Числа та цифри

Поняття про число зародилося в давнину, коли людина навчилася вважати предмети:два дерева, сім биків, п'ять риб. Спочатку рахунок вели на пальцях. У розмовній промові ми й досі іноді чуємо: «Дай п'ять!», тобто подай руку. А раніше казали: "Дай п'ясти!"П'ясть- це рука, а на руці п'ять пальців. Колись слово п'ять мало конкретне значення – п'ять пальців п'ясти, тобто руки.

Пізніше замість пальців для рахунку почали використовувати зарубки на паличках. А коли виникла писемність, для позначення чисел почали вживати літери. Наприклад, у слов'ян буква А означала число «один» (Б не мало числового значення), В – два, Г – три, Д – чотири, Е – п'ять.

Поступово люди стали усвідомлювати числа незалежно від предметів та осіб, які могли піддаватися рахунку: просто число два або число сім. У зв'язку з цим у слов'ян з'явилося слово число. У значенні «рахунок, величина, кількість» його почали вживати російською з ХI століття. Наші пращури говорили: числота для вказівки на дату, рік. З ХIII століття воно позначало ще й данину, подати.

За старих часів у книжковій російській мові поряд зі словомчисломало ходіння іменникчисмя, а також прикметникчисменний. У ХVI столітті з'явилося дієсловочислити- «Вважати».

У другій половині ХV століття в європейських країнах набули поширення спеціальні знаки, що позначають числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Їх винайшли індійці, а до Європи вони потрапили завдяки арабам, тому і отримали назву арабські цифри.

У нашій країні арабські цифри з'явилися торік у Петровську епоху. Водночас у російську мову увійшло слово цифра. Арабське за походженням, воно теж прийшло до нас із європейських мов. У арабів первісне значення слова цифра- Це нуль, пусте місце. Саме в цьому значенні іменник цифраувійшло до багатьох європейських мов, у тому числі до російської. З середини ХVІІІ століття слово цифранабуло нового значення - знак числа.

Сукупність цифр у російській мові називалася цифра(У старій орфографії цифра). Діти, які вивчали рахунок, казали: навчаю цифру, пишу цифру. (Згадайте вчителі на прізвище Цифіркінз комедії Дениса Івановича Фонвізіна «Недоук», який навчав недбайливого Митрофанушку цифри, тобто арифметиці.) За Петра I в Росії відкрили цифрові школи- Початкові державні загальноосвітні навчальні заклади для хлопчиків. Вони крім інших дисциплін дітям викладали цифрову науку- арифметику, математику.

Отже, слова числоі цифрарозрізняються і за значенням та за походженням. Число- одиниця рахунку, що виражає кількість ( один будинок, два будинки, три будинкиі т.д.). Цифра- Знак (символ), що означає значення числа. Для запису чисел ми використовуємо арабські цифри – 1, 2, 3… 9, 0, а деяких випадках і римські – I, II, III, IV, V тощо.

В наші дні слова числоі цифраВикористовуються та інших значеннях. Наприклад, коли ми запитуємо «Яке сьогодні число?», то маємо на увазі день місяця. Поєднання « в тому числі», « з числакогось», « В числікогось» позначають склад, сукупність людей чи предметів. А якщо ми доводимо щось з цифрами в руках, то обов'язково використовуємо числові показники. Словом цифраназивають також грошову суму ( цифра доходу, цифра гонорару).

У розмовній мові слова числоі цифрачасто замінюють одне одного. Наприклад, числом ми називаємо як величину, а й знак, що її виражає. Про дуже великі у числовому відношенні величини говорять астрономічні числаабо астрономічні цифри.

Слово кількістьвиникло російською у XI столітті. Воно прийшло зі старослов'янської мови та утворене від слова коліко- "скільки". Іменник кількістьвикористовується у застосуванні до всього, що піддається рахунку та виміру. Це можуть бути люди чи предмети ( кількість гостей, кількість книг), а також кількість речовини, яку ми не рахуємо, а вимірюємо ( кількість води, кількість піску).

Доктор філологічних наук Наталія Чернікова

http://www.nkj.ru/archive/articles/17798/

Основні поняття систем числення

Система числення - це сукупність правил і прийомів запису чисел з допомогою набору цифрових символів. Кількість цифр, необхідні запису числа у системі, називають основою системи числення. Основа системи записується праворуч числа в нижньому індексі: ; ; і т.д.

Розрізняють два типи систем числення:

позиційні, коли значення кожної цифри числа визначається її позицією запису числа;

непозиційні, коли значення цифри у числі залежить від її місця у записі числа.

Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо. Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.

Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:

де S - основа системи числення;

Цифри числа, записаного у цій системі числення;

n – кількість розрядів числа.

приклад. Число запишеться у формі багаточлена наступним чином:

Види систем числення

Римська система числення є непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. У цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу тощо. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При записі чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати поряд більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з більшим значенням слідує цифра з меншим, її внесок у значення числа в цілому є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел у римській системі числення, наведені в таблиці.

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Недоліком римської системи є формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.

Десятичня система числення – нині найвідоміша і використовувана. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.

Давнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.

Десяткова система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, цифри записувалися у порядку - найбільш значуща цифра ставилася справа. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичили індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Ця історично неправильна назва утримується й досі.

Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.

У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її основа - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще у ХVII – ХIХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.

Вибір двійкової системи до застосування в обчислювальної техніки пояснюється лише тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.

За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою абетки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї абетки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені двійковою – вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-теричній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

n (ступінь)
											1024

приклад. Число перевести до десяткової системи числення.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

n (ступінь)

Системи числення:

- Позиційна.

- Непозиційна.

Непозиційні системи числення – системи, у яких символи, які використовуються уявлення числа, не змінюють свого значення зі зміною розташування. Наприклад, римська: I, V, X, C (правило: якщо цифра ліворуч менша від цифри праворуч, то ліва віднімається з правої. Якщо цифра справа менша або дорівнює цифрі ліворуч, то ці цифри складаються).

Позиційна система числення – це впорядкований набір символів, заданих абеткою. Число символів або цифр алфавіту називають основою системи.

Еквівалентою 16-чної цифри явл. чотирирозрядне 2-чне число-тетрада.

q

A

B

C

D

E

F

Переклад цілих чисел.

З 10-чної в q-ю. Виділяють 3 способи перекладу:

1. розподіл на основу нової с.с. (q)-початкове число Х та наступні отримані приватні ділять на q до получ. частки, менше q; получ. залишки явл. розрядами числа у q-й с.с.; останнє приватне явл. старшим розрядом нов. числа, останній залишок-другий, перв. зуп.-останнім:

2.метод підрозрядного «зважування»;

Метод «зваженого» кодування.

Переклад дробових чисел.

З 10-чної в q-ю.

При перекладі дробових чисел говорять про переклад із заданою точністю та використовують метод послідовного множення на основу нової с.с.

Вих. число Х (дрібне, дестичне) і дроби, що одержуються, послідовно множимо на q до получ. дробової частини, що дорівнює 0 (при точному перекладі) або до получ. потрібного кільк. цифр у q-му записі числа (при перекладі із заданою точністю). Число Х q с.с. образ. як послідовність цілих частин творів.

Х 10 = 0,875; q=2.

-дрібна частина без 1 дорівнює 0.

При перекладі дробових чисел, утрим. знаменник, кратний ступеня двійки, чисельник перекладається за правилом для цілих чисел, а потім точка переноситься на n розрядів вліво (n-ступінь двійки, кіт. Кратен знаменник):

Переклад змішаних чисел.

При перекладі сміш. чисел, його ціл. і дроб. частини перекладаються окремо за правилами вищими; потім з'єднуються через точку.

Х 10 = 15,875; q=2;

[Х 10] = 15 = =1111 2

0,875 10 = 2 X 2 = 1111.111 2

Переклад з q-ї до 10-ї с.с. викон. за формулою полінома .

Переклад чисел із однієї с.с. у ін. с.с. з довільними підставами осущ. через десятирічну. с.с.

Інформація та дані.

Дані – це безпосередня реалізація інформації. Вони можуть бути представлені у числовому, графічному чи символьному вигляді. Дані стають інформацією лише під час вирішення конкретної проблеми, тобто під час їх споживання.

Інформація – це лише ті дані, які усувають невизначеність у холі вирішення питання та дозволяють ухвалити відповідне рішення.

Перетворення даних на інформації здійснюється споживачем на основі власної інформаційної моделі. Інформаційна модель об'єкта – сукупність характеристик об'єкта разом із числовим чи іншим значенням.

Форма подання даних визначається час та зусилля, які необхідно витратити користувачеві на отримання інформації, що впливає на споживчу діяльність та вартість інформації.

Операції з даними:

Збір даних- Нагромадження інформації з метою забезпечення достатньої повноти для прийняття рішення.

Формалізація- Приведення даних до однієї форми.

Сортування- Упорядкування даних за заданою ознакою.

Архівація-упорядкування даних за заданою ознакою з метою зручності.

Перетворення- Перехід даних з однієї форми в іншу.

Захист даних- Комплекс заходів, спрямованих на запобігання втраті, відтворення та модифікації даних.

Транспортування-процес передачі інф. від місця її генерації до місця використання м зберігання.

Загальна схема передачі:

Процеси, пов'язані з операціями над даними, називаються інформаційними процесами, а символи, що їх реалізують – інформаційними системами.

Інформаційна система – організаційно впорядкована сукупність документів та інформаційних технологій, що реалізують питання.

Розрізняють інформаційні системи:

Інформаційно-довідкові системи

Інформаційно-пошукові системи.

Системи обробки та передачі даних.

Системи зв'язку.

Системи управління.

Кількісна оцінка інформації.

Така оцінка інформації необхідна, щоб порівняти один з одним масиви інформації, що зберігається або передається, а також оцінити розміри носіїв.

Системою числення (СС) називають сукупність цифрових знаків та правил їх запису, що застосовується для однозначного зображення чисел. Розрізняють позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах числення значення кожної цифри не залежить від її позиції в числі. В даний час непозиційні системи числення застосовуються рідко і в основному для нумерації.

Непозиційною системою числення є римська система. У ній застосовуються такі цифри:

десяткові числа: 1 5 10 50 100 500 1000 і т. д.;

римські цифри: I V X L C D M і т.д.

Десяткове число 32 зображується в римській системі числення так:

XXXII = X+X+X+I+I=32,

тобто кілька однакових цифр, що стоять поруч, підсумовуються. Якщо поруч стоять дві різні цифри, то вони можуть або підсумовуватися, або відніматися, наприклад

ХХVI = X + X + V + I = 26 та IX = X - I = 9.

Арифметичні дії з числами у непозиційних системах складні.

У ЕОМ переважного застосування отримали позиційні системи числення, у яких значення кожної цифри перебуває у суворій залежності від її позиції в числі.

Підставою системи числення називають кількість різних цифр, що застосовуються в цій позиційній системі числення. Всім відома з дитинства десяткова система числення, у якій застосовується десять цифр.

Десяткова система числення – єдина позиційна система. Можливі позиційні системи числення з будь-яким підставою як цілого числа. Приклади систем числення наведено у таблиці.

Особливий інтерес щодо обчислювальної техніки представляють двійкова, вісімкова і шістнадцяткова системи числення (таблиця 4.1).

Таблиця 4.1

Заснування	Система зчислення	Цифрові символи
	двійкова	0, 1
	трійкова	0, 1, 2
	чотирирічна	0, 1, 2, 3
	п'ятирічна	0, 1, 2, 3, 4
	вісімкова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	десяткова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	дванадцятирічна	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	шістнадцяткова	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

У загальному випадку в позиційній системі числення з деякої основи число

X = a n- 1 a n- 2 … a 1 a 0 a – 1 a – 2 …a –m

X = a n- 1 b n –1 +a n- 2 b n –2 +…+a 1 b 1 +a 0 b 0 +a –1 b –1 … +a-m b –m .

У цій загальній формі a i– цифри, що лежать у діапазоні 0£ a i<b; nі m– кількість розрядів у цілій та дробовій частинах числа відповідно; b- Підстава системи числення; b i- Розрядна вага i-ї цифри.

Запис числа в b-Ічної системи числення називають b-Ічним кодом числа. Двійковий, вісімковий та шістнадцятковий коди десяткового числа, наприклад, 19,375 виглядають наступним чином:

19,375 (10) =10011,011 (2) =23,3 (8) =13,6 (16) .

Десятковий індекс, що супроводжує число, вказує на основу системи числення. Індекс опускається, коли основа системи числення відома з контексту.

У вигляді поліномів вже розглянуте десяткове число 19375 можна записати так:

19,375 (10) =10011,011 (2) =1×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 +0×2 –1 +1×2 –2 +1 ×2 –3 =

16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.

19,375 (10) = 23,3 (8) = 2×8 1 +3×8 0 +3×8 –1 = 16+3+3/8.

19,375 (10) = 13,6 (16) = 1 × 16 1 +3 × 16 0 +6 × 16 -1 = 16 +3 +6/16.

Таблиця 4.2 – Коди чисел у різних позиційних системах числення

Десяткові	Двійкові	Восьмеричні	Шістнадцяткові
			A B C D E F
			1A 1B 1C 1D
			1E 1F

Числа, записані в десяткових системах числення, слід вимовляти негаразд, як і десятковій системі. Наприклад, вісімкове число 23,3 рекомендується читати так: "два-три-кома-три" на відміну від звичного для нас читання десяткового числа 23,3, а саме двадцять три цілих і три десятих".

Для ЕОМ найкращою системою числення виявилася двійкова через простоту технічної реалізації, найбільшу завадостійкість кодування цифр, мінімуму витрат обладнання, простоти арифметичних дій, найбільшої швидкодії та можливості застосування формального математичного апарату для синтезу та аналізу обчислювальних пристроїв. Десяткова система числення зручніша для людини з погляду зручності роботи, але сильно програє двійковою за іншими вимогами. Оцінимо, наприклад, витрати обладнання для запам'ятовування числа 5839 у десятковій системі. Нам знадобиться чотири десяткові розряди по десять стійких станів у кожному, тобто всього 40 стійких станів. У двійковій системі числення для цього числа 5839, вираженого як 1 0110 1100 1111, достатньо мати 13 розрядів на два стійких стану в кожному - всього 26 стійких станів, що приблизно в 1,5 рази менше.

Восьмерична та шістнадцяткова система числення в обчислювальній техніці мають допоміжне значення. Запис чисел у цих системах виходить більш компактним і зручним для людини, ніж у двійковій системі.

У машинах першого та другого поколінь найбільшого поширення набула вісімкова система. Цьому сприяло те, що в ній можна було користуватися цифрами десяткової системи, не вдаючись до будь-яких нових символів, що не можна зробити з використанням шістнадцяткової системи.

У машинах третього і пізніших поколінь замість восьмеричною частіше стала використовуватися шістнадцяткова система, оскільки це уніфікує формати числової та командної інформації та забезпечує більш короткі записи.

У ЕОМ третього і пізніших поколінь за основну одиницю інформації прийнято байт. Один байт дорівнює 8 бітам, тобто описується вісьмома двійковими розрядами. У шістнадцятковій системі для запису інформації, що міститься в одному байті, потрібно 2 символи, а у вісімковій – 3, причому старший розряд вісімкового числа недовикористовується.