Доля людських винаходів найчастіше непередбачувана. Те, що спочатку сприймається як дивина або ні на що не придатне марення горе-винахідника, цілком може через десяток років виявитися останнім писком моди. Саме так, наприклад, склалася доля у громовідводу, а в наш час – у комп'ютерної "миші". У той же час багато інших винаходів, спочатку широко використовуються, потім потихеньку забуваються. І, нарешті, є вічні цінності - колесо, гвинт, дріт.
Здається ще більш дивовижним, але все сказане вище відноситься також і до сфери інтелектуальних розваг. Шахи, шашки, нарди, а також багато карткових ігор відомі з давнини, причому інтерес до них практично не слабшає. "Пляшки" були винайдені Семом Лойдом більше століття тому і зберігають популярність і досі. Приблизно стільки ж відома головоломка Едуарда Люка Ханойська вежа. А ось кубику Рубіка - всього трохи більше двадцяти років, причому нині, після шаленого успіху початку 80-х років, його популярність майже згасла. І, між іншим, кросворди також винайдені на початку 20-го століття, але перші 10 років про них практично ніхто не знав, а зараз розгадування кросвордів - улюблене дозвілля мільйонів людей, причому останнім часом з'являються все нові і нові види кросвордних головоломок - сканворди , філворди тощо
Я не залишаю надії, що колись поряд з кросвордами та чайнвордами своє заслужене "місце під сонцем" відвоюють і різноманітні числові головоломки, в яких потрібно робити приблизно те саме, що й у кросвордах - заповнювати порожні клітини цифрами. Розповідь про такі завдання-головоломки ми почнемо з японського винаходу – ігри "магічний квадрат". Інша її (англійська) назва - "Number Place" ("Числовий майданчик" або, кажучи, військовою мовою, "Числовий плац").
Плац має форму квадрата 9x9, розбитого на поодинокі клітини. Деякі з цих клітин вже заповнені, а решта ще тільки належить заповнити, використовуючи для цього цифри від 1 до 9. Основна умова така: у кожному рядку, у кожному стовпці та в будь-якому з дев'яти "виділених" квадратиків 3x3 усі цифри мають бути різними. Зрозуміло, що при цьому кожна цифра може зустрітися (бути використана) у рядку, стовпці та квадраті 3x3 лише один раз.
Два завдання, які я тут коментую, придумані в 1997 році японцем Хірофумі Фудзівара, а мною взяті з сайту http://www.pro.or.jp/~fuji/java/puzzle/numplace/book1/index-eng.html
Там цих завдань набагато більше, до того ж надається можливість вирішувати їх прямо в Мережі (відповідні аплети на Java не просто написані, а ще й зручні), тому дуже рекомендую скористатися цим "наведенням".
Подивіться на малюнок з умовою задачі 1. Щоб розставити цифри, що бракують, необхідно знайти якусь "зачіпочку". Як це зробити? Інструкцій, які гарантують успіх на 100%, я дати не можу, але кілька корисних рекомендацій таки видам.
1. Постарайтеся знайти місце, на якому допустима лише одна цифра (тобто таке місце, для якого всі цифри, крім однієї, вже використані або в тому ж рядку, або в тому ж стовпці, або в тому ж квадратику 3x3) .
Постарайтеся знайти такі місця самостійно, а якщо не вийде - подивіться на наступний малюнок.
Тут підкреслені (і виділені на жовтому фоні) цифри 1, 4 і 5. Усі місця, на яких вони поставлені, мають ту властивість, що ніякі інші цифри туди поставити не можна.
2. Вставте всі ці цифри на такі місця, після чого повторіть пошук таких місць заново. (Взагалі кажучи, порада "повторіть заново" універсальна: дії, що призводять до просування у вирішенні головоломки, потрібно повторювати доти, поки вони просувають рішення далі).
На малюнку "другі кроки" вставлені цифри, які можна визначити відразу після "перших кроків", а на наступному малюнку зроблено ще два кроки. Числа, що з'явилися на першому, підкреслені один раз, а ті, які заповнені на другому кроці, підкреслені подвійною лінією на блакитному тлі.
Просуваючись таким чином, ми зрештою отримуємо картинку, на якій наша перша порада вже не застосовується (або ми не бачимо, як її застосовувати). Що тоді?
Подивіться на верхній рядок (на будь-якому малюнку, починаючи з умови). Де саме в ній може стояти двійка? Легко переконатися, що тільки в третьому стовпці - у всіх інших вільних стовпцях цього рядка двійки від початку стоять в інших рядках. Якщо сформулювати цю думку акуратніше, то вийде ось що:
3. Для кожного рядка, стовпця, квадрата 3x3 постарайтеся знайти цифру, яка може в цьому рядку (стовпці або квадратику) стояти лише в єдиному місці. Якби ми з самого початку скористалися цим рецептом, то змогли б відразу ж поставити одиницю в четвертий стовпець, двійку - четвертий рядок, сьомий стовпець і правий середній квадратик 3x3, а цифру 9 - перший стовпець і лівий середній квадратик. Рецепт, виявляється, дуже потужний! (На жаль, зате його набагато важче застосовувати на практиці: для виконання першого рецепту достатньо було подивитися на одне конкретне місце "плацу", а тут доводиться уважно переглядати весь "плац" і аналізувати, які цифри не можуть перебувати на тих чи інших місцях. )
Можливі ще більш тонкі міркування. Наприклад, якщо в якомусь рядку виявляться дві конкретні цифри, кожну з яких можна поставити тільки на два місця, причому пара цих місць виявиться однією і тією ж (для обох цифр), то ніяких цифр на цих місцях бути не може! (Подумайте над тим, які додаткові можливості дає такий тип міркувань і як можна розвинути такий перебіг міркувань далі).
Так чи інакше, а вирішення першого завдання можна довести до кінця, жодного разу не застосовуючи цієї "важкої артилерії". А щоб таки читачі змогли її освоїти, я наведу ще одне завдання. Спробуйте в цій задачі відразу застосувати обидва рецепти. Скільки цифр при цьому вам вдасться поставити на першому кроці рішення?
Мені з першого кроку піддалися 20 цифр – див. малюнок. (До речі, постарайтеся уважно проаналізувати, виходячи з яких міркувань поставлено ту чи іншу цифру).
Ця загадка швидко розлетілася по всьому Інтернету. Тисячі людей почали ставити питання про те, як працює магічний квадрат. Сьогодні ви знайдете відповідь!
Таємниця магічного квадрата
Насправді ця загадка досить проста і зроблена з розрахунком на людську неуважність. Давайте розберемося, як працює магічний чорний квадрат, на реальному прикладі:
- Давайте загадаємо будь-яке число від 10 до 19. Тепер віднімемо з цього числа його складові цифри. Наприклад, візьмемо 11. Віднімемо від 11 одиницю і після – ще одну одиницю. Вийде 9. Насправді не важливо, скільки від 10 до 19 ви візьмете. Результат обчислень завжди буде 9. Число 9 у «Магічному Квадраті» відповідає перша цифра з малюнками. Якщо придивитися, то можна побачити, що дуже великій кількості цифр присвоєно одні й ті самі малюнки.
- Що ж буде, якщо взяти число в межах від 20 до 29? Може, ви вже здогадалися? Правильно! Результатом обчислень завжди буде 18. Цифра 18 відповідає другий позиції діагоналі з малюнками.
- Якщо ж взяти число від 30 до 39, то, як можна вже вгадати, вийде число 27. Число 27 відповідає цифрі на діагоналі настільки незрозумілого «Магічного Квадрату».
- Подібний алгоритм залишається правдивим для будь-яких чисел від 40 до 49, від 50 до 59 тощо.
Тобто виходить, що неважливо, скільки ви загадали - «Магічний Квадрат» вгадає результат, адже в клітинах під номерами 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 і 81 насправді знаходиться один і той же символ .
Насправді цю загадку можна легко пояснити за допомогою простого рівняння:
- Уявіть будь-яке двоцифрове число. Незалежно від числа його можна подати у вигляді x*10+y. Десятки виступають у ролі “x”, а одиниці у ролі “у”.
- Відніміть із загаданого числа цифри, які становлять його. Складаємо рівняння: (x * 10 + y) - (x + y) = 9 * x.
- Число, що вийшло в результаті обчислень, має вказувати на певний символ у таблиці.
Не важливо, яка цифра буде в ролі "x", так чи інакше ви отримаєте символ, який має номер кратний дев'яти. Для того щоб переконатися, що під різними номерами знаходиться один символ, досить просто подивитися на таблицю і на номери 0,9,18,27,45,54,63,72,81 і наступні.
Вітаю!
Діти - дошкільнята дуже швидко накопичують все нові і нові знання, навички та досвід. Вони формується мова. Вони опановують різними способами розумової діяльності, удосконалюються у всіх аспектах свого розумового розвитку.
Але дуже часто розумове виховання дітей дошкільнят зводяться до того, щоб надати дитині якнайбільше інформації та знань про нас навколишній світ. Такий підхід є досить спрощеним і, очевидно, неправильним. Адже просто вкласти в голову дитини дошкільника велику кількість знань — цього явно замало, щоб розумово розвинути дитину.
Набагато важливіше під час підготовки до школи процесі розумового виховання дошкільника є необхідність виробити загальні методи пізнавальної діяльності (це вміння порівнювати, аналізувати, оцінювати, узагальнювати). А найголовніше, необхідно також домагатися того, щоб дитина сама прагнула отримання нових і нових знань.
Уміння порівнювати, аналізувати, оцінювати, узагальнювати можна розвинути у дитини, якщо вирішувати різні головоломки.
Головоломки
Головоломки їх ще називають логічні ігри. Такі ігри дуже корисні для розвитку логічного мислення та кмітливості у дітей.
Темп розумового розвитку та зростання дітей у наш час дуже високий, тому батькам треба багато уваги приділяти розвитку мислення своїх дітей. Необхідно вчити дітей самостійно думати розмірковувати, аналізувати, порівнювати предмети та явища. Головоломки - це логічні завдання, які допоможуть розвинути логічне мислення та кмітливість у дітей.
Магічний квадрат є однією з форм головоломок. Магічний квадрат буває як із малюнками, так і з числами. З малюнками магічні квадрати можуть бути навіть для дітей, починаючи з 4-5 років, найпростіші. І до найскладніших, для дітей шкільного віку, де дуже багато різних елементів, які необхідно проаналізувати і лише потім зробити відповідний висновок.
Що ж таке магічний числовий чи чарівний квадрат – це квадратна таблиця, у нашому випадку з дев'яти клітин, три по вертикалі та три по горизонталі, в якій вписані числа в кожну клітинку так, що сума чисел по рядках, по стовпцях та з кута на кут , Тобто за діагоналями однакова. Це легко побачити на малюнку.
Магічний квадрат із малюнками для дітей дошкільного віку. У цьому магічному квадраті в кожному ряду по вертикалі та по горизонталі повинні бути розташовані три різні предмети. Потрібно визначити, який предмет має бути в порожній клітині. Що потрібно зробити? Потрібно провести аналіз всього квадрата, тобто розділити ціле на частини:
1. Звертаємо увагу, що у магічному квадраті 9 клітин, у цих клітинах розташовані три предмети: сонечко, гриб і квітка.
2. Звертаємо увагу, що у кожному ряду по вертикалі та по горизонталі розташовано по три різні предмети (сонечко, гриб та квітка).
А тепер з'єднуємо в єдине ціле все, що проаналізували і бачимо, що в першому вертикальному ряду є гриб і сонечко, але в порожній клітці не вистачає квітки.
А тепер логічні завдання – головоломки:
Визначте, яка постать має бути замість знака питання?
Розв'яжіть наступні числові магічні квадрати. Яке число в наступних квадратах має вийти при додаванні по рядках, стовпцях і з кута на кут, тобто по діагоналі, легко дізнатися за тими числами, які поставлені в клітинах. Коли ви дізнаєтеся про це число, то легко підрахуєте, які числа треба поставити в п'яти порожніх клітинах.
Шановні читачі, я з великим інтересом прочитаю всі ваші коментарі до будь-якої статті.
Якщо стаття вам сподобалася, залиште, будь ласка, свій коментар. Ваша думка для мене дуже важлива, а зворотний зв'язок просто необхідний. Це дозволить зробити блог більш цікавим та корисним.
Буду Вам дуже вдячна, якщо Ви скажете «Дякую». Це дуже просто. Натисніть на кнопки соціальних мереж та поділіться цією інформацією з Вашими друзями.
Дякую вам за розуміння.
З повагою – Лідія Віталіївна.
Зіганшин Олег
Вивчення магічних квадратів та вміння їх складати
Завантажити:
Попередній перегляд:
Конкурс наукових проектів школярів
у рамках крайової науково-практичної конференції «Еврика-юніор»
Малої академії наук учнів Кубані
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Секція: «математична»
Зіганшин Олег Русланович, 5 клас,
МОБУ ЗОШ №1,
МО Коренівський район Краснодарський
Край
Науковий керівник:: вчитель математики
Краснова Надія Миколаївна,, МОБУ ЗОШ № 1
м. Коренівськ
2011 р
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
ЗОШ №1, учень 5 «В» класу
Вступ . 3
Глава 1. Магічний квадрат як витвір мистецтв. 5
1.1.Історія виникнення магічного квадрата 5
1.2 Властивості магічного квадрата 6
Глава 2. Розрахунки та складання магічних квадратів. 9
- Розрахунок 9-ти клітинного магічного квадрата. 9
- Розрахунок 16-ти клітинного магічного квадрата. 9
Висновок 10
Список літератури 11
Додатки 12
Додаток I 12
Додаток II 13
«МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
Росія, Краснодарський край, м. Коренівськ,
ЗОШ №1, учень 5 «В» класу
Хто з дитячих років займається математикою,
Той розвиває увагу, тренує свій
Мозок, свою волю, виховує
Наполегливість та завзятість у досягненні
Цілі.
О. Маркушевич
Вступ
Великі вчені давнини вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа та його співвідношення займали найбільші уми людства. Магічний квадрат-це квадрат, сума чисел якого в кожному горизонтальному ряду, у кожному вертикальному ряду і по кожній з діагоналей та сама.
Деякі видатні математики присвятили свої роботи магічним квадратам і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриць, порівнянь та інших нетривіальних розділів математики.
Я вибрав магічний квадрат, тому що я люблю математику. Математика – королева всіх наук. Її застосовують у багатьох областях та у повсякденному житті. Математичні головоломки – це моє хобі. Я люблю різні головоломки, такі як судоку, какуро, морський бій та багато інших. Головоломки розвивають увагу, покращують логіку, зміцнюють пам'ять. Коли я їх вирішую, я не сумую. Магічний квадрат, зачаровує всіх своїми комбінаціями чисел. Його секрет досі не розгаданий. Магічний квадрат – це найкраща головоломка, яку я бачив.
Мета дослідження:вивчити властивості магічного квадрата, необхідних складання своїх квадратів.
Завдання дослідження:
1. .Вивчити історію магічних квадратів, властивості їх складання, підбір квадратів.
Методи дослідження:
1.Метод аналізу науково-популярної літератури.
2.Метод спостережень та узагальнень.
3.Метод математичного розрахунку.
Дослідження проходило у 3 етапи:
Новизна дослідженнядля нас полягає в тому, що я розрахував, спираючись на літературу, і знайшов свої магічні 9-ти та 16-ти клітинні квадрати.
Продукт дослідження:створення магічних квадратів.
Практична значущість роботивирішення складних математичних головоломок; розвиток логічного мислення. На основі цієї роботи можна надалі провести в школі математичний вечір, організувати гурток юних мислителів, створивши ініціативну групу, що складається з учителів, класних керівників та учнів. Насправді зацікавити учнів, прищепити любов до математики.
«МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
Росія, Краснодарський край, м. Коренівськ,
МОБУ ЗОШ №1, учень 5 «В» класу
Магічний квадрат як витвір мистецтв.
1.1.Історія виникнення магічного квадрата.
Магічний квадрат один з найдавніших головоломок. Перші згадки про магічний квадрат зустрічаються в китайській книзі, написаній за 4-5тис. років до н. За легендою, вважається, що китайський імператор Ію, який жив приблизно близько 4 тис. років тому одного разу на березі річки, побачив священну черепаху з візерунком з білих і чорних гуртків на панцирі. Цей символ китайці назвали "ло-шу" і використовували в магічних обрядах при заклинаннях. Від цього і походить назва магічний квадрат.
Основна властивість чарівного квадрата в тому, що дев'ять порядкових чисел розміщені в дев'яти клітинах так, що суми чисел у кожному стовпці, у кожному рядку та кожній із двох діагоналей однакові. Пізніше приблизно в I столітті до н. Магічний квадрат народився в Індії. Стародавні індуси та араби приписували цим числовим поєднанням магічне значення. Таємницю яких вони не могли осягнути.
У цьому квадраті вже 16 порядкових чисел, розміром 16 клітин, отже виконується його основна властивість.
1+14+15+4=34
12+7+6+9=34
8+11+10+5 =34
13+2+3+16=34
34, 34, 34, 34 у рядках і стовпцях кожне число бере участь у двох сумах, а по діагоналях навіть у трьох. І, що найдивовижніше у цьому, що це отримані суми рівні між собою.
Потім магічний квадрат у середньовіччі проник у Західну Європу. Там таємничі числа вважалися, вважалися чарівними. І люди носили їх як талісмани, вважаючи, що вони захищають від різних бід тих, хто їх носить. Ці розставлені мозаїкою числа залучаю як математиків, а й художників, як витвір мистецтва.
Великий та німецький художник Альбрехт Дюрер був такий зачарований магічним квадратом, що навіть зобразив його на своїй гравюрі «Меланхолія».
Людям досі, не відомо, чи знав Дюрер раніше магічний квадрат, чи придумав його сам. На гравюрі ми бачимо, що в нижньому рядку магічного квадрата зображені числа, що позначають рік створення твору (1514). Дюрер був не лише художником, а й трохи математиком. Він зобразив магічний квадрат як справжній витвір мистецтва, який чим більше вдивляєшся, тим більше знаходиш прекрасних сторін і нових речей.
1.2 Властивості магічного квадрата
Чарівний квадрат є математичним твором мистецтва, в якому, крім основного, є ще не мало додаткових властивостей. Ось ще 6 додаткових властивостей магічного квадрата:
- Сума чисел, розташованих по кутах чарівного квадрата, дорівнює 34, тобто тому числу, що і сума чисел вздовж ряду квадрата.
- Суми чисел у кожному з маленьких квадратів (у 4 клітини), які примикають до вершин даного квадрата, й у такому центральному квадраті, теж однакові і кожна їх дорівнює 34.
1+14++12+7=34
8+11+13+2=34
10+5+3+16=34
7+6+11+10=34
- У кожному його рядку є пара поряд чисел, що стоять, сума яких 15, і ще пара теж поряд стоять чисел, сума яких 19.
- Підрахуйте тепер суму квадратів чисел окремо у двох крайніх рядках і у двох середніх:
12 +142 +152 + 42 = 438
122 +72 +62 +92 = 310
132 +22 +32 + 162 =438
82 +112 +102 + 52 =310
Як бачите, вийшли попарно рівні суми!
- Неважко переконатися, що аналогічну властивість мають і стовпці чисел. Суми квадратів чисел двох крайніх стовпців рівні між собою та суми квадратів чисел двох середніх стовпців теж однакові.
- Якщо в даний квадрат вписати ще один квадрат з вершинами в серединах сторін цього квадрата, то:
а) сума чисел, розташованих уздовж однієї пари протилежних сторін вписаного квадрата, дорівнює сумі чисел, розташованих уздовж іншої пари протилежних його сторін і кожна з цих сум дорівнює знову ж таки числу 34:
12+14+3+5=15+9+8+2=34
б) ще цікавіше те, що рівні між собою навіть суми квадратів і суми кубів цих чисел:
12+14+3+5=15+9+8+2
12+14+3+5=15+9+8+2
Якщо всі стовпці чарівного квадрата зробити рядками, зберігаючи їх чергування, тобто числа першого стовпця в тій же послідовності розташувати у вигляді першого рядка, числа другого стовпця у вигляді другого рядка і т.д., то квадрат залишиться «чарівником» з тими ж його властивостями.
При обміні місцями окремих рядків або стовпців чарівного квадрата деякі з перерахованих вище його властивостей можуть зникнути, але можуть і все зберегтися і навіть з'явитися нові. Наприклад, поміняємо місцями перший і другий рядки даного квадрата:
Суми чисел вздовж рядків і стовпців, звичайно, не змінилися, але суми чисел вздовж діагоналей стали іншими, не рівними 34. Чарівний квадрат втратив частину своїх основних властивостей, став «неповним» чарівним квадратом.
Продовжуючи обмінювати місцями рядки та стовпці квадрата, ви отримуватимете все нові й нові чарівні квадрати з 16 чисел. Деякі з них знову будуть повністю володіти основними властивостями.
«МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
Росія, Краснодарський край, м. Коренівськ,
Розрахунки та складання магічних квадратів.
2.1 Розрахунок 9-ти клітинного магічного квадрата.
Магічний квадрат існує близько 7 тис. років, поступово захоплюючи і любителів математичних розваг, і фахівців – математиків. Досі ще продовжуються пошуки пояснень цього дивовижного та красивого явища у світі чисел. За цей час придумано сотні дотепних способів і правил складання різних чарівних квадратів.
Якщо числа розташовані у квадраті мають однакову суму у будь-якому рядку, у будь-якому стовпці, а також у кожній з його діагоналі, то такий квадрат називається магічним.
Зараз ми спробуємо скласти 9-ти клітинний магічний квадрат.
Існує майже 400 000 розстановок чисел у 9-ти клітинному магічному квадраті. Сума всіх чисел від 1 до 9 дорівнює 45. Загалом у квадраті 3 рядки. Отже, у кожному рядку магічного квадрата сума чисел дорівнює 15. Випишемо всі можливі уявлення числа 15 у вигляді суми 3 доданків.
9+5+1 8+6+1 7+6+2 6+5+4
9+4+2 8+5+2 7+5+3
8+4+3
У цьому число 5 стоїть у центрі таблиці т.к. воно зустрічається 4 рази у виписаних сумах (стовпець, рядок та дві діагоналі). Числа 2,4,6,8 ми поставимо у кути таблиці, т.к. вони зустрічаються 3 рази на сумах (рядок, стовпець, діагональ). Інші числа зустрічаються у сумах 2 рази (рядок, стовпець) це числа – 13,7,9. Змінюючи місцями комбінації цифр, ми складаємо все нові квадрати.Додаток I.
2.2 Розрахунок 16-ти клітинного магічного квадрата.
Тепер перейдемо до складання квадратів із 16-ти клітин. При складанні цього квадрата можна використати покроковий спосіб.Додаток ІІ.
На перший погляд здається, що в розташуванні чисел немає жодної системи. Тим не менш, квадрат має абсолютно магічну властивість, яка здивує багатьох.
«МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
Росія, Краснодарський край, м. Коренівськ,
ЗОШ №1, учня 5 «В» класу
Висновок
У своїй роботі я розглянув питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, що займав розум дуже багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці та техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць тощо).
Я вивчив і розрахував свої магічні 9-ти та 16-ти клітинні квадрати. Мені здається, що моя робота цікава та захоплююча.
«МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ – ГОЛОВОЛОМКИ
«МАГІЧНИЙ КВАДРАТ»
Зіганшин Олег Русланович,
Росія, Краснодарський край, м. Коренівськ,
ЗОШ №1, учня 5 «В» класу
ЛІТЕРАТУРА
1. Енциклопедичний словник молодого математика. - М.: Педагогіка, 1989.
3. І. Я. Депман, Н.Я. Віленкін. За сторінками підручника з математики. Москва. Просвітництво. 1989р.
4. Сайт:
- http://ua.wikipedia.org/wiki
Додаток I.
9-ти клітинні магічні квадрати
Додаток ІІ.
16-ти клітинний магічний квадрат
Перший крок:
Розташувати у 16-ти клітинах усі цілі числа від 1 до 16 по порядку.
Другий крок:
Порядок слідування чисел у рядках III та IV змінити на зворотний та поміняти місцями рядки II та III
Третій крок:
Порядок слідування чисел у другому та третьому стовпці змінити на зворотний:
Четвертий крок:
Порядок слідування чисел у рядках III та IV змінити на зворотний:
