. Учням пропонується відповісти на питання альтернативного тесту (відповіді лише «так» та «ні»).

Чи може осьовий переріз циліндра бути квадратом, трапецією, прямокутником, кругом?

Чи правильно, що у прямого циліндра утворює рівну висоті?

Чи вірно, що будь-який переріз циліндра площиною, перпендикулярною до осі, є коло, що дорівнює колу основи?

Чи правильно, якщо радіус дорівнює 12 см, то діаметр дорівнює 240?

Під час фронтального опитування на дошці відтворюється вирішення домашніх завдань, якщо виникли питання щодо вирішення.

Актуалізація знань.

Згадайте, будь ласка, як ми вивчали циліндр. З чого ми розпочинали вивчення? З того, що спробували знайти довкола нас тіла, що мають циліндричну форму. Далі ми розглянули поняття циліндра, його основні елементи, перерізи.

Аналогічним чином сьогодні ми знайомитимемося з конусом. Огляньтеся навколо та назвіть тіла, які мають конічну форму. (Слайд 2-8)

Отже, тема уроку Конус. Перетин конуса площинами. (Слайд9-10) (Учні записують тему в зошит.)

Викладення нового матеріалу.

Історична довідка. (Слайд 11)

Конус у перекладі з грецької «konos» означає « соснова шишка». З конусом люди знайомі з глибокої давнини. Питаннями вивчення конуса займалися Архімед, Демокріт, Платон, Сократ. Апполоній Пергський написав великий трактат про конічні перерізи (260-170 р. до н.е.). Він був учнем Евкліда (IIIв. до зв. е.). Евклід створив велика працяіз 15 книг під назвою «Початки». Ці книжки видаються й у час, а школах Англії з них навчаються досі.

Конічною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої, що переміщається в просторі так, що вона при цьому постійно проходить через нерухому точку А і перетинає цю лініюMN. (Слайд 12)

Конусом називається тіло, обмежене частиною поверхні, розташованої по одну сторону від нерухомої точки, і площиною, що перетинає всі прямі з тієї ж сторони від точки. (Слайд 13)

Ми вивчатимемо конус, у якого площина, що перетинає прямі, має вигляд кола. Дамо йому визначення: конусом (круговим) називається тіло, яке складається з кола - основи конуса, точки, що не лежить у площині цього кола, - вершини конуса та всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи, - утворюють. (Слайд 14)

Конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника довкола одного з катетів. (Слайд 15) (У зошиті виконується малюнок.)

Для розширення та поглиблення знань учнів на тему проводиться експеримент. Учням пропонується штатив та дріт, з якого необхідно вигнути прямокутний трикутник. Закріпивши його на штативі, вони обертають навколо одного з катетів. При цьому отримують наочне уявлення про конус. (Слайд 16)

Конус називається прямим, якщо висота перпендикулярна площині основи. (Слайд 17)

Розглянемо основні елементи конусу. (Слайд 14)

(Учні виконують малюнок у зошит і роблять необхідні записи.)

Познайомимося із перерізами конуса площинами.

Перерізом конуса паралельним площині основи є коло.

Радіус перерізу обчислюється за формулою , де - Висота малого конуса, а висота великого конусу. (Слайд 17)

Осьовий переріз конуса проходить через вісь симетрії та діаметр основи.

Воно має вигляд рівнобедреного трикутника, у якого рівні сторони є утворюючими, а основа – діаметром кола. . Висота, що утворює і радіус складають прямокутний трикутник і пов'язані теоремою Піфагора: . (Слайд 18)

5. Програмоване опитування.

Мета опитування – перевірити засвоєння розібраної теми. Завдання висвічується на екрані проектора. Учні мають два листочки, на яких під копірку пишуть відповіді на запитання. Один листок здається вчителеві, другий залишається у них, щоб виконати самоперевірку.

На малюнку вкажіть (слайд 20-21)

Радіуси основи конуса.

Висота конуса.

Утворюючи конус.

Осьовий переріз

6. Розв'язання задач.

№ 1. Для участі в маскараді необхідно виготовити ковпак заввишки 40 см. Якою довжиною має бути бічна сторона ковпака та його радіус, якщо розмір голови 36 см? (Слайд 22)

№ 2. Якою висоти має бути намет, якщо діаметр основи дорівнює 5 м, а розтяжки, що утримують намет, дорівнюють 8 м? (Слайд 23)

7. Домашнє завдання.

П. 184 - 185 стор.322-324, № 9 і № 10 на стор. 335. (Слайд 24)

8. Підбиття підсумків уроку.

Для підбиття підсумків уроку повернемося до слайду з прогнозованими результатами. Скажіть, чи досягли ми поставленої мети. Для опитування можна підняти 2-3 учнів.

Додаток:

Слайд 1 Слайд 2

Слайд 19 Слайд 20

Слайд 21 Слайд 22

Слайд 23 Слайд 24

Циліндр є тілом, що складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (Рис.1).

Два кола, що лежать у паралельних площинах, називаються основами циліндра. Відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл кіл, називаються утворюючими.

Оскільки основи поєднуються паралельним переносом, всі вони рівні. І оскільки вони лежать у паралельних площинах, то утворюють циліндри паралельні та рівні.

Якщо утворюють перпендикулярні до основи, то циліндр називається прямим.

Поверхня циліндра складається з двох основ та бічної поверхні. Бічна поверхня складається з утворюючих.

Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Радіусом циліндра називається радіус його основи. А висотою циліндра називається відстань між площинами його основ.

Перетин циліндра площинами

Якщо взяти перетин циліндра площиною, що проходить його осі, то вийде прямокутник. (Рис.1) Такий переріз називається осьовим. Перетин циліндра площиною, паралельної його осі, також є прямокутником. Дві його сторони - утворюють циліндри, а дві інші сторони - паралельні хорди основ.

Теорема. Площина перерізу циліндра, паралельна його площині основи, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи. (Рис.1.1)

Нехай площина - січна площина, паралельна основі. Піддамо площину α руху вгору вздовж осі циліндра. Паралельним перенесенням сумісний площину з площиною верхньої основи циліндра. Таким чином, переріз бічної поверхні збігається з колом верхньої основи. Теорему доведено.

При перетині прямого кругового конуса з площиною можуть утворюватися такі криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола. Вигляд цих кривих залежить від кута нахилу сіючої площини до осі конічної поверхні.

Нижче ми розглянемо завдання, в якому потрібно побудувати проекції та натуральну величину перерізу конуса площиною α . Початкові дані представлені нижче.

Визначення вищої та нижчої точки перерізу. Межі видимості

Побудова лінії перетину слід розпочинати з знаходження її характерних точок. Вони визначають межі перерізу та його видимість по відношенню до спостерігача.

Через вісь конічної поверхні проведемо допоміжну площину, паралельну П 2 . Вона перетинає конус по двом утворюючим, а площина по фронталі f . Точки 1 і 2 перетину f з утворюючими є граничними точками. Вони ділять перетин на видиму та невидиму частини.

Визначимо найвищу та нижчу точки лінії перетину. Для цього через вісь конуса перпендикулярно h 0 α введемо додаткову площину β, що сить. Вона перетинає конічну поверхню утворюючим SL і SK, а площину по прямій MN. Шукані точки 3 = SL ∩ MN і 4 = SK ∩ MN визначають велику вісь еліпса. Його центр знаходиться в точці O, яка поділяє відрізок 3-4 навпіл.

Визначення проміжних точок та проекцій еліпса

Щоб побудувати проекції перерізу найточніше, знайдемо низку додаткових точок. Що стосується еліпсом доцільно визначити величину його малого діаметра. Для цього через центр O проводимо допоміжну горизонтальну площину. Вона перетинає конічну поверхню по колу діаметром AB, а площина - по горизонталі h δ. Будуємо горизонтальні проекції кола та прямий h δ . Їх перетин визначає точки 5" і 6" малого діаметра еліпса.

Для побудови проміжних точок 7 та 8 вводимо допоміжну горизонтальну площину ε. Проекції 7" та 8" визначаються аналогічно 5" і 6", як це показано на малюнку.

Поєднавши знайдені точки плавної кривої, ми одержали контур еліптичного перерізу. На малюнку він позначений червоним кольором. Фронтальна проекція контуру змінює свою видимість у точках 1 та 2, як це було зазначено вище.

Щоб знайти натуральну величину перерізу, повернемо площину до поєднання її з горизонтальною площиною . Як осі обертання використовуватимемо слід h 0 α . Його становище у процесі перетворень залишиться незмінним.

Побудова починається з визначення напрямку фронтального сліду f1α. На прямій f 0 α візьмемо довільну точку E і визначимо її проекцію E". З E" опустимо перпендикуляр до h 0 α. Перетин даного перпендикуляра з колом радіусом X α E"" визначає положення точки E" 1 . Через X α і E" 1 проводимо f 1 α .

Будуємо проекцію горизонталі h" 1 δ h 0 α , як це показано на малюнку. Точки O" 1 і 5" 1 , 6" 1 лежать на перетині h" 1 δ з прямими, проведеними перпендикулярно h 0 α з O" і 5 "6". Аналогічно на горизонталі h" 1 ε знаходимо 7" 1 і 8" 1 .

Будуємо проекції фронталів f" 1 γ f 1 α , f" 3 f 1 α і f" 4 ? f 1 α . перпендикулярами, відновленими до h 0α з 1", 2", 3" та 4" відповідно.

Лекція 16. ПРОЕКЦІЇ КОНУСУ

Конус – тіло обертання.

Прямий круговий конус відноситься до одного з видів тіл обертання.

Конічна поверхня утворюється прямою лінією, що проходить через деяку нерухому точку і послідовно через усі точки деякого

рій кривий напрямної лінії. Нерухома точка S називається вершиною. Підставою конуса служить поверхня, утворена замкненою напрямною.

Конус, основою якого є коло, а вершина S знаходиться на осі

перпендикулярною підставі, що проходить через його середину, називається прямим кру-

ним конусом. Мал. 1.

Побудова ортогональних проекцій конуса наведено на рис. 2.

Горизонтальна проекція конуса є коло, рівну підставі конуса, а вершина конуса S збігається з її центром. На фронтальну та профільну проекції конус проектується у вигляді трикутні-

ка, ширина основи якого дорівнює діаметру основи. А висота дорівнює висоті конуса. Похилі сторони трикутника - проекції крайніх (нарисових), що утворюють конуса.

		Побудова конуса в прямокутник
		ної ізометрії наведено на рис. 2.
		Побудову починаємо з розташу-
		ня аксонометричних осей OX, OY, OZ,
		провівши їх під кутом 1200 один до одного. Ось
		конуса направимо по осі OZ, і відкладемо на
		ній висоту конуса, отримавши точку S.
		травня точку O за центр основи конуса,
		будуємо овал, що представляє основу
		конус. Потім проводимо дві похилі ка-
		стельні з т. S до овалу, які будуть
		крайніми (нарисовими) утворюючими кону-
		са. Невидиму частину нижньої основи ко-
		Нуса виконаємо штриховою лінією.

Побудова точок на поверхні конуса в ортогональних та аксонометричних

ської проекції показано на рис. 2, 3.

Якщо на передній проекції конуса Мал. 2 задані точки А і В, то відсутні проект-

ції цих точок можна побудувати двома способами.

Перший спосіб: за допомогою проекцій допоміжної твірної проходить через задану точку.

Дано: фронтальна проекція точки А - точка (а), розташована в межах видимої частини конуса.

Через вершину конуса і задану точку (a') проводимо пряму лінію до основи конуса і отримуємо точку (e') - основу утворює s'e'.

H. Знайдемо горизонтальну проекцію т. e в межах видимої частини кола основи конуса, провівши проецирующую пряму e'e, і з'єднаємо отриману тобто з горизонтальною проекцією вер-

шини конуса s.

Оскільки шукана т. А належить обра-

зуючою s'e' то вона повинна лежати на її горизонтальній проекції. Тому за допомогою лінії зв'язку ми переносимо її на лінію se і по-

лучаємо горизонтальну проекцію т. a. Профільна проекція a” т. А визначає-

ється перетином тієї ж утворює s”e” на профільній проекції з лініями зв'язку, що переносять т. а з горизонтальною і фронталь-

ної проекцій.

Профільна проекція a” т. На цьому

у разі невидима, тому що знаходиться за проекцією крайньої утворює s”4” і позначається у круглих дужках.

Мал. 3 Другий спосіб: за допомогою побудови проекцій перерізу конічної поверхні горизонтальною площиною Pv па-

паралельної основи конуса та проходить через задану точку В. Мал. 3. Дано: фронтальна проекція точки В – т. b', розташована в межах

видимої частини конуса.

Через т. b' проводимо пряму, Pv паралельну підставі конуса, кото-

раю є фронтальною проекцією сіючої площини P. Ця лінія пересе-

кає вісь конуса в т. 01 і крайні утворюють в т. k1 і k3. Відрізок прямої k1'k3' є фронтальною проекцією перерізу конуса через т. b'.

Горизонтальною проекцією цього перерізу буде коло, радіус якого визначається на фронтальній проекції як відстань 01'k1' від осі ко-

нуса до крайньої твірної.

Так як точка b лежить в площині перерізу, то за допомогою лінії зв'язку переносимо її на горизонтальну проекцію перерізу в межах видимої частини конуса.

Профільна проекція т. b” визначається як перетин профільної

проекції перерізу k2”k4” з лінією зв'язку, що переносить положення т. b з гори-

парасолькової проекції.

Побудова точок на поверхні конуса в аксонометрії.

Будуємо конус у прямокутній ізометрії. Побудова кола основи конуса в аксонометрії повторює побудову основи циліндра. (Див. розділ 8.2.1). Відклавши на вертикальній осі висоту конуса, проводимо дві утворювальні – дотичні до овалу основи.

Перший метод. Мал. 2.

Будуємо утворюючу SE: на осі X або Y відкладаємо координати Х або

Y відповідні тобто на горизонтальній проекції і проведемо через них лінії паралельні осі Y або X відповідно. Перетин їх дає положення точки на підставі конуса.

З'єднаємо т. Е з вершиною конуса S і з центром основи т. 0. Розглянемо отриманий трикутник S0E: сторона 0S - вісь симетрії конуса, що збігається з віссю Z. Сторона SE - утворює конуса, на якій знаходиться т. А. Сторона 0E - основа трикутника складова з віссю Z кут 900 .

Висоту т. А беремо на фронтальній проекції по перпендикуляру від ос-

ня конуса до т. a' і відкладаємо її в аксонометрії на осі Z, тобто на стороні 0S.

Через отриману засічку проводимо пряму у площині трикутника

паралельно основи трикутника до перетину з твірною SE. Таким чином, переносимо висоту положення т. А на поверхню кону-

Другий спосіб. Мал. 3.

Будуємо перетин конуса площиною паралельної основи і проходить через т. В. Такий переріз конуса є коло з рівним радіусом

відрізку ОК розташованої на висоті рівної висоті т. В. В аксонометрії це коло будуватися у вигляді еліпса (або овалу, що його замінює).

Потім, на осях X та Y в основі конуса відкладаємо відповідні

координати X і Y т. У взяті з горизонтальної проекції та з точки їх перетину відновлюємо перпендикуляр до перетину з еліпсом перерізу,

що визначить становище т. в.

Перетин конуса.

У Залежно від напрямку в просторі січної площини, що проходить через конус, у перерізі прямого кругового конуса можуть виходити

різні плоскі фігури:

А - прямі (утворюючі) Б - гіпербола

В – коло

Г – парабола

Д – еліпс Конічні перерізи – еліпс, парабола та гіпербола є лекаль-

ними кривими, які будуються за точками, що належать кривій перерізу.

А. Перетин конуса вертикальною площиною, що проходить через його вершину, являє собою прямі. Мал. 4.

На горизонтальній проекції конуса через точку S проводимо лінію Ph під довільним кутом до осей X та Y, яка є горизонтальною проекцією секу-

щеї вертикальної площини. Ця лінія

перетинає коло основи конуса у двох точках a і b, а відрізок aob є горизонтальною проекцією перерізу конуса.

Подумки відкинемо ліву частину конуса від лінії Ph і праворуч від неї отримаємо горизонтальну проекцію усіченого ко-

Відрізки SA та SB - горизонтальні

проекції утворюють конуса, якими і проходить січна площина Ph.

Будуємо утворюють SA і SB на

фронтальної проекції, перенісши на неї точки A і B і з'єднавши отримані точки a і b з вершиною s. Трикутник a's'b' і буде передньою проекцією перерізу

конуса, а лінія s'3' – крайньої утворюючої конуса.

Аналогічно будуємо профільну проекцію перерізу конуса, перенісши

точки a та b з горизонтальної проекції на профільну та з'єднавши отримані точки a” та b” з вершиною конуса s”. Трикутник a”s”b” є профільною проекцією перерізу конуса, а лінія s”2” є крайня конуса, що утворює.

або X відповідно. Їхнє перетинання з лінією основи конуса дозволяє отримати точки A і B на аксонометрії. З'єднавши їх між собою, і кожну з

них з вершиною конуса S, отримаємо трикутник ABS, що є перетином конуса вертикальною площиною P.

Б. Перетин конуса вертикальною площиною, що не проходить через його вершину, є гіперболою. Мал. 5.

Якщо вертикальна січна площина P не проходить через вершину конуса, то вона вже не збігається з бічної поверхні, що утворюють його, а навпаки – перетинає

На горизонтальній проекції конуса проводимо січну площину Ph на довільній відстані від вершини S і парал-

лельную осі Y. У загальному випадку положення

січної площини щодо осей X та Y може бути будь-яке.

Лінія Ph перетинає коло основи конуса у двох точках a та b. Відрізок ab цієї прямої є горизонтальна проек-

ція перерізу конуса. Частину кола зліва від лінії Ph ділимо на довільне коли-

рівних частин, в донному випадку на 12 і, потім кожну отриману точ-

ку на колі з'єднуємо з вершиною конуса s. Ці утворюючі перетину-

ються січною площиною Ph і ми отримуємо ряд точок, які належать утворюючим і проекції перерізу конуса ab одночасно.

Будуємо отримані конуси, що утворюють на фронтальній проекції конуса

Переносимо з горизонтальної проекції всі крапки на підставі конуса (a, 1, …,

5, b) і на фронтальній проекції отримуємо точки (a', 1', …, 5', a') і з'єднуємо з вершиною конуса s'. Проводимо на фронтальній проекції через точку b' січну площину Pv перпендикулярно до основи конуса. Лінія Pv перетинає

всі, що утворюють, і точки їх перетину належать проекції перерізу конуса.

Повторимо побудову всіх утворюють на профільної проекції конуса, перенісши її у точки (a, 1, …, 5, b) з горизонтальної проекції. Отримані точки (a”, 1”, …, 5”, b”) з'єднаємо з вершиною s”.

На отримані утворюючі перенесемо з фронтальної проекції точки перетину відповідних утворюють з площею Pv. Отримані точки з'єднаємо кривою лінією, яка є лекальною.

криву – гіперболу.

Побудова аксонометрії. Мал. 5.

Будуємо конус в аксонометрії, як описано вище.

Далі з горизонтальної проекції конуса беремо координати по осі X або Y для всіх точок a, 1, …, 5, b і переносимо їх на аксонометричні осі X або Y знаходимо положення на підставі конуса в аксонометрії. З'єднуємо

їх послідовно з вершиною конуса S і отримуємо ряд утворюють на поверхні конуса відповідних утворюють на ортогональних проекціях.

На кожній утворюючій знайдемо точку її перетину з січою площиною P аналогічно тому, як це було описано вище (див. побудова точок на поверхні конуса, перший спосіб).

З'єднавши отримані на утворюють точки лекальної кривої, а також точки A і B отримаємо аксонометрічну проекцію усіченого конуса.

Перетин конуса горизонтальною площиною. Мал. 6.

Перетин прямого кругового конуса горизонтальною площиною паралельної основи є окружність.

Якщо розсікти конус на довільній висоті h від основи конуса через точку a'

лежачу на його осі o's' площиною паралельною до його основи, то на фронтальній проекції ми побачимо горизонтальну лінію Pv, що є фронтальною проекцією сіючої площини, яка утворює перетин

конуса I', II', III', IV'. На профільній проекції

W вигляд січної площини та переріз конуса аналогічний і відповідає лінії Pw.

На горизонтальній проекції перетин

конуса є коло в натураль-

ну величину, радіус кола якого проектується з фронтальної проекції як відстань від осі конуса в точці a' до точки I', що лежить на крайній утворює 1's'.

Побудова аксонометрії. Мал. 6.

Будуємо конус в аксонометрії, як опи-

сано вище.

Потім осі Z відкладаємо висоту h точки А від основи конуса. Через точку А проводимо лінії паралельні осям X і Y і будуємо коло в

аксонометрії радіусом R=a'I' взятим із фронтальної проекції.

Г Перетин конуса похилою площиною, що паралельно утворює. Мал. 7.

Будуємо три проекції конуса - горизонтальну, фронтальну та профільну. (Див. вище).

На фронтальній проекції конуса проводимо січну площину Pv паралельно нарисової утворюючої s'6'на довільній відстані від її початку.

ла виходячи з конуса через т. a'(b'). Відрізок ac є фронтальна проекція перерізу конуса.

На горизонтальній проекції будуємо проекцію основи сіючої площини Р через точки a, b. Відрізок ab є проекцією основи перерізу конуса.

Далі коло основи конуса ділимо на довільну кількість частин та отримані точки з'єднуємо з вершиною конуса s. Отримуємо ряд утворюючих конуса, які послідовно переносимо на фронтальну та профільну проекції. (Див. пункт Б).

На фронтальній проекції слід січої площини Pv перетинає обра-

зуючі і в перетині дає ряд точок, які належать як січній площині, так і утворюючим конуса одночасно.

Переносимо лініями зв'язку ці точки на проекції утворюють на горі-

зонтальну та профільну проекції.

Отримані точки з'єднаємо кривою лінією, яка є

лекальну криву – параболу.

Побудова аксонометрії. Мал. 7.

Будуємо аксонометричну проекцію конуса, як описано вище.

всіх точок (a, b, 1, …, 6) і переносимо їх на аксонометричні осі X або Y відповідно, визначивши, таким чином їх поло-

чення на підставі конуса в аксонометрії. З'єднуємо їх послідовно з вершиною

конуса S і отримуємо ряд утворюють на поверхні конуса, відповідних утворюють на ортогональних проекціях.

На кожній утворювальній знайдемо точку її перетину з площею, що січе P

аналогічно тому, як було описано вище (див. побудова точок лежить на поверхні конуса).

Д. Перетин конуса похилою площиною, розташованої під довільним кутом до основи конуса є еліпс. Мал. 8.

Будуємо три проекції конуса - горизонтальну, фронтальну та про-

фільна. (Див. вище).

На фронтальній проекції конуса проводимо лінію січної площини Pv під довільним кутом до основи конуса.

На горизонтальній проекції, коло основи конуса ділимо на довільну кількість рівних частин (в даному випадку на 12) і отримано-

ні точки з'єднуємо з вершиною конуса S. Отримуємо ряд утворюючих, які за допомогою ліній зв'язку, послідовно переносимо на фронтальну та профільну проекції.

На фронтальній проекції січна площина Pv перетинає всі утворюючі, і отримані точки їх перетину належать одночасно і се-

кущої площини та бічної поверхні конуса, будучи фронтальною проекцією шуканого перерізу.

Переносимо ці крапки на горизонтальну проекцію конуса.

Потім будуємо і профільну проекцію перерізу конуса (див. вище), з'єднуючи отримані точки лекальної кривої, яка є ел-

Побудова натуральної величини перерізу.

Лекальні криві (еліпси) на горизонтальній та профільній проекції є спотвореними зображеннями перерізу конуса.

Справжня (натуральна) величина перерізу виходить шляхом совмеще-

ня січної площини P з горизонтальною площиною проекцій H. Всі точки перерізу конуса на фронтальній проекції переносимо на вісь X за допомогою циркуля, повертаючи їх навколо точки k". Далі, на горизонтальній проекції, лініями зв'язку, паралельними осі Y продовжуємо їх до перетину їх з чи-

нями зв'язку, взятими з горизонтальної проекції відповідних точок. Пе-

січення горизонтальних і вертикальних ліній зв'язку відповідних точок дозволяє отримати точки, що належать натуральній величині перерізу. Поєднавши їх лекальною кривою, ми отримаємо еліпс натуральної величини перерізу конуса.

Побудова аксонометрії зрізаного конуса. Мал. 8.

Побудова аксонометрії зрізаного конуса виконується шляхом знаходження точок, що належать перерізу конуса будь-яким з описаних вище способів (див. вище).

Побудова розгортки поверхні усіченого конуса. Мал. 8.

Попередньо збудуємо розгортку бічної поверхні не усіченого

конус. Задаємося положенням т. S на аркуші і проводимо з неї дугу радіусом рівним натуральній величині довжини конуса, що утворює (наприклад, s'1'або s'7'). Задаємося становищем т. 1 цій дузі. Послідовно відкладаємо від неї стільки однакових відрізків (хорд) на скільки частин розділено коло основи конуса. Отримані на дузі точки 1, 2, …, 12, 1 з'єднуємо з т. S. Сектор 1S1 являє собою розгорнення бічної поверхні не всі-

ного конуса. Прилаштувавши до неї в нижній частині (наприклад, т. 2) натуральну величину підстави конуса у вигляді кола взятого з горизонтальної проекції ми

отримаємо повну розгортку не усіченого конуса.

Для побудови розгортки бічної поверхні зрізаного конуса необхідно визначити натуральну величину всіх усічених утворюючих. на

фронтальної проекції всі точки перерізу перенесемо на нарисову утворюючу s'7' лініями паралельними підставі конуса. Потім кожен відрізок утворює від т. 7 до відповідної точки перерізу переносимо на відповідну твірну на розгортці. З'єднавши ці точки на розгортці, отримаємо криву лінію, що відповідає лінії перерізу бічної поверхні ко-

Потім до лінії перерізу на розгортці (наприклад, до твірної S1) при-

будуємо еліпс натуральної величини перерізу, отриманий на горизонтальній проецірующей площині Н.

Розгортки поверхні геометричних тіл є кресленнями

- Викрійки з паперу і служать для виконання макета фігури.

Усічений конус виходить, якщо від конуса відсікти менший конус площиною, паралельною до основи (рис. 8.10). У усіченому конусі дві основи: "нижня" - основа вихідного конуса - і "верхня" - основа конуса, що відсікається.По теоремі про переріз конуса - основи усіченого конуса подібні.

Висотою зрізаного конуса називається перпендикуляр, опущений з точки однієї основи на площину іншого. Усі такі перпендикуляри дорівнюють (див. п. 3.5). Висотою називають також їх довжину, тобто відстань між площинами основ.

Усічений конус обертання виходить із конуса обертання (рис. 8.11). Тому його основи і всі паралельні їм його перерізи – кола з центрами на одній прямій – на осі. Усічений конус обертання виходить обертанням прямокутної трапеції навколо її бічної сторони, перпендикулярної основ, або обертанням

рівнобедреної трапеції навколо осі симетрії (рис. 8.12).

Бічна поверхня зрізаного конуса обертання

Це частина бічної поверхні конуса обертання, з якого він отриманий. Поверхня зрізаного конуса обертання (або його повна поверхня) складається з його основ та його бічної поверхні.

8.5. Зображення конусів обертання та усічених конусів обертання.

Прямий круговий конус малюють так. Спочатку малюють еліпс, що зображує коло основи (рис. 8.13). Потім знаходять центр основи - точку Про вертикально проводять відрізок РВ, який зображує висоту конуса. З точки Р проводять до еліпсу дотичні (опорні) прямі (практично це роблять на око, прикладаючи лінійку) і виділяють відрізки РА та РВ цих прямих від точки Р до точок дотику А та В. Зверніть увагу, що відрізок АВ – це не діаметр основи конуса, а трикутник АРВ – не осьовий перетин конуса. Осьовий переріз конуса – це трикутник АРС: відрізок АС проходить через точку О. Невидимі лінії малюють штрихами; відрізок ОР часто не малюють, а лише подумки намічають, щоб зобразити вершину конуса Р над центром підстави - точкою Про.

Зображуючи зрізаний конус обертання, зручно намалювати спочатку той конус, з якого виходить зрізаний конус (рис. 8.14).

8.6. Конічні перерізи. Ми вже говорили, що бічну поверхню циліндра обертання площину перетинає еліпсом (п. 6.4). Також і переріз бічної поверхні конуса обертання площиною, що не перетинає його основу, є еліпсом (рис. 8.15). Тому еліпс називається конічним перетином.

До конічних перерізів відносяться й інші добре відомі криві – гіперболи та параболи. Розглянемо необмежений конус, що утворюється при продовженні бічної поверхні конуса обертання (рис. 8.16). Перетнемо його площиною а, що не проходить через вершину. Якщо ж перетинає всі утворюючі конуси, то в перерізі, як уже сказано, отримуємо еліпс (рис. 8.15).

Повертаючи площину ОС, можна домогтися того, щоб вона перетинала всі конуса К, що утворюють, крім однієї (який ОС паралельна). Тоді у перерізі отримаємо параболу (рис. 8.17). Нарешті, обертаючи площину ОС далі, переведемо її в таке положення, що а, перетинаючи частину утворюючих конуса К, не перетинає вже безліч інших його утворюючих і паралельна двом з них (рис. 8.18). Тоді в перерізі конуса К з площиною а отримуємо криву, яку називають гіперболою (точніше, одну її "гілка"). Так, гіпербола, яка є графіком функції окремий випадок гіперболи - рівнобічна гіпербола, подібно до того як коло є окремим випадком еліпса.

Будь-які гіперболи можна отримати з рівнобічних за допомогою проектування, аналогічно тому, як еліпс виходить паралельним проектуванням кола.

Щоб отримати обидві гілки гіперболи, треба взяти перетин конуса, що має дві "порожнини", тобто конуса, утвореного не променями, а прямими, що містять утворюють бічній поверхні конуса обертання (рис. 8.19).

Конічні перерізи вивчали ще давньогрецькі геометри, та його теорія була однією з вершин античної геометрії. Найбільш повне дослідження конічних перерізів у давнину було проведено Аполлонієм Пергським (III ст. до н.е.).

Є ряд важливих властивостей, що поєднують в один клас еліпси, гіперболи та параболи. Наприклад, ними вичерпуються "невироджені", тобто не зводяться до точки, прямої або пари прямих, криві, які задаються на площині в декартових координатах рівняннями виду

Конічні перерізи грають важливу рольу природі: по еліптичних, параболічних та гіперболічних орбітах рухаються тіла в полі тяжіння (згадайте закони Кеплера). Чудові властивості конічних перерізів часто використовуються в науці та техніці, наприклад, при виготовленні деяких оптичних приладів або прожекторів (поверхня дзеркала в прожекторі виходить обертанням дуги параболи навколо осі параболи). Конічні перерізи можна спостерігати як межі тіні від круглих абажурів (рис. 8.20).