Leksiya: Sinus, kosinus, tangens, kotangens

Ma'lum miqdordagi sinus, kosinus

Bunday trigonometrik funktsiyalarning bitta radiusli qoziqqa yaqinlashishini tushunish. Bu markaz koordinata tekisligidagi koordinata ildizida joylashgan. Belgilangan funktsiyalarni aniqlash uchun biz radius vektoridan foydalanamiz VR, qoziqning markazidan boshlanadigan va nuqta Rê garov nuqtasi. Daniya radiusi vektori butundan alfa hosil qiladi OH. Qadimgi birliklar bo'lgan radius atrofidagi parchalar, keyin OR = R = 1.

Nima gap R perpendikulyarni oxirigacha tushiring OH, keyin biz gipotenuz bilan rektum trikutanni olib tashlaymiz, bu qadimgi birlikdir.

Radius vektori yubiley o'qi orqasida qulab tushganligi sababli, u to'g'ridan-to'g'ri chaqiriladi salbiy, u yubiley o'qining oqimiga qarshi qulab tushganda - ijobiy.

Sinus Kuta VR, ê nuqta ordinatasi R ustundagi vektor.

Shunday qilib, berilgan kesmaning sinus qiymatini aniqlash uchun koordinatadan alfa hisoblash kerak. U maydonda.

Bu ahamiyat qanday olib tashlandi? Shunday qilib, biz bilganimizdek, to'g'ri ichak trikuputidagi protidal oyoqning sinusi protidal oyoqning gipotenus bilan bog'lanishidir, biz buni rad etishimiz mumkin.

Va parchalar R=1, Bu sin(a) = y 0 .

Bitta raqam uchun ordinata qiymati -1 dan kichik va 1 dan ortiq bo'lishi mumkin, shuning uchun

Sinus bitta qoziqning birinchi va boshqa choraklarida ijobiy qiymatga ega bo'ladi, uchinchi va to'rtinchi - salbiy.

Kosinus quta bu qoziqning radius vektori tomonidan yaratilgan VR, ê abscis nuqtasi R ustundagi vektor.

Shunday qilib, berilgan qiymatning kosinus qiymatini aniqlash uchun koordinatadan alfa hisoblash kerak X maydonda.

To'g'ri ichak trikutanidagi qo'shni oyoqning kosinasi qo'shni oyoqning gipotenusga kengayishi bilan bog'liq bo'lib, u yo'q qilinadi.

Va parchalar R=1, Bu cos(a) = x 0 .

Bitta raqam uchun abscise qiymati -1 dan kichik va 1 dan ortiq bo'lishi mumkin, shuning uchun

Kosinus bitta qoziqning birinchi va to'rtinchi choragida ijobiy qiymatga ega bo'ladi, ikkinchi va uchinchida esa salbiy bo'ladi.

TangentBayramingiz yaxshi o'tsin Sinusning kosinusga joylashishi muhim ahamiyatga ega.

Protidal oyoqning qo'shni oyoqqa cho'zilishi bo'lgan to'g'ri chiziqli trikutulaga qanday qarash kerak. Agar biz bitta kolo haqida gapiradigan bo'lsak, u holda ordinata abscisga joylashtiriladi.

Ushbu yozuvlardan kelib chiqqan holda, tangensni aniqlash mumkin emasligini tushunish mumkin, chunki abscise qiymati nolga teng, keyin 90 daraja. Boshqa barcha qiymatlar tangens olishi mumkin.

Tangens bitta qoziqning birinchi va uchinchi choragi uchun ijobiy qiymatga ega, ikkinchi va to'rtinchi uchun esa salbiy qiymatga ega.

Kosinus- Asosiy trigonometrik funksiyalardan biri. Kosinus om gostrogo Kuta rektum trikutanda, qo'shni oyoqning gipotenusga kengayishi deyiladi. Kosinusning qiymati to'g'ridan-to'g'ri tricutulum bilan bog'langan, lekin ko'pincha kosinusni hisoblash kerak bo'lgan rektikutikulyar trikuputonda akkomodatsiya yo'q. Har qanday kosinusning qiymatini qanday ko'rsatish mumkin Kuta ?

Ko'rsatmalar

1. Kuta to'g'ri kesgichda kosinus qiymatlarini tezda hisoblash va gipotenusga qo'shni oyoqning holatini aniqlash kerak: cos? = a/c, de a - Dovzhina oyog'i, C - Dovzhina gipotenusu.

2. Agar siz kosinusni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa Kuta Qoniqarli trikutnik uchun siz tezda kosinus teoremasidan foydalanishingiz kerak: cosning ma'nosi nima? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); yakscho kut ahmoq: cos? = (s2 - a2 - b2) / (2ab), bu erda a, b - kesmaga ulashgan Dovzhini tomonlari, C - Dovzhini tomoni protilegnyj kut.

3. Agar siz kosinusni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa Kuta Etarli geometrik shakl uchun siz qiymatni o'lchashingiz kerak Kuta y daraja va radian, va kosinus Kuta Ushbu qiymatni muhandislik kalkulyatori, Bradys jadvali yoki boshqa matematik formuladan foydalanib toping.

Kosinus- Bu asosiy trigonometrik kut funksiyasi. Kosinusning ma'nosini bilish vektor algebrasida vektorlarni turli o'qlarga proyeksiya qilish uchun foydalidir.

Ko'rsatmalar

1. Kosinus Bu pastki oyoqqa, gipotenuzaga ulashgan old oyoq deb ataladi. Bundan tashqari, to'g'ridan-to'g'ri kesilgan ABC trikutida (ABC - to'g'ri kesma) kesilgan BAC kosinasi AB dan AC ga teng. cout ACB uchun: cos ACB = BC/AC.

2. Ammo sizga trikutnik kerak bo'ladigan vaqt hech qachon bo'lmaydi, bundan tashqari, ahmoqlari ham bor, ularni to'g'ridan-to'g'ri trikutnik omborida topib bo'lmaydi. Vaziyatni ko'rib chiqaylik, agar biz vazifalarni almashtirsak. Ushbu holatning kosinusini hisoblash uchun batafsilroq bilib oling. Burchakka koordinatalar tizimini biriktirishdan oldin, oldingi koordinatalar burchakning yuqori qismida hisobga olinadi, barcha X burchakning bir tomoniga o'tadi, barcha Y X o'qiga perpendikulyar bo'ladi. Shundan so'ng ular bo'ladi. burchakning yuqori qismida markazlashtirilgan bir xil radius haqida. Kutning boshqa tomoni A nuqtada qutbni kesib o'tadi. A nuqtadan butun X ga perpendikulyarni tushiring, butun Axga perpendikulyarning kesishish nuqtasini belgilang. Keyin to'g'ri kesilgan AAxO va kesilgan AAx/AO kosinusini olasiz. Bundan tashqari, bitta radius uchun AO = 1 va kosinus ibtidoiy AAx bo'ladi.

3. Bu ahmoq joyda, xuddi shu vaqtni o'tkazing. Kosinus ahmoq kuta manfiy, ale vin ham Axga aziz.

Mavzu bo'yicha video

Hurmatingizni oshiring!
Ushbu qiymatlarning kosinuslari Bradis jadvallarida keltirilgan.

Sinus, kosinus, tangens kabi hodisalar kundalik hayotda tez-tez uchramaydi. Biroq, agar siz o'rta maktab o'quvchisi bilan matematikani o'rganayotgan bo'lsangiz, qanday ko'rinishlar borligini va, aytaylik, kosinusni qanday aniqlashni taxmin qilish yaxshi bo'lar edi.

Ko'rsatmalar

Mavzu bo'yicha video

Ko'pincha geometrik (trigonometrik) masalalarda aniqlash kerak kosinus Kuta in trikutnik, shuning uchun yak kosinus kuta sizga kutaning o'lchamini aniq aniqlash imkonini beradi.

Ko'rsatmalar

1. Shchob viyaviti kosinus Kuta in trikutnik, deyarli har qanday usulda siz teoremadan foydalanishingiz mumkin kosinus iv. Ushbu teoremaga muvofiq, qo'shaloq triketning oxirgi tomonining kvadrati ushbu tomonlardan ikkitasini qo'shimcha ravishda qo'shmagan holda qolgan 2 tomonning kvadratlari yig'indisiga teng. kosinus kuta s-ularning yonida: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, bu yerda: a, b, s – trikutulaning tomoni (ularning dovzhini vertikali),? – kut, protilegal tomoni a (th qiymat).Induksiyalangan tenglik bilan cos?:cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c) Butt 1.E trikutnik bilan topish oson. tomonlari a, b , h, teng 3, 4, 5 mm, o'xshash. kosinus katta tomonlar orasiga yotqizilgan kuta O'lchamlari: yuvinish xonasining orqasida, ma'mo: a = 3, b = 4, c = 5. Ahamiyatlisi, proksimal tomon va kut orqali?, keyin yuqorida olingan formula bo'yicha, ma'mo: cos ? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40= 32/40=0 , 8Vip: 0,8.

2. Agar trikutnik to'g'ridan-to'g'ri kesilgan bo'lsa, unda ma'lum kosinus va 2 xil tomonning terisi haqida ma'lumotni qaerdan olish mumkin ( kosinus to'g'ridan-to'g'ri 0 dan). Nehai - a, b, c, de c - gipotenuza tomonlari bo'lgan tekis kesilgan trikut. Keling, barcha variantlarni ko'rib chiqaylik: Misol 2. Viyaviti cos? c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a) ?) Olingan formulaning to'g'riligini tekshirish uchun undagi 1-sonli qiymatlarni almashtiramiz.

3. O'xshash kosinus y to'g'ri kesilgan trikutnik boshqa hollarda: 3-misol. a va c (gipotenuza va proksimal oyoq) ni bilib oling, cos?b?=s?-a?,b=v(c?-a?)sos?=(b?+c?-) ni aniqlang. a?)/(2*b*c)=(s?-a?+s?-a?)/(2*s*v(s?-a?))=(2*s?-2*a ?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s. A=3 va s=5 qiymatlarni birinchi ko‘ndalangdan ayirib tashlash: sos?= 0,8.

4. Misol 4. Vestims b va z (gipotenuza va oyoq). kosinus V trikutnik juda oddiy formula yordamida hisoblanadi: sos?=b/s Olingan formulaning soddaligi elementar tarzda tushuntiriladi: rostdan ham, nima qoldi? Oyoq gipotenuzaning proyeksiyasidir, shuning uchun gipotenuzaning dovjin ko'paytmasi nima?

Porada 5: Yak viyaviti gostrii kut y pryamokutny trikutnik

To'g'ridan-to'g'ri vugilny Trikutnik, ehtimol, tarixiy nuqtai nazardan eng mashhur geometrik figuralardan biridir. Pifagorning "shimlari" raqobat orqali "Evrika!" Arximed

Sizga kerak bo'ladi

• - trikutnik kreslosi;
• - chiziq;
• - Transporter.

Ko'rsatmalar

1. Odatdagidek, trikutanli kesikulalarning tepalari katta lotin harflari (A, B, C) bilan, qarama-qarshi tomonlari esa kichik lotin harflari (a, b, c) yoki trikutan cho'qqilarning nomlari bilan belgilanadi. bu tomon (AC, BC, AB).

2. Trikutan burmalarning sumkasi 180 gradusga buriladi. To'g'ri kesishda trikutnik bir kesish (to'g'ri chiziq) har doim 90 daraja bo'ladi, bundan tashqari. butun yo'lda 90 darajadan kamroq. E'tiborli bo'lish uchun, bu to'g'ri kesish uchun qanday kesma trikutnik To'g'ridan-to'g'ri, trikotaj tomonining tegishli chizig'iga rioya qiling va eng yaxshi natijalarga erishing. Bu gipotenuza (AB) deb ataladi va to'g'ridan-to'g'ri kesma (C) qarshisida joylashgan. Qolgan ikki tomon tekis kesma hosil qiladi va oyoqlar (AC, BC) deb ataladi.

3. Kesim nima ekanligini aniqlaganingizdan so'ng, siz transportyor yordamida kesmaning qiymatini o'lchashingiz yoki matematik formulalardan foydalanishingiz mumkin.

4. O'tkazgich orqasidagi kesmaning o'lchamini aniqlash uchun uning yuqori qismini (A harfi bilan ko'rsatilgan) transportyorning markazidagi chiziqda maxsus belgi bilan toping, yon AC yuqori chetidan uzoqlashishi kerak. O'tkazgichning dumaloq qismidagi nuqtaga e'tibor bering, u orqali AB gipotenuzasi o'tadi. Bu nuqtaning qiymati kutning gradusdagi kattaligini ko'rsatadi. Agar o'tkazgichda ikkita qiymat ko'rsatilgan bo'lsa, o'tkir kesish uchun siz kichikroqni tanlashingiz kerak, to'mtoq kesish uchun - katta.

6. Qiymatlarning chiqarilishi Bradys jadvallarida paydo bo'ladi va ularning ma'nosi raqamli qiymatlarning kelib chiqishiga mos keladi. Buvilarimiz shunday aldagan.

7. Hozirgi vaqtda trigonometrik formulalarni hisoblash funktsiyasiga ega kalkulyatorni olish vaqti keldi. Aytaylik, Windows kalkulyatoridan foydalaning. "Kalkulyator" dasturini ishga tushiring, "Ko'rish" menyusida siz "Muhandislik" bandini tanlaysiz. Katta tanganing sinusini hisoblang, aytaylik, sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Kalkulyator displeyidagi INV tugmasini bosish orqali kalkulyatorni teskari funktsiya rejimiga o'tkazing, so'ngra arksinus funktsiyasini kengaytirish tugmasini bosing (ekranda sinus minus birinchi bosqich sifatida ko'rsatilgan). Keyingi yozuv oynada paydo bo'ladi: asind (0,5) = 30. Tobto. Harorat qiymati 30 daraja.

Matematikadagi kosinus teoremasi ko'pincha ikki tomon to'plami bo'ylab uchinchi tomonni aniqlash kerak bo'lgan vaziyatda qolib ketadi. Biroq, ba'zida aqlning vazifasi bir nuqtaga qo'yiladi: uchta tomon berilganda yechimni aniqlash kerak.

Ko'rsatmalar

1. Ikki tomonli va bir kutning qiymati bo'lgan trikutnikga nima berilganligini aniqlang. Barcha kesikulalar bir-biriga teng emas, chunki tomonlar ham o'lchamlari jihatidan farq qiladi. Kut? Bu raqamning asosi bo'lgan AB deb belgilangan tricube tomonida yotadi. Bu kesma orqali, shuningdek, etishmayotgan AC va BC tomonlari orqali kosinuslar teoremasidan foydalanib, trikutaning noma’lum bo‘lgan tomonini ochish mumkin, shundan kelib chiqib, quyidagi formula berilgan: a^. 2=b^2+c^2-2bc* cos?, bu erda a = BC, b = AB, c = AC Kosinuslar teoremasi o'zgartirilgan Pifagor teoremasi deb ham ataladi.

2. Endi figuraning uch tomoni ham berilganligini tushuning, lekin u qaerdan keladi? ko'rinmas. Formula a^2=b^2+c^2-2bc*cos? ga o‘xshashligini bilib, bu ifodani bir xil qiymatga aylanadigan tarzda o‘zgartiring: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^ 2. Shundan so'ng, taqqoslashning yuqori darajasi ancha boshqacha tarzda ko'rsatiladi: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?. Shundan so'ng, quyidagini pastroqqa aylantiring: cos? =?b^2+c ^2-a^2/2bc. Men raqamni formulaga kiritishni va hisobni hisoblashni unutibman.

3. ? deb belgilangan kesikulaning kosinusini aniqlash uchun uni yoy kosinusu deb ataladigan teskari trigonometrik funktsiya orqali ifodalash kerak. m sonining yoy kosinusi m sonining kosinus qiymati deb ham ataladi. eski m. y=arccos m funksiyasi yemirilmoqda. Aytaylik, kosinus nima? qadimgi 2-chi. Todi kut? yoy kosinusu orqali qiymatlarni quyidagi tartibda hisoblay olamizmi:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, de m = 1/2. Shunga o'xshab, siz trikpusning boshqa kesikulalarini boshqa ikkita noma'lum tomoni bilan topishingiz mumkin.

4. Ular radyanlarda berilganligi sababli, tug'ilgan sana bilan bir vaqtda ularni darajalarga aylantiring: ? radian = 180 daraja. Esda tutingki, muhandislik kalkulyatorlarining eng muhim qismi hisoblagichlarning o'zgaruvchan birliklarining bir xilligi bilan ta'minlanadi.

Sinus va kosinus ikkita trigonometrik funktsiya bo'lib, ular "to'g'ridan-to'g'ri" deb ataladi. Ularning o'zlari boshqalarga qaraganda tez-tez hisoblanishi kerak va bugungi terini eng yaxshi parvarish qilish uchun bizda juda ko'p imkoniyatlar mavjud. Quyida ayniqsa ibtidoiy usullarning tanlovi keltirilgan.

Ko'rsatmalar

1. Protraktor, zaytun va arkush qog'ozidan foydalaning, chunki qo'lda hisoblashning boshqa usullari yo'q. Kosinusning qiymatlaridan biri o'tkir kesikula orqali to'g'ri ichakning trikutan qismiga beriladi - uning qiymati kesikulaning qarshisida joylashgan oyoq tomoni va gipotenuzaning yon tomoni o'rtasidagi qadimiy munosabatdir. Trikutnikni bo'yash, ulardan biri to'g'ridan-to'g'ri kesilgan (90 °), ikkinchisi esa to'g'ri kesilgan bo'ladi, uning kosinusini hisoblash kerak bo'ladi. Ko'pgina tomonlar hech qanday ma'noga ega emas - ularni o'zingiz xohlagan tarzda bo'yashingiz kerak. Kerakli tomon va gipotenuzaning oxirigacha kuting va har qanday qulay usul yordamida birinchi navbatda bir-biriga tarqating.

2. Internetga kirish imkoningiz bor ekan, Nigma qidiruv tizimiga o'rnatilgan qo'shimcha kalkulyator yordamida trigonometrik funktsiyalarning ma'nosini hisoblashda ravonroq bo'ling. Misol uchun, agar siz 20 ° kesmaning kosinusini hisoblashingiz kerak bo'lsa, u holda http://nigma.ru asosiy xizmat sahifasiga kirganingizdan so'ng, qidiruv maydoniga "kosinus 20 daraja" ni kiriting va "Ko'rsatish!" tugmasini bosing. tugmasi. "Daraja" so'zini qoldirib ketishga va "kosinus" so'zini cos bilan almashtirishga ruxsat beriladi - istalgan vaqtda qidiruv tizimi yig'indini keyinroq 15 tagacha aniqlik bilan ko'rsatadi (0,939692620785908).

3. Windows operatsion tizimi bilan birga o'rnatilgan va Internetga kirish imkoniga ega bo'lmagan standart kalkulyator dasturini oching. Buni bir vaqtning o'zida win va r tugmachalarini bosib, keyin calc buyrug'ini kiritib, OK tugmasini bosish orqali amalga oshirishingiz mumkin. Trigonometrik funktsiyalarni hisoblash uchun "muhandislik" va "hisoblash" (OS versiyasiga qarab) deb nomlangan interfeys mavjud - kalkulyator menyusining "Ko'rish" bo'limidan kerakli elementni tanlang. Keyin kesishning qiymatini darajalarda kiriting va dastur interfeysidagi cos tugmasini bosing.

Mavzu bo'yicha video

Porada 8: Yak vyznachiti kuti y pryakokutnuyu trikutnik

To'g'ri kesuvchi kotletlar va yon tomonlar o'rtasidagi qo'shiq munosabatlari bilan tavsiflanadi. Ulardan ba'zilarining ahamiyatini bilib, boshqalarni hisoblashingiz mumkin. Va shuning uchun formulalar o'ziga xos tarzda, geometriya aksiomalari va teoremalariga asoslanadi.

Ko'rsatmalar

1. To'g'ri kesilgan trikutnikning nomidan to'g'ri kesilgan to'g'ri ekanligi aniq. Albatta, teng burchakli to'g'ri chiziqli trikut bor va har doim 90 darajaga teng bo'lgan bitta kesma mavjud. Shakl bir martalik va bir xil bo'lgan to'g'ridan-to'g'ri kesmaga ega bo'lganligi sababli, shakl to'g'ri kesimga ega ekanligiga asoslanib, uning tagida ikkita kesik mavjud. Bu ikkisi bir-biriga teng, shuning uchun ular orasida bir-biriga teng bo'lgan ma'no bor:? = 180 ° - 90 ° / 2 = 45 °

2. Yuqorida aytib o'tilgan tuzilishga qo'shimcha ravishda, agar tricupus tik bo'lsa, lekin izosmozal bo'lmasa, bir xil turdagi pozitsiyaga ruxsat beriladi. Ko'p hollarda trikutaning kesilishi 30 °, ikkinchisi esa 60 ° ni tashkil qiladi, chunki trikutaning barcha kesimlarining yig'indisi 180 ° ni tashkil qiladi. Recticuticularis va ikkinchi oyoqning gipotenuzasi berilganligi sababli, bu ikki tomonning o'xshashligidan ko'rinadi: sin ?=a/c, bu erda a - trikubitus gipotenusiga cho'zilgan oyoq, h - gipotenuza. of the tricutineum Vividly, ?= arcsin(a/ c) Kosinusni topish formulasi yordamida ham bilib olishingiz mumkin: cos ?=b/c, bu erda b - trikutan gipotenusga qo'shni oyoq.

3. Agar sizda faqat ikki tomon bo'lsa, unda nima bo'ladi? Tangens formulasini bilishingiz mumkin. Bu kesmaning tangensi protidal oyoq va qo'shni oyoq o'rtasidagi munosabatga mos keladi: tg ?=a/b Bu nima? 180° - (90° +?)

"Kosinus" so'zi trigonometrik funktsiyalardan biriga tegishli bo'lib, u yozilganda cos deb yoziladi. Bu, ayniqsa, geometriyadagi yuqori raqamlarning parametrlarini topish vazifasi bo'lsa, o'ng tomonda topiladi. Bunday qadimiy tarixda boy qutlarning tepasidagi qutlarning kattaligi odatda yunon alifbosining buyuk yozuvchilari sifatida belgilanadi. Agar biz to'g'ridan-to'g'ri kesilgan trikutan haqida gapiradigan bo'lsak, unda faqat ushbu adabiyotdan kamdan-kam hollarda kesikulaga nisbatan nima borligini bilish mumkin.

Ko'rsatmalar

1. ? harfi bilan ko'rsatilgan kuta qiymati umumiy ma'lumot bo'lganligi sababli, kosinus alfaga mos keladigan qiymatni standart Windows kalkulyatori yordamida topish mumkin. U operatsion tizimning asosiy menyusi orqali ishga tushiriladi - Win tugmasini bosing, menyuda "Barcha dasturlar" bo'limini oching, "Odat" bo'limiga, so'ngra "Xizmatlar" bo'limiga o'ting. U erda siz "Kalkulyator" qatorini ko'rasiz - dasturni ishga tushirish uchun ustiga bosing.

2. Dastur interfeysini "muhandislik" (OTning boshqa versiyalarida - "abadiy") opsiyasiga o'tkazish uchun Alt + 2 tugmachalarini bosing. Kimdan keyin kut qiymatini kiritishim kerak? Va cos - kalkulyator harflari bilan ko'rsatilgan tugmani bosing, hisoblash funktsiyasini ishga tushiring va natijani ko'rsating.

3. Kesimning kosinusini qanday hisoblash mumkin? to'g'ridan-to'g'ri to'sar uchun zarur, keyin, shubhasiz, u 2 o'tkir cutites biri hisoblanadi. Bunday trikutning yon tomonlarini to'g'ri belgilash bilan gipotenuza (topilgan tomon) c harfi bilan, uning yon tomonida joylashgan tekis kesma yong'oq ? harfi bilan belgilanadi. Qolgan ikki tomon (oyoqlar) a va b harflari bilan belgilanadi va bo'ylab yotgan qirralari ? men?. To'g'ri ichak trikutanining o'tkir kesmalarining qiymatlari uchun kosinusni hisoblash, kesmaning o'zi muhim qiymatlarini ko'rsatish imkonini beradigan bog'liqlik mavjud.

4. Agar to'rtburchak trikutnik ikki tomonni bilsa b (oyoq, burchakka nima boradi?) va c (gipotenuza), u holda kosinusni hisoblang? bu oyoqning kaptarini gipotenusning kaptariga ajrating: cos(?)=b/c.

5. Baxtli trikutnikning kosinus qiymati bormi? Noma'lum miqdorni hisoblash mumkin, chunki ongda deyarli barcha tomonlar berilgan. Nima uchun avval har tomondan kvadrat yarating, so'ngra oxirigacha mos keladigan 2 tomon uchun qiymatlarni olib tashlang? katlayın va natijani ko'rsatish uchun qarama-qarshi tomon uchun qiymatlarni olib tashlang. Nimadan keyin oxirigacha yotadigan dovjinlarning qo'shimcha nafaqasiga qo'shiladigan summani olib tashlayman? tomoni - aniq kosinus qanday bo'ladi?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Yechim kosinus teoremasidan kelib chiqadi.

Korisna porada
Kosinusning matematik ma'nosi cos. Kosinus qiymati 1 dan katta yoki -1 dan kichik bo'lishi mumkin.

Sinus Gostrogo kuta a to'g'ridan-to'g'ri kesilgan trikut - tse vydnoshennya protilegone oyoq gipotenusgacha.
U quyidagicha belgilanadi: sin a.

Kosinus o'tkir kesilgan a rektikutan - bu qo'shni oyoqning gipotenusga kengayishi.
U quyidagicha belgilanadi: cos a.

Tangent qattiq kesilgan a - bu protilegli oyoqning qo'shni oyoqqa cho'zilishi.
Quyidagicha aniqlanadi: tg.

Kotangent o'tkir kesilgan a - bu qo'shni oyoqning protidal oyoqqa cho'zilishi.
Quyidagicha aniqlangan: ctg?

Sinus, kosinus, tangens va kotangens faqat qiymat qiymatiga bog'liq.

Qoidalar:

Trikutan trikutaniumdagi asosiy trigonometrik o'xshashliklar:

(α - gostriya kut, scho protilet oyoq b oyog'imgacha yotaman a . Yon h - Gipotenuza. β - Boshqa gostria kut).

b gunoh a = - c	sin 2 a + cos 2 a = 1
a cos a = - c	1 1 + tan 2 a = - cos 2 a
b tan a = - a	1 1 + kotg 2 a = - gunoh 2 a
a ctg a = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 a sin 2 a
gunoh a tan a = - cos a

Issiq kutning o'sishi bilangunoh a itg a o'sadi vachunki a o'zgaradi.

Har qanday gostro kut uchun:

sin (90° - a) = cos a

cos (90° - a) = sin a

Tushuntirish:

To'g'ri kesilgan trikutnik ABC bo'lsin
AB = 6,
ND = 3,
kesish A = 30º.

Aniqki, sinus kuta A, kosinus esa kuta B.

Qaror.

1) Biz kuta B qiymatini bilamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: to'g'ri kesilgan trikutdagi o'tkir kuti yig'indisi 90 º bo'lgani uchun kuta B = 60 º:

B = 90º - 30º = 60º.

2) Sin A hisoblash mumkin.Biz bilamizki, sinus protilajning gipotenuzaga nisbati bilan bir xil. A tomon uchun protilateral tomon ZS tomon hisoblanadi. Boshqa:

Miloddan avvalgi 3 1
gunoh A = - = - = -
AB 6 2

3) Endi biz cos B ni hisoblashimiz mumkin. Biz bilamizki, kosinus gipotenuzaga qo'shni oyoq bilan bir xil. B kesma uchun qo'shni oyoq bir xil BC tomoni. Bu shuni anglatadiki, biz A ning sinusini hisoblashdan oldin bo'lgani kabi, harakatlarni o'zlari bajarish uchun yana BC ni AB ga bo'lishimiz kerak:

Miloddan avvalgi 3 1
cos B = - = - = -
AB 6 2

Natijada:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Ko'rib turganimizdek, to'g'ri chiziqli trikutanli o'simlikda bitta o'tkir kesmaning sinusi boshqa o'tkir kesmaning kosinusiga teng - va xuddi shu sababga ko'ra. Bu bizning ikkita formulamiz nimani anglatadi:
sin (90° - a) = cos a
cos (90° - a) = sin a

Keling, uni yana aylantiramiz:

1) a = 60º bo'lsin. Qiymatlarni sinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olib tashlashimiz mumkin:
gunoh (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30 º = cos 60 º.

2) a = 30 º bo'lsin. Qiymatlarni kosinus formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olib tashlashimiz mumkin:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Trigonometriya bo'yicha hisobot - algebra bo'limi)

Qo'llash:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(p)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument muhim

Muqaddas Kutning kosinasi

Muqaddas Kutning kosinasi to'g'ridan-to'g'ri tricutusning yordami uchun ko'rib chiqilishi mumkin - bu hipotenusga qo'shni oyoqning an'anaviy pozitsiyasi.

dumba :

1) Unga kut berilsin va siz uning kut kosinusini hisoblashingiz kerak.

2) Biz bu butadan qandaydir tekis kesilgan trikutni olishimiz mumkin.

3) etishmayotgan tomonlarni kosinusni hisoblash orqali hisoblash mumkin.

Keskin kesimning kosinusu \(0\) dan katta va \(1\) dan kichik.

Agar bog'lanmagan topshiriqda g'olibning eng yuqori qismining kosinasi 1 dan katta yoki manfiy bo'lsa, g'olib yo'qotadi.

Sonning kosinusu

Raqamli rang har qanday sonning kosinusini aniqlashga, balki bir-biriga bog'liq bo'lgan sonlarning kosinusini bilishga imkon beradi: \(\frac(p)(2)\), \(\frac(3p)(4) \), \(- 2p\ ).

Masalan, \(\frac(p)(6)\) soni uchun kosinus \(\frac(\sqrt(3))(2)\) ga teng. Va \(-\)\(\frac(3p)(4)\) soni uchun u ko'proq \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (taxminan \(- 0 , 71\)).

Boshqalar uchun kosinus ko'pincha raqamlarni mashq qilishda keskinlashadi, hayratda.

Kosinusning qiymatlari birinchi navbatda (-1) dan (1) gacha bo'lgan chegaralarda yotadi. Ushbu hisob-kitob bilan kosinus mutlaqo har qanday raqam bo'lishi mumkin.

Kosinus o'zing bilgan bo'lsin

Umuman olganda, sonli hisoblash kosinusni o'tkir kesish, to'mtoq, salbiy va kattaroq, pastroq (360 °) (qaytish) sifatida belgilash mumkin. Qanday ishlash kerak - buni bir marta, bir oz (100) marta mashq qilish osonroq, keyin siz rasmga hayron qolasiz.

Endi tushuntiramiz: kesmaning kosinusini hisoblaymiz KOA Darajali dunyodan (150 °) gacha. Keling, mavzuga o'tamiz Haqida qoziq markazi bilan, va b_k KELISHDIKMI- Hamma tomondan \ (x \). Shundan so'ng biz uni (150 °) yubiley o'qining qarshisiga qo'yamiz. Todi nuqtaning ordinatasi A bizga bu kesimning kosinusini ko'rsating.

Qanday qilib bizni graduslik burchak ostida ko'rsatish mumkin, masalan, \(-60 °\) (da KOV), shuningdek (60°\) yil strelkasi orqasida joylashgan.

I, nareshti, kut big (360°) (kut KIS) - hamma narsa to'g'ridan-to'g'ri o'xshashga o'xshaydi, faqat yil o'qi boshqa burilishdan o'tgandan so'ng, u boshqa aylanaga aylanadi va "bizda darajalar tanqisligi paydo bo'ladi". Bizning holatlarimizda kut (405 °) va yaroq (360 ° + 45 °) mavjud.

Kesish uchun, masalan, \(960°\) da ikkita burilish (\(360°+360°+240°\)) va kesish uchun esa \( 2640°\) - butun sm.

Varto buni eslaydi:

To'g'ridan-to'g'ri kesmaning kosinasi nolga teng. O'tkir kesmaning kosinusu manfiy.

Choraklar bo'yicha kosinus belgilari

Qo'shimcha kosinus o'qi orqasida (xaritada qizil rang bilan ko'rsatilgan abscis o'qi bilan bir xil) raqamli (trigonometrik) raqam yordamida kosinuslarning belgilarini aniqlash oson:

O'qdagi qiymatlar (0) dan (1) gacha bo'lgan joyda, kosinus ortiqcha belgisiga ega (I va IV choraklar - yashil maydon),
- u erda, (0) dan (-1) gacha bo'lgan o'qdagi qiymatlar, kosinus va minus belgisi (II va III choraklar - binafsha rang maydoni).

dumba. Belgisi \(\cos 1\).
Qaror: Biz (1) ni trigonometrik jihatdan bilamiz. Buni \(p=3,14\) ekanligidan ko'rish mumkin. Bu shuni anglatadiki, bittasi nolga taxminan uch marta yaqinroq ("boshlanish" nuqtasiga).

Agar siz kosinus o'qiga perpendikulyar chizsangiz, u holda \(\cos⁡1\) ijobiy ekanligi ayon bo'ladi.
Mavzu: ortiqcha.

Boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan bog'lanish:

- bir xil kesim (yoki raqamlar): asosiy trigonometrik identifikatsiya \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- bir xil kesim (yoki raqamlar): formuladan foydalanib \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- va bir xil kesimning (yoki sonning) sinusi bo'yicha: formula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Boshqa eng keng tarqalgan formulalarga hayron bo'ling.

Funktsiya \(y=\cos(x)\)

Agar (x) o'qi bo'ylab radianlarda va (y) o'qi bo'ylab - mos keladigan kosinus qiymatlarini chizsak, biz keyingi grafikni chizamiz:

Ushbu jadval deyiladi va kuchning kelishini ko'rsatishi mumkin:

Ahamiyat sohasi - x qiymati qanday bo'lishidan qat'iy nazar: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- qiymatlar diapazoni - \(-1\) dan \(1\) gacha: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- parna: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- davriy davri \(2p\): \(\cos⁡(x+2p)=\cos(x)\)
- nuqtalar koordinata o'qlari bo'ylab chizilgan:
butun abscis: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+pn\),\(;0)\), de \(n s Z\)
barcha ordinatalar: \((0;1)\)
- tanishlik oralig'i:
funktsiya oraliqlarda musbat: \((-\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\) \(\frac(p)(2)\) \(+2pn) \), de \(n Z Z)
funktsiya oraliqlarda manfiy: \((\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pn;\)\(\frac(3p)(2)\) \(+2pn)\ ), bu erda \(n Z Z)
- o'sish va pasayish intervallari:
funktsiya oraliqlarda o'sadi: \((p+2pn;2p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
funktsiya intervalgacha o'zgaradi: \((2pn;p+2pn)\), bu erda \(n s Z\)
- maksimal va minimal funktsiyalar:
funktsiya \(x=2pn\) nuqtalarda maksimal qiymatga ega bo'ladi, bu erda \(n s Z\)
funktsiya \(x=p+2pn\) nuqtalarida minimal qiymatlarga ega \(y=-1\), bu erda \(n Z Z).