Клас: 1
Цілі уроку:
- Освітня:познайомити зі знаками менше<», больше « >», дорівнює «=» та записами виду 2<3, 3>2, 4 = 4, повторити геометричний матеріал, склад чисел;
- Розвиваюча:розвиток комунікативних якостей особистості (уміння працювати у парі, вести навчальний діалог, проводити самооцінку)
- Виховна:виховання почуття співпереживання, взаємодопомоги.
Хід уроку
1. Орг. момент
Увага, перевір дружок,
Чи готовий ти розпочати урок?
Всіли на місці, всіли в порядку
Книга, ручка та зошити?
І кольорові олівці
Ти на парту поклади,
І лінійку не забудь
В математику прямуємо!А зараз, хлопці, зручніше сідайте,
Не шуміть, не крутіться,
І уважно рахуйте
А запитаю вас – відповідайте.
Вам умова зрозуміла?
Це чути мені приємно
Подорож кличе
Першокласник на урок!
2. Основна частина:
Вчитель:А зробимо ми з вами сьогодні політ у незвіданий космічний простір. Сьогодні ми не будемо учнями, а дослідниками космічного простору. А щоб політ пройшов вдало, давайте згадаємо, чим ми займаємося на уроках математики?
Учні:Вирішуємо, вважаємо, пишемо, думаємо…
Вчитель:А як ви думаєте, що ми робитимемо сьогодні?
Вчитель:Щоб політ пройшов вдало, необхідно:
- Уважними
- Точно та правильно виконувати завдання
- Не допускати помилок, інакше ракета може зазнати аварії.
У розрахунковий час, стартуючи із Землі,
До загадкових зірок
Летять кораблі
Уявимо: трохи помріяли –
І всі стали космонавтами.
Вчитель:Отже, підвищена увага! До старту ракети залишилося 10 секунд, давайте трохи порахуємо. (Учні ведуть рахунок)
- Рахунок ланцюжком до 10.
- Починає вчитель, діти продовжують.
- Відлік у зворотному напрямку.
- Відлічуємо секунди 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 пуск. Ми в польоті!
Вчитель:Діти, подивіться на дошку, вона сьогодні перетворилася на «зоряне небо». Але ж які незвичайні зірки! Що вони нам нагадують?
Учні:геометричні фігури.
Вчитель:Що за фігури, назвіть.
Учні:відрізок, пряма, крапки, ламана, крива.
Вчитель:Поки ми дивилися на небо очі втомилися, давайте зробимо для них зарядку.
Малюй очима трикутник,
Тепер його переверни
Вершиною вниз
І знову очима
Ти по периметру веди.
Малюй вісімку вертикально
Ти головою не крути,
А лише очима обережно
Ти вздовж по лініях води
І на бочок її клади.
Тепер стеж горизонтально.
І в центрі ти зупинися.
Замружся міцно, не лінуйся.
Очі відкриваємо ми, нарешті
Зарядка закінчилася.
Ти молодець!
Вчитель:Діти, подивіться, наш пульт управління знаходиться в аварійному стані. Запали кнопки, потрібно виправити пульт.
- Яке число йде за рахунку за числом 3, 6, 9?
- Яке число стоїть перед числом 2, 5, 8, 10?
- Назвіть сусідів числа 2, 7?
Але на пульті крім цифр є ще різні знаки, вони теж стерлися, давайте їх відновимо (діти по черзі відповідають, інші ляскають у долоні, якщо правильно)
| 2 3=5 | 4 =2 | |
| 5 1=4 | 1+ =4 | |
| 3+ =5 | 5- =4 |
Молодці! Пульт справний.
Вчитель:Поки наша ракета піднімається вгору, пограємо у гру «Склади фігуру».
Потрібно з паличок скласти фігуру, що складається із чотирьох квадратів.
Порахуй, скільки тут квадратів? (Фігура складається з 4 квадратів)
Переклади 2 палички так, щоб вийшло 5 однакових квадратів.
Фізмінутка: (неголосно звучить весела музика)
На зарядку сонечко піднімає нас,
Піднімаємо руки ми по команді раз,
А над нами весело шелестить листя,
Опускаємо руки ми по команді зо два.
Зберемо в кошик ягоди, гриби –
Дружно нахиляємось по команді три.
На чотири та на п'ять
Будемо дружно ми стрибати.
Ну, а за командою шість
Всім за парти тихо сісти!
Вчитель:А зараз приготуйте свої квадрати. Покладіть у верхній ряд 2 зелені квадрати, а в нижній 3 сині.
Яких квадратів менше?
Яке число менше 2 чи 3?
У математиці є спеціальний запис. Це записують так: 2<3
< – знак меньше
Яких квадратів більше? (синіх)
Яке число більше? (3)
Хто здогадався, як це записати? 3>2
> – знак більше
Знак ставиться так, щоб до більшого числа «дзьобик» було відкрито.
Давайте відпочинемо та подивимося телевізор, що у нас сьогодні показують (робота з підручником, виконання завдання).
- Скільки було пташок на першому малюнку
- Скільки прилетіло
- Скільки стало
- Їх стало більше чи менше
- Як це записали, прочитайте
- Скільки ягід на пензлику
- Що сталося з ягодами
- Як це записати
- Яке число більше, менше?
Вчитель:Наша ракета стрімко мчить угору. Екіпаж працює злагоджено, чітко. Нині серйозна робота, ми виходимо у відкритий космос. О, я бачу планету, від неї відокремлюється якийсь несподіваний літаючий об'єкт. Що це? Інопланетяни хочуть знищити нашу ракету. Приготуйтеся до математичної битви. А зброєю буде розум та сміливість. Я показую приклад, ви за допомогою віял цифр відповідь.
У кого попросити допомоги, якщо дуже важко? (Сусіда по парті)
| 2+2 | 1+2 | 4-2 | ||
| 3+2 | 3-1 | 5-3 |
- Ми перемогли, корабель віддаляється. Заповнимо ботржурнали. Перевірте робоче місце, сядьте зручніше, щоб борт журнали лежали правильно, записи були чіткими та акуратними. Працюємо на сторінці 11. (робота у зошитах на друкованій основі для 1 класу)
– Перед вами знаки. Як називається перший знак? (більше)
Як називається другий знак? (менше)
Напишіть знак по крапках, допишіть до кінця рядка.
Вчитель:Перед стартом ракети я пропоную вам попрацювати у парі. У вас на столах картки, потрібно вставити знаки «більше» або «менше».
Картка.
| 2*3 | 5*7 | 8*5 | ||
| 5*3 | 10*7 | 6*2 | ||
| 3*9 | 7*1 | 6*9 |
3. Рефлексія:
Завдяки дружній роботі наша ракета здійснила м'яку посадку. Під час польоту ми провели велику роботу.
- Скажіть, що ви дізналися для себе нового?
- Чим ми сьогодні займалися?
– Що допомогло вам добре працювати на уроці?
У вас на столах лежать мордочки, намалюйте на них вираз обличчя веселе або сумне, кому на уроці було добре підніміть веселу мордочку. А в кого щось не вийшло і було сумно? (Таких може не бути)
Політ завершений, дякую всім!
Поряд з арифметичними діями відбувається знайомство з такими абстрактними поняттями, як «більше», «менше» та «рівно». Визначити, з якого боку більше предметів, а з якого – менше, дитині не складе особливих труднощів. Але постановка знаків часом викликає труднощі. Засвоїти знаки допоможуть ігрові методи.
«Голодна пташка»
Для гри знадобиться знак - розкритий дзьоб (знак "більше"). Його можна вирізати з картону або зробити велику модель одноразової тарілки. Щоб зацікавити малюка, можна приклеїти або домалювати очі, пір'я, а рот зробити таким, що відкривається. .
Пояснення починається з передісторії: «Ця пташка – невелика, любить добре поїсти. Причому вона вибирає завжди ту купку, в якій більше їжі».
Після цього наочно показується, що пташка відкриває дзьоб убік, де більше предметів.
Далі отримана інформація закріплюється: на столі викладаються купки із зернятками, а дитина визначає, в який бік пташка поверне свій дзьоб . Якщо не вдасться правильно розташувати його з першого разу, потрібно допомогти ще раз проговоривши, що рот відкритий у бік більшої кількості їжі. Потім можна запропонувати ще кілька аналогічних завдань: числа написані на аркуші, потрібно правильно приклеїти дзьоб.
Приклади можна урізноманітнити, замінивши пташку щукою, крокодилом або будь-яким іншим хижаком, який також роззявляє пащу у бік більшого числа.
Можуть потрапити незвичайні ситуації, де кількість предметів в обох купках буде рівна. Якщо дитина це помітить – значить уважна.
За це потрібно обов'язково похвалити , А потім показати 2 однакові смужки і пояснити, що вони такі ж однакові, як і число предметів у купках, а якщо кількість предметів дорівнює, то й знак називається "рівно".
Стрілочки
Маленькому школяру можна пояснити знаки на основі порівняння зі стрілками, що показують у різні боки.
Складнощі можуть виникнути під час читання виразів. Але і ця труднощі переборна: правильно поставивши знак, він зможе правильно прочитати вираз . Виконавши кілька вправ, дитина запам'ятає, що стрілка, що вказує наліво, позначає знак «менше». Якщо вона вказує праворуч, то знак читається: «більше».
Вправи на закріплення
Після пояснення правил встановлення знака необхідно потренуватися у виконанні аналогічних завдань.
З цією метою підійдуть завдання такого типу:
- «Постав знак» (4 та 5 – потрібен знак «менше»).
- "Більш-менш" - дитина великим і вказівним пальцями обох рук показує знаки, порівнюючи розміри різних предметів або їх кількість (літак більше бабки, суниця менше кавуна).
- "Яке число" — стоять знаки, написано число з одного боку, треба здогадатися, яке буде з іншого боку (у виразі «_<5» на месте пропуска могут стоять числа 0 – 4).
- «Допиши числа» — потрібно правильно поставити числа ліворуч і праворуч від зазначеного знака (число 8 стоятиме ліворуч від знака «більше», а число 2 – праворуч).
Для розвитку логіки та мислення можна доповнити вправи такими завданнями:
- «З якого боку втік предмет?» — ліворуч намальовано 3 трикутники, праворуч – 2 квадрати, а між ними стоїть знак «=». Дитина повинна здогадатися, що справа не вистачає квадрата, щоб рівність була вірною. Якщо не виходить це зробити відразу, можна вирішити завдання практично, додавши спочатку зліва трикутник, а потім справа квадрат.
- «Що потрібно зробити, щоб нерівність стала правильною?» — з урахуванням ситуації дитина визначає, з якого боку потрібно прибрати або додати предмети, щоб знак стояв правильно.
Відео інфоурок розповість про знаки: більше, менше та одно
В абстрактній алгебрі повсюдно використовуються символи для спрощення та скорочення тексту, а також стандартні позначення для деяких груп. Нижче наведено список алгебраїчних позначень, що найчастіше зустрічаються, відповідні команди в … Вікіпедія
Математичні позначення – це символи, що використовуються для компактного запису математичних рівнянь та формул. Крім цифр і літер різних алфавітів (латинської, у тому числі в готичному накресленні, грецької та єврейської), ... Вікіпедія
Стаття містить список загальновживаних абревіатур математичних функцій, операторів та інших математичних термінів. Зміст 1 Абревіатури 1.1 Латиниця 1.2 Грецька абетка … Вікіпедія
Юнікод, або Унікод (англ. Unicode) – стандарт кодування символів, що дозволяє подати знаки практично всіх письмових мов. Стандарт запропонований у 1991 році некомерційною організацією «Консорціум Юнікоду» (англ. Unicode Consortium, ... Вікіпедія
Список специфічних символів, що використовуються в математиці, можна побачити в статті Таблиця математичних символів Математичні позначення («мова математики») складна графічна система позначень, що служить для викладу абстрактних… Вікіпедія
У цього терміна існують інші значення, див. Плюс мінус (значення). ± ∓ Знак плюс мінус (±) математичний символ, який ставиться перед деяким виразом і означає, що значення цього виразу може бути як позитивним, так і … Вікіпедія
Необхідно перевірити якість перекладу та привести статтю у відповідність до стилістичних правил Вікіпедії. Ви можете допомогти … Вікіпедія
Або математичні символи знаки, які символізують певні математичні події зі своїми аргументами. До найпоширеніших відносяться: Плюс: + Мінус: , − Знак множення: ×, ∙ Знак розподілу: :, ∕, ÷ Знак зведення в… … Вікіпедія
Знаки операцій або математичні символи - знаки, які символізують певні математичні дії зі своїми аргументами. До найпоширеніших відносяться: Плюс: + Мінус: , − Знак множення: ×, ∙ Знак розподілу: :, ∕, ÷ Знак зведення… … Вікіпедія
Конспект уроку математики : Знаки: > (більше),< (меньше), = (равно).
Цілі:
Особистісні:
зберігати мотивацію до навчання, орієнтуватися на розуміння причин успіху у навчанні,
виявляти інтерес до нового навчального матеріалу, розвивати здатність до самооцінки.
Регулятивні:
приймати та зберігати навчальне завдання, враховувати виділені вчителем орієнтири дії,
здійснювати підсумковий
та покроковий контроль,
адекватно приймати оцінку вчителя, розрізняти метод і результат действия.
Пізнавальні:
порівнювати множини, розглядати параметри абсолютного (багато – мало) та відносного (більше – менше) порівняння.
встановлювати взаємно - однозначні відповідності між елементами множин як основу відносин «більше», «менше», «рівно» між відповідними множинами числами.
використовувати знаки для позначення цих відносин (=, >,<).
порівнювати числа з урахуванням порівняння відповідних їм множин.
аналізувати об'єкти, виділяти головне, здійснювати синтез (ціле з частин), проводити порівняння,
будувати міркування про об'єкт, узагальнювати (виділяти клас об'єктів за якоюсь ознакою).
Комунікативні:
допускати існування різних точок зору,
враховувати різні думки,
прагнути до координації,
формулювати власну думку та позицію у висловлюваннях, ставити питання по суті.
Хід уроку
I. Організаційний момент.
ІІ. Актуалізація раніше вивченого.
Усний рахунок.
Ми сьогодні вирушимо з вами на прогулянку до казкового лісу.
Стежкою в лісок
Покотився колобок.
Зустрів сірого зайчика,
Зустрів вовка, зустрів ведмедика
Та шахрай - лисицю
Зустрічав ще в лісі.
Відповідай швидше,
Скільки він зустрів звірів?
Назвіть сусідів з числа 4.
Яке число слідує за числом 5?
Яке число стоїть перед числом 10?
Яке число стоїть між числами 6 та 8?
Молодці! Продовжуємо свій шлях.
Подивіться, які чудові ялинки зустрілися нам на шляху. Давайте нарядимо їх.
З кожного ряду один учень виходить та вставляє потрібні числа. (Числа записані на шишках.)
Перевірка.
-
Значить, 3 - це 2 та 1, 1 та 2; 4 – це 2 та 2,3 та 1, 1 та 3, 5 – це 2 та 3, 3 та 2, 4 та 1, 1 та 4.
Фізмінутка.
У небі плаває місяць,
До хмар зайшла вона.
1, 2, 3, 4, 5 – можемо ми місяць дістати,
6, 7, 8, 9, 10 - і нижче переважити.
ІІІ. Пояснення нового матеріалу.
-
Ми вийшли на галявину. Які гриби ви бачите? (Білі та мухомори)
На які інші дві групи їх можна розбити? (їстівні та неїстівні)
-
Переді мною два кошики. В одну покладіть їстівні гриби, в іншу неїстівні гриби.
Які ще їстівні гриби знаєте? Пам'ятайте про це, коли збираєтесь у ліс за грибами.
Порахуємо, скільки тих та інших грибів (3 та 2)
У якому кошику більше грибів? Чому?
Як ви порівнювали? (Поставили парами, один під одним)
Який висновок робимо? (Білому грибу забракло пари, значить білих грибів більше)
Скільки білі грибів? (3)
Якою цифрою позначимо? (3)
Скільки мухоморів? (2)
Якою цифрою позначимо? (2)
Порівняйте кількість грибів?
Яке число називають раніше: 3 або 2?
Порівняли числа ви правильно, але як це записати? (Відповіді дітей).
-
Щоб не писати слова «більше», «менше», «рівно» математики домовилися позначати їх спеціальними знаками. Так слово «більше» ми позначатимемо знаком «>». Подивіться. На що він схожий? (На дзьобик пташки).
Ви повинні запам'ятати, що вістря знака завжди вказує на менше.
Прочитаємо запис (три більше за два): 3 > 2.
Що ми можемо сказати про кількість мухоморів? (їх два).
Скільки білі? (3).
Зробимо висновок: 2< 3.
Читаємо вголос (два менше трьох).
Про що повинні пам'ятати під час запису нерівності? (Що вістря завжди вказує на менше).
Як зробити, щоб грибів стало порівну? (Потрібно додати один мухомор) Робота біля дошки.
Скільки білі грибів? (3).
Скільки мухоморів? (3)
Що можна сказати про їхню кількість?
3=3.
Прочитаємо запис (три і три).
Як інакше можна зробити однакову кількість грибів, зрівняти їх? (Один білий гриб прибрати).
Скільки стало білих грибів? (2).
Скільки мухоморів? (2).
Що ми можемо сказати про їхню кількість? (Одинкове)
Як записати?
2=2.
Прочитаємо запис (два одно двом).
Добре! Подивіться, який у нас вийшов запис. Скажіть, із якими знаками ви сьогодні познайомилися?
Фізмінутка.
Буратіно потягнувся,
Раз – нахилився, два – нахилився
Руки убік розвів -
Видно, ключик не знайшов.
Щоб ключик нам дістати,
Треба на шкарпетки встати.
I V. Закріплення.
Скільки та які фігури зображені нагорі сторінки? Давайте уважно прочитаємо математичні записи під фігурами.
Складіть розповідь про птахів по лівому малюнку. Прочитайте записи. Попрацюємо також з правого малюнку.
Придумайте розповідь про вишні та відновіть записи.
Фізмінутка для очей.
Закрийте, хлопці, очі. Подивіться вгору, вниз, праворуч, ліворуч, прислухайтеся. Чуєте, як у нашому чарівному лісі співають пташки.
Молодці! Відкриваємо очі, сідаємо.
Чарівні птахи запрошують нас до зошита.
Зошит №1 с. 11.
Знайдіть завдання під першим колом. Хто може прочитати, що треба зробити?
Самостійне складання прикладів. Один учень працює біля дошки.
Подивіться, що сталося з годинником унизу сторінки? Потрібно відновити зниклі цифри.
Переходимо до останнього завдання. Як називається знак у верхньому рядку? У нижній? Закінчіть рядки знаків.
V. Підсумок уроку.
Що нового дізналися на уроці?
Про що маємо пам'ятати, коли ставимо знаки порівняння?
VI. Рефлексія:
Хто залишився задоволеним своєю роботою на уроці?
Хто вважає, що міг працювати краще?
Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат - борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого "борщового" прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються у рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб це зрозуміти, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони вирішувати не вміють. Дивіться. Якщо нам відомий результат складання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два доданки за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути одне доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути друге доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може знадобитися.
Ще один закон складання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у області описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць виміру різних об'єктів, ми зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з діями. Буквою Wя позначу воду, літерою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон складання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Досить один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. Ми маємо багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мене кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречні.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики і намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути невичерпне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх ніде. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона вже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з вже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншого безлічі натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою помилкових міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про та побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "... багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто у мене вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити безліч на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, що є частиною елементів обраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня в людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає - множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Звичайно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосована математика у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, насправді перетворень зроблено все правильно, досить знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одне надмножина можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, є те, що для теорії множин математики вигадали власну мову та власні позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .
понеділок, 7 січня 2019 р.
У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячі кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той же бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міра стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Арістотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблений, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, то все стає на свої місця. Ахіллес біжить із постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно говоритиме "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха у той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Стріла, що летить, нерухома, так як у кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. По одній фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама безліч або дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. У чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" дійти такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їх "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
