Системи числення. Системою числення (СС) називають сукупність цифрових знаків та правил їх запису, що застосовується для однозначного зображення чисел. Система числення – це сукупність цифр та правила для позначення чисел Операції з даними

Числа та цифри

Поняття про число зародилося в давнину, коли людина навчилася вважати предмети:два дерева, сім биків, п'ять риб. Спочатку рахунок вели на пальцях. У розмовній промові ми й досі іноді чуємо: «Дай п'ять!», тобто подай руку. А раніше казали: "Дай п'ясти!"П'ясть- це рука, а на руці п'ять пальців. Колись слово п'ять мало конкретне значення – п'ять пальців п'ясти, тобто руки.

Пізніше замість пальців для рахунку почали використовувати зарубки на паличках. А коли виникла писемність, для позначення чисел почали вживати літери. Наприклад, у слов'ян буква А означала число «один» (Б не мало числового значення), В – два, Г – три, Д – чотири, Е – п'ять.

Поступово люди стали усвідомлювати числа незалежно від предметів та осіб, які могли піддаватися рахунку: просто число два або число сім. У зв'язку з цим у слов'ян з'явилося слово число. У значенні «рахунок, величина, кількість» його почали вживати російською з ХI століття. Наші пращури говорили: числота для вказівки на дату, рік. З ХIII століття воно позначало ще й данину, подати.

За старих часів у книжковій російській мові поряд зі словомчисломало ходіння іменникчисмя, а також прикметникчисменний. У ХVI столітті з'явилося дієсловочислити- «Вважати».

У другій половині ХV століття в європейських країнах набули поширення спеціальні знаки, що позначають числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Їх винайшли індійці, а до Європи вони потрапили завдяки арабам, тому і отримали назву арабські цифри.

У нашій країні арабські цифри з'явилися торік у Петровську епоху. Водночас у російську мову увійшло слово цифра. Арабське за походженням, воно теж прийшло до нас із європейських мов. У арабів первісне значення слова цифра- Це нуль, пусте місце. Саме в цьому значенні іменник цифраувійшло до багатьох європейських мов, у тому числі до російської. З середини ХVІІІ століття слово цифранабуло нового значення - знак числа.

Сукупність цифр у російській мові називалася цифра(У старій орфографії цифра). Діти, які вивчали рахунок, казали: навчаю цифру, пишу цифру. (Згадайте вчителі на прізвище Цифіркінз комедії Дениса Івановича Фонвізіна «Недоук», який навчав недбайливого Митрофанушку цифри, тобто арифметиці.) За Петра I в Росії відкрили цифрові школи- Початкові державні загальноосвітні навчальні заклади для хлопчиків. Вони крім інших дисциплін дітям викладали цифрову науку- арифметику, математику.

Отже, слова числоі цифрарозрізняються і за значенням та за походженням. Число- одиниця рахунку, що виражає кількість ( один будинок, два будинки, три будинкиі т.д.). Цифра- Знак (символ), що означає значення числа. Для запису чисел ми використовуємо арабські цифри – 1, 2, 3… 9, 0, а деяких випадках і римські – I, II, III, IV, V тощо.

В наші дні слова числоі цифраВикористовуються та інших значеннях. Наприклад, коли ми запитуємо «Яке сьогодні число?», то маємо на увазі день місяця. Поєднання « в тому числі», « з числакогось», « В числікогось» позначають склад, сукупність людей чи предметів. А якщо ми доводимо щось з цифрами в руках, то обов'язково використовуємо числові показники. Словом цифраназивають також грошову суму ( цифра доходу, цифра гонорару).

У розмовній мові слова числоі цифрачасто замінюють одне одного. Наприклад, числом ми називаємо як величину, а й знак, що її виражає. Про дуже великі у числовому відношенні величини говорять астрономічні числаабо астрономічні цифри.

Слово кількістьвиникло російською у XI столітті. Воно прийшло зі старослов'янської мови та утворене від слова коліко- "скільки". Іменник кількістьвикористовується у застосуванні до всього, що піддається рахунку та виміру. Це можуть бути люди чи предмети ( кількість гостей, кількість книг), а також кількість речовини, яку ми не рахуємо, а вимірюємо ( кількість води, кількість піску).

Доктор філологічних наук Наталія Чернікова

http://www.nkj.ru/archive/articles/17798/

Люди навчилися рахувати дуже давно, ще в кам'яному віці. Спочатку люди просто розрізняли, один предмет перед ними чи більше. Через деякий час з'явилося слово, яке означало два предмети. А в деяких племен Полінезії та Австралії до останнього часу було тільки два числівники: «один, два». А всі інші числа отримували назву у вигляді поєднання цих двох числівників. Наприклад, число чотири: два, два», три: один, два», шість: два, два, два». І звичайно ж, як люди навчилися вважати, у них з'явилася потреба в записі цих чисел. Знахідки археологів на стоянках первісних людей доводить, що спочатку кількість предметів відображалася рівною кількістю будь-яких значків: рис, зарубків, точок. Така система запису чисел називається ЄДИНИЧНОГО (УНАРНОГО)т.к. Будь-яке число в ній утворюється шляхом повторення того самого знака, що символізує одиницю.

Пальці-перше обчислювальне пристрій т. к. На пальцях можна показати кількість предметів чи років. Так відлуння одиничної системи числення зустрічаються і сьогодні. Наприклад, щоб дізнатися, на якому курсі навчається курсант військового училища, потрібно порахувати кількість смужок нашитих на його рукаві. Також цією системою користуються малюки, показуючи на пальцях свій вік. Поодинока система - не найзручніший спосіб запису чисел. Записувати таким чином великі кількості стомлюючи, та й самі записи при цьому виходять дуже довгими. З часом виникли інші, економічніші системи числення.

Приблизно в третьому тисячолітті до нашої ери в Єгипті з'явилася одна з найдавніших нумерацій, що дійшли до нас у стародавніх папірусах та малюнках - Єгипетська. Для запису чисел єгиптяни використовували спеціальні значки-ієрогліфи. Ієрогліфи використовували як для писемності, так і для позначення ключових. Спочатку значки мали складний вигляд, а з часом набули більш простого.

Всі інші числа становили за допомогою додавання тих чи інших ієрогліфів, а загальна кількість визначалася сумою всіх значків. У єгиптян практикувалося додавання чисел один до одного, тобто ДОДАТОК (шляхом додавання до існуючого ієрогліфа числа ієрогліфа другого доданку). При цьому величина числа не залежала від того, в якому порядку розташовані його знаки на папірусі тобто НЕПОЗИЦІЙНА СИСТЕМА ЗЛІЧЕННЯ. (Як писали, і читали, поспіль). Знаки можна було писати: Згори донизу, праворуч наліво або впереміш. Якщо число зменшувалося, то при швидкому веденні підрахунків, відповідний знак викреслювався або прався. Наприклад, X L D M розшифровується так: Дві тисячі, Дві сотні, п'ять десятків та три одиниці.

Особливу роль у єгиптян відігравало число 2 та його ступеня. Множення та поділ вони проводили шляхом послідовного подвоювання та складання чисел. Виглядали такі розрахунки досить громіздко. Наприклад, щоб помножити 15 на 24 становили таку таблицю: Тут у лівому стовпці записані результати подвоєння одиниці, в правому числа 24. Записи не закінчувалися доти, поки з чисел лівого стовпця неможливо було б скласти множник (1*2) 48 4(2*2) 96 8(4*2) (8*2) =15.Після цього складалися числа з правого стовпця =360

При розподілі єгиптяни багаторазово подвоювали у правому стовпці дільник і, відповідно, у лівому стовпці – 1, поки числа правого стовпця залишалися трохи більше ділимого. Далі з чисел правого стовпця намагалися скласти ділене, і якщо це вдавалося, то сума відповідних чисел у лівому стовпці давала приватне. Якщо ділене не ділилося націло на дільник, то отримували приватне і залишок. Наприклад, щоб поділити 541 на 12 треба було скласти таблицю:

Ідея приписувати цифрам різні величини залежно від того, яку позицію вони займають у записі числа, вперше з'явилася в стародавньому Вавилоні приблизно в третьому тисячолітті до нашої ери. До нашого часу дійшли багато глиняних табличок Стародавнього Вавилону, на яких вирішено найскладніші завдання, такі як обчислення коренів, відшукання об'єму піраміди та ін. Для запису чисел вавилоняни використовували всього два знаки: клин вертикальний (одиниці) і клин горизонтальний (десятки). Усі числа від 1 до 59 записувалися за допомогою цих знаків, як у звичайній ієрогліфічній системі. Приклад:

Алфавітною нумірацією користувалися також південні та східні слов'янські народи. В одних слов'янських народів числові значення літер встановилися в порядку слов'янського алфавіту, в інших (у тому числі і в російських) роль цифр грали не всі літери слов'янського алфавіту, а тільки ті з них, які були, і в грецькому алфавіті. Над літерою, що позначала цифру, ставився спеціальний значок ТІТЛО. При цьому числові значення літер зростали в тому ж порядку, в якому йшли літери в грецькому алфавіті. (Порядок букв слов'янського алфавіту був дещо іншим) Алфавітною нумірацією користувалися також південні та східні слов'янські народи. В одних слов'янських народів числові значення літер встановилися в порядку слов'янського алфавіту, в інших (у тому числі і в російських) роль цифр грали не всі літери слов'янського алфавіту, а тільки ті з них, які були, і в грецькому алфавіті. Над літерою, що позначала цифру, ставився спеціальний значок ТІТЛО. При цьому числові значення літер зростали в тому ж порядку, в якому йшли літери в грецькому алфавіті. (Порядок букв слов'янського алфавіту був іншим) У Росії Слов'янська нумирація зберігалася остаточно Сімнадцятого століття. За Петра Першого взяла гору так звана АРАБСЬКА НУМІРАЦІЯ збереглася тільки в богослужбових книгах. У Росії Слов'янська нумирація зберігалася до кінця Сімнадцятого століття. За Петра Першого взяв гору так звана АРАБСЬКА НУМИРАЦІЯ збереглася тільки в богослужбових книгах.

Як цифри використовуються деякі літери. I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значення цифри залежить від її становища в числе. наприклад, у числі XXX цифра X зустрічається тричі, і в кожному випадку позначає ту саму величину 10, а в сумі XXX-30. Величина числа в римській системі числення визначається як сума або різниця чисел. Якщо менша цифра стоїть ліворуч від більшої, вона віднімається, якщо справа- додається. Наприклад: 1998=MCMXCVIII=1000+()+()

У ієрогліфічних та алфавітних систем числення є один істотний недолік – у них було дуже важко виконувати арифметичні операції. У позиційній системі числення кількісне значення цифри залежить від її позиції в числі. Позиція цифр називається розрядом. Розряд числа зростає праворуч наліво. Найбільш поширеною в даний час є десяткова, двійкова, вісімкова та шістнадцяткова позиційні системи числення. У позиційній системі числення основа системи дорівнює кількості цифр, що використовуються нею і визначає, у скільки разів розрізняються значення цифр сусідніх розрядів чисел. Основні переваги будь-якої позиційної системи числення – простота виконання арифметичних операцій та обмежена кількість символів, необхідних для запису будь-яких чисел.

Французький математик П'єр Симон Лаплас (). Такими словами оцінив «ВІДКРИТТЯ» позиційної системи числення: «Думка – висловлювати всі числа небагатьма знаками, надаючи їм значення за формою, ще значення за місцем, на стільки проста, що саме через цю простоту важко оцінити, наскільки вона дивовижна ... »

На її широке використання в минулому явно вказують назви чисельних у багатьох мовах, а також способи відліку часу, грошей і співвідношення між деякими одиницями виміру, що збереглися в ряді країн. Рік складається із 12 місяців, а половина доби складається з 12 годин. У російській мові рахунок часто йде дюжинами, трохи рідше гросами (по 144 = 12 2), але за старих часів використовувалося і слово для 1728 = 12 3. В англійській мові є особливі (а не освічені за загальним правилом) слова eleven (11) і twelve (12). Англійський фунт складається з 12 шилінгів.

У 595 році (вже нашої ери) – в Індії вперше з'явилася знайома всім нам сьогодні десяткова система числення. (Дякую індійцям, а то що б ми сьогодні без неї робили?) Знаменитий перський математик Аль-Хорезмі випустив підручник, у якому виклав основи десяткової системи індусів. Після перекладу його на латину та випуску книги Леонардо Пізано (Фібоначчі) ця система стала доступною європейцям.

На даний момент – найбільш уживана в інформатиці, обчислювальній техніці та суміжних галузях система числення. Використовує дві цифри – 0 та 1, а також символи «+» та «–» для позначення знака числа та кому (точку) для поділу цілої та дробової частини.

Системи числення:

- Позиційна.

- Непозиційна.

Непозиційні системи числення – системи, у яких символи, які використовуються уявлення числа, не змінюють свого значення зі зміною розташування. Наприклад, римська: I, V, X, C (правило: якщо цифра ліворуч менша від цифри праворуч, то ліва віднімається з правої. Якщо цифра справа менша або дорівнює цифрі ліворуч, то ці цифри складаються).

Позиційна система числення – це впорядкований набір символів, заданих абеткою. Число символів або цифр алфавіту називають основою системи.

Еквівалентою 16-чної цифри явл. чотирирозрядне 2-чне число-тетрада.

Переклад цілих чисел.

З 10-чної в q-ю. Виділяють 3 способи перекладу:

1. розподіл на основу нової с.с. (q)-початкове число Х та наступні отримані приватні ділять на q до получ. частки, менше q; получ. залишки явл. розрядами числа у q-й с.с.; останнє приватне явл. старшим розрядом нов. числа, останній залишок-другий, перв. зуп.-останнім:

2.метод підрозрядного «зважування»;

Метод «зваженого» кодування.

Переклад дробових чисел.

З 10-чної в q-ю.

При перекладі дробових чисел говорять про переклад із заданою точністю та використовують метод послідовного множення на основу нової с.с.

Вих. число Х (дрібне, дестичне) і дроби, що одержуються, послідовно множимо на q до получ. дробової частини, що дорівнює 0 (при точному перекладі) або до получ. потрібного кільк. цифр у q-му записі числа (при перекладі із заданою точністю). Число Х q с.с. образ. як послідовність цілих частин творів.

Х 10 = 0,875; q=2.

-дрібна частина без 1 дорівнює 0.

При перекладі дробових чисел, утрим. знаменник, кратний ступеня двійки, чисельник перекладається за правилом для цілих чисел, а потім точка переноситься на n розрядів вліво (n-ступінь двійки, кіт. Кратен знаменник):

Переклад змішаних чисел.

При перекладі сміш. чисел, його ціл. і дроб. частини перекладаються окремо за правилами вищими; потім з'єднуються через точку.

Х 10 = 15,875; q=2;

[Х 10] = 15 = =1111 2

0,875 10 = 2 X 2 = 1111.111 2

Переклад з q-ї до 10-ї с.с. викон. за формулою полінома .

Переклад чисел із однієї с.с. у ін. с.с. з довільними підставами осущ. через десятирічну. с.с.

Інформація та дані.

Дані – це безпосередня реалізація інформації. Вони можуть бути представлені у числовому, графічному чи символьному вигляді. Дані стають інформацією лише під час вирішення конкретної проблеми, тобто під час їх споживання.

Інформація – це лише ті дані, які усувають невизначеність у холі вирішення питання та дозволяють ухвалити відповідне рішення.

Перетворення даних на інформації здійснюється споживачем на основі власної інформаційної моделі. Інформаційна модель об'єкта – сукупність характеристик об'єкта разом із числовим чи іншим значенням.

Форма подання даних визначається час та зусилля, які необхідно витратити користувачеві на отримання інформації, що впливає на споживчу діяльність та вартість інформації.

Операції з даними:

Збір даних- Нагромадження інформації з метою забезпечення достатньої повноти для прийняття рішення.

Формалізація- Приведення даних до однієї форми.

Сортування- Упорядкування даних за заданою ознакою.

Архівація-упорядкування даних за заданою ознакою з метою зручності.

Перетворення- Перехід даних з однієї форми в іншу.

Захист даних- Комплекс заходів, спрямованих на запобігання втраті, відтворення та модифікації даних.

Транспортування-процес передачі інф. від місця її генерації до місця використання м зберігання.

Загальна схема передачі:

Процеси, пов'язані з операціями над даними, називаються інформаційними процесами, а символи, що їх реалізують – інформаційними системами.

Інформаційна система – організаційно впорядкована сукупність документів та інформаційних технологій, що реалізують питання.

Розрізняють інформаційні системи:

Інформаційно-довідкові системи

Інформаційно-пошукові системи.

Системи обробки та передачі даних.

Системи зв'язку.

Системи управління.

Кількісна оцінка інформації.

Така оцінка інформації необхідна, щоб порівняти один з одним масиви інформації, що зберігається або передається, а також оцінити розміри носіїв.

Наука та життя // Ілюстрації

Поняття про число зародилося в давнину, коли людина навчилася вважати предмети: два дерева, сім биків, п'ять риб. Спочатку рахунок вели на пальцях. У розмовній промові ми й досі іноді чуємо: «Дай п'ять!», тобто подай руку. А раніше казали: "Дай п'ясти!" П'ясть- це рука, а на руці п'ять пальців. Колись слово п'ять мало конкретне значення – п'ять пальців п'ясти, тобто руки.

За старих часів у книжковій російській мові поряд зі словом числомало ходіння іменник чисмя, а також прикметник чисменний. У ХVI столітті з'явилося дієслово числити- «Вважати».

Основні поняття систем числення

Система числення - це сукупність правил і прийомів запису чисел з допомогою набору цифрових символів. Кількість цифр, необхідні запису числа у системі, називають основою системи числення. Основа системи записується праворуч числа в нижньому індексі: ; ; і т.д.

Розрізняють два типи систем числення:

позиційні, коли значення кожної цифри числа визначається її позицією запису числа;

непозиційні, коли значення цифри у числі залежить від її місця у записі числа.

Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо. Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.

Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:

де S - основа системи числення;

Цифри числа, записаного у цій системі числення;

n – кількість розрядів числа.

приклад. Число запишеться у формі багаточлена наступним чином:

Види систем числення

Римська система числення є непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. У цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу тощо. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При записі чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати поряд більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з більшим значенням слідує цифра з меншим, її внесок у значення числа в цілому є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел у римській системі числення, наведені в таблиці.

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення


		III

	VII	VIII

	XIII	XVIII	XIX	XXII

XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Недоліком римської системи є формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.

Десятичня система числення – нині найвідоміша і використовувана. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.

Давнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.

Десяткова система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, цифри записувалися у порядку - найбільш значуща цифра ставилася справа. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичили індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Ця історично неправильна назва утримується й досі.

Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.

У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її основа - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще у ХVII – ХIХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.

Вибір двійкової системи до застосування в обчислювальної техніки пояснюється лише тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.

За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою абетки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї абетки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені двійковою – вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-теричній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

n (ступінь)
											1024

приклад. Число перевести до десяткової системи числення.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

n (ступінь)

Можливо, вас зацікавить