Coot mіzh ვექტორები

იმისათვის, რომ შევძლოთ ვექტორის გაგება ორ ვექტორად შემოვიტანოთ, საჭირო იქნება ვისწავლოთ ისეთი გაგებით, როგორიცაა ვექტორები.

მივიღოთ ორი ვექტორი $ \ overline (α) $ і $ \ overline (β) $. რაც შეეხება სივრცეს, წერტილი $ O $ და ვექტორი წინ არის $ \ overline (a) = \ overline (OA) $ і $ \ overline (β) = \ overline (OB) $, ასე რომ დაჭრილი $ AOB $-ს დაერქმევა ვექტორებით ამოჭრა (ნახ. 1).

მნიშვნელობა: $ ∠ (\ overline (α), \ overline (β)) $

ვექტორის შექმნის ვექტორების გააზრება

ბიზნეს ღირებულება 1

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომელიც პერპენდიკულარულია ორივე ვექტორზე და იგივე ვექტორი ემატება კუტის სინუსს ამ ვექტორებით, ასევე ვექტორი ორი კობებით არის იგივე ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემა.

ღირებულება: $ overline (α) x overline (β) $.

მათემატიკურად, tse vigleadє ასე:

1. $ | \ გადახაზვა (ა) x \ გადახაზვა (β) | = | \ გადახაზვა (α) || \ გადახაზვა (β) | sin⁡∠ (\ გადახაზვა (α), \ გადახაზვა (β)) $
2. $ \ გადახაზვა (ა) x \ გადახაზვა (β) ⊥ \ გადახაზვა (α) $, $ \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) ⊥ \ გადახაზვა (β) $
3. $ (\ overline (a) x \ overline (β), \ overline (a), \ overline (β)) $ i $ (\ overline (i), \ overline (j), \ overline (k)) $ იგივე ორინტოვანი (სურ. 2)

ცხადია, დამატებითი ვექტორების სახელწოდება ნულოვანი ვექტორის მიმართულებით ორ შემთხვევაში:

1. თუ მხოლოდ ერთი ან ორივე ვექტორი მიტანილია ნულამდე.
2. Yakscho kut cimi ვექტორებს შორის $180-მდე ^ \ circ $ ან $ 0 ^ \ circ $

შესაძლოა, ვექტორული დანამატის ვექტორების მსგავსად, თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ეს ასე.

კონდახი 1

იცოდე $ \ overline (δ) $ ვექტორის მნიშვნელობა, რომელიც იქნება ვექტორის ვექტორის შედეგი ів, კოორდინატებით $ \ overline (α) = (0,4,0) $ і $ \ გადახაზვა (β) = (3,0,0) $.

გადაწყვეტილება.

წარმოსადგენია q ვექტორი კოორდინატულ დეკარტის სივრცეში (ნახ. 3):

მალუნოკი 3. ვექტორი კოორდინატულ დეკარტის სივრცეში. ავტორი24 - სტუდენტური რობოტების ინტერნეტ გაცვლა

ბაჩიმო, ci ვექტორები დევს ღერძებზე $ Ox $ და $ Oy $, როგორც ჩანს. ოტჟე, მათ შორის არის 90 $ ^ \ დაახლოებით $. ჩვენ ვიცით როგორ გამოვიყენოთ ეს ვექტორები:

$ | \ overline (α) | = \ sqrt (0 + 16 + 0) = 4 $

$ | \ overline (β) | = \ sqrt (9 + 0 + 0) = 3 $

დღეს, 1-ის მნიშვნელობისთვის, მოდული $ | \ overline (δ) | $

$ | \ გადახაზვა (δ) | = | \ გადახაზვა (α) || \ გადახაზვა (β) | sin90 ^ \ circ = 4 \ cdot 3 \ cdot 1 = 12 $

ხედი: $12 $.

ვექტორის გამოთვლა ვექტორების კოორდინატებით

ერთბაშად 1-ის მნიშვნელობა არის ვექტორის ცოდნის მეთოდი ორი ვექტორისთვის. რხევების ვექტორი, მცირე მნიშვნელობა, ნაკლებად მარტივი, იცის მხოლოდ დამატებითი სკალარული მნიშვნელობის მიღმა არის არაგონივრული. სხვათა შორის, ჩვენთვის მოცემული ვექტორების კოორდინატების მიღმა ცოდნის გზა არსებობს.

მოდით მივცეთ ვექტორი $ \ overline (α) $ і $ \ overline (β) $, სადაც კოორდინატებია $ (α_1, α_2, α_3) $ і $ (β_1, β_2, β_3) $, როგორც ჩანს. ტოდი არის ვექტორის შექმნის ვექტორი (და თავად კოორდინატი) შეგიძლიათ იპოვოთ შემდეგი ფორმულის მიღმა:

$ \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) = \ დაწყება (vmatrix) \ გადახაზვა (i) & \ გადახაზვა (j) & \ გადახაზვა (k) \\ α_1 & α_2 & α_3 \\ β_1 & β_2 & β_3 \ დასასრული (vmatrix) $

ინაქშე, გახსენით ვინაჩნიკი, წაიკითხეთ იგივე კოორდინატები

$ \ გადახაზვა (α) х \ გადახაზვა (β) = (α_2 β_3-α_3 β_2, α_3 β_1-α_1 β_3, α_1 β_2-α_2 β_1) $

კონდახი 2

იცოდე კოლინარული ვექტორების ვექტორის ვექტორი $ \ overline (α) $ і $ \ overline (β) $ კოორდინატებით $ (0,3,3) $ і $ (-1,2,6) $.

გადაწყვეტილება.

Skoristaєmosya ფორმულა, მიმართული დანახვაზე. ოტრიმაєმო

$ \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) = \ დაწყება (vmatrix) \ გადახაზვა (i) & \ გადახაზვა (j) & \ გადახაზვა (k) \\ 0 & 3 & 3 \ -1 & 2 & 6 \ ბოლო (vmatrix) = (18 - 6) \ გადახაზვა (i) - (0 + 3) \ გადახაზვა (j) + (0 + 3) \ გადახაზვა (k) = 12 \ გადახაზვა (i) -3 \ გადახაზვა (j) ) +3 \ გადახაზვა (k) ) = (12, -3.3) $

შეხედეთ: $ (12, -3.3) $.

ვექტორის შექმნის ვექტორების ძალა

ყველაზე მნიშვნელოვანი სამი ვექტორისთვის $ \ overline (α) $, $ \ overline (β) $ і $ \ overline (γ) $, ისევე როგორც $ r∈R $, შემდეგი უფლებამოსილებები მოქმედებს:

კონდახი 3

იცოდე პარალელოგრამის ფართობი, კოორდინატების წვეროები $ (3,0,0) $, $ (0,0,0) $, $ (0,8,0) $ და $ (3,8, 0) $.

გადაწყვეტილება.

პარალელოგრამის გამოსახულებების კოლექცია კოორდინატთა სივრცეში (ნახ. 5):

მალუნოკი 5. პარალელოგრამი კოორდინატთა სივრცეში. ავტორი24 - სტუდენტური რობოტების ინტერნეტ გაცვლა

ბაჩიმო, პარალელოგრამის ორ მხარეს მოთხოვნილი იქნა დამატებითი კოლინარული ვექტორები $ overline (α) = (3,0,0) $ і $ overline (β) = (0,8,0) $ კოორდინატებით. Vikoristovuchi მეოთხე ძალა, otrimaєmo:

$ S = | \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) | $

ჩვენ ვიცით ვექტორი $ \ overline (α) x \ overline (β) $:

$ \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) = \ დაწყება (vmatrix) \ გადახაზვა (i) & \ გადახაზვა (j) & \ გადახაზვა (k) \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \ ბოლო (vmatrix) = 0 \ overline (i) -0 \ overline (j) +24 \ overline (k) = (0,0,24) $

ოტჟე

$ S = | \ გადახაზვა (α) x \ გადახაზვა (β) | = \ sqrt (0 + 0 + 24 ^ 2) = 24 $

ცხადია, არსებობს ვექტორის შექმნის მნიშვნელოვანი წესრიგი, რომელშიც ვექტორები აღებულია, უფრო მეტიც,

ანალოგიურად, არ არის საშუალო მნიშვნელობა შემდეგი, ნებისმიერი სკალარული მულტიპლიკატორისთვის k (რიცხვი), როგორიცაა:

მყარი კოლინარული ვექტორების ვექტორი ნულოვან ვექტორამდე. უფრო მეტიც, გზაზე ორი ვექტორის ვექტორული დამატება ნულის ტოლია, თუ მხოლოდ სუნი არის კოლინარული. (დაბრუნების შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი მათგანი ნულოვანი ვექტორია, გამოცნობაა საჭირო, მაგრამ ნულოვანი ვექტორი კოლინარულია ნებისმიერი მნიშვნელობის ვექტორთან).

Vectorniy tvir maє ცალკეული ორგანოები, ტობტო

ვექტორული ხელოვნების ვირაზი ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ნეხაი დანი ორი ვექტორი

(როგორ ვიცოდეთ ვექტორის კოორდინატები კოორდინატთა უკან და ბოლოს - div. Statute Scalar add-on vectors, point Alternative to scalar add-on, ან გამოთვალეთ სკალარული დანამატი ორი ვექტორის, მოცემული მათი კოორდინატებით. )

ახლა გჭირდება ვექტორული ტელევიზორი?

ვექტორული ქმნილების შესანახად მარტივი გზა არსებობს, მაგალითად, როგორც უკვე დაიწერა, ორი ვექტორის ვექტორის თვირის ჩამოთვლის შემდეგ, შესაძლებელია ზიასუვატი, რომლის სუნი კოლინარულია.

ყოველ შემთხვევაში, შესაძლებელია ვიკორისტოვატი, როგორც პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის საშუალება, რომელიც მოთხოვნილია ვექტორების რაოდენობაზე. Vyhodyachennya vizazhennya, შედეგის ვექტორის є მომატება მოცემული პარალელოგრამის ფართობზე.

ისევე დიდია zasosuvan іsnu-ს რაოდენობა ელექტროენერგიასა და მაგნიტიზმში.

ონლაინ კალკულატორის ვექტორი თქვენი.

იმისათვის, რომ იცოდეთ ამ კალკულატორის უკან ორი ვექტორის სკალარული დამატება, თქვენ უნდა შეიყვანოთ პირველი ვექტორის კოორდინატები თანმიმდევრობით, მეგობარი-მეგობარი... ვექტორების კოორდინატები შეიძლება გამოითვალოს ყურის და ბოლო კოორდინატებისთვის (დივ. სკალარული დანამატის ვექტორები, ელემენტი სკალარული დანამატის მნიშვნელობის ალტერნატივა, ან ორი ვექტორის გამოთვლა, მოცემული მათი კოორდინატებით.)

ტიმამდე, როგორც თარიღის, ვექტორის შექმნის გაგება, რომელიც ტრივიალურ სივრცეში მოწესრიგებული სამი ვექტორის a →, b →, c → საზრდოობს.

აგრეთვე ვექტორების სია a →, b →, c → ერთი წერტილიდან. a →, b →, c → ტრიკის ორინენტაცია მარჯვენა ხელით, მარცხნივ პირდაპირ c → ვექტორის მიმართულებით. გარდა ამისა, a → b → ვექტორიდან c → ბოლოდან უმოკლეს ბრუნს მიენიჭება ტრიკის ფორმა a → b → c →.

თუ უმოკლესი შემობრუნება საპირისპირო მიმართულებით მიდის, მაშინ სამი ვექტორი a →, b →, c → ეძახიან. უფლებაროგორც წლის strіlkoy - ლივიი.

სავარაუდოდ არსებობს ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → і b →. ფაქტიურად A წერტილიდან ვექტორი AB → = a → і A C → b →. იქნება ვექტორი A D → = c →, რომელიც პერპენდიკულარულია і A B → і A C → ერთდროულად. ამგვარად, როდესაც ვექტორს ვთხოვთ A D → = c → ჩვენ შეგვიძლია ის მეტროში გავაფუჭოთ, პირდაპირ ან საპირისპიროდ დავაყენოთ (გაოცება ილუსტრაციით).

დაალაგეთ სამი ვექტორი a →, b →, c → შეიძლება იყოს, რადგან ისინი აყენებენ მარჯვენა რიცხვს ვექტორის სწორი მიმართულებით.

რაც ითქვა, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორის შექმნის მნიშვნელობა. ფასი მოცემულია ორ ვექტორზე, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემებისთვის, რომლებიც ტრივიალურია სივრცისთვის.

ბიზნეს ღირებულება 1

ვექტორული შემოქმედებით ორი ვექტორი a → ma b → ამოცანების ისეთი ვექტორი სწორი ხაზის კოორდინატულ სისტემებში, რომელიც ტრივიალურია სივრცისთვის, არის ნაზვატიმი, როგორიცაა:

• თუ ვექტორები არის a → ma b → კოლინარული, win იქნება ნულოვანი;
• він იქნება a ვექტორის პერპენდიკულარული → і ვექტორის b → tobto. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2;
• yogo dozhina დაწყება ფორმულისთვის: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• სამი ვექტორი a →, b → c → ასევე შეიძლება განლაგდეს, მაგრამ მოცემულია კოორდინატთა სისტემა.

ვექტორების შეკრება a → і b → maє-ში ასევე აღინიშნება: a → × b →.

კოორდინატების ვექტორის შექმნა

რხევები არის თუ არა ძირითადი კოორდინატების ვექტორი კოორდინატულ სისტემებში, შეგიძლიათ შეიყვანოთ ვექტორისთვის განსხვავებული მნიშვნელობა, რადგან შეგიძლიათ დაუშვათ ვექტორების მოცემული კოორდინატების კოორდინატების ცოდნა.

ბიზნეს ღირებულება 2

სწორხაზოვან კოორდინატულ სისტემებში, რომლებიც ტრივიალურია სივრცისთვის ვექტორის შექმნა ორი ვექტორის a → = (a x; a y; a z) і b → = (b x; b y; b z) მოვუწოდებთ ვექტორს c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) de i → j → k → є კოორდინატთა ვექტორები.

ვექტორული დანამატი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის მატრიცის სახით, პირველი რიგი არის orti i →, j →, k → ვექტორი, მეორე მწკრივი არის a → ვექტორის კოორდინატები, და მესამე არის b → ვექტორის კოორდინატები მოცემული მარჯვენა კოორდინატთა სისტემებისთვის, მოცემული მატრიცა არის viglyadє ასეთი: c → = a → xb → = i → j → k → axayazbxbybz

რაზკლავში დანიური ვიზნაჩნიკი პირველი რიგის ელემენტებისთვის შეგვიძლია ამოვიცნოთ ტოლობა: c → = a → b → = i → j → k → (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ცული by - ay bx) k →

ვექტორის შექმნის ძალა

ამავდროულად, კოორდინატებზე ვექტორის დამატება წარმოდგენილია c → = a → × b → = i → j → k → მატრიცის სახით. ავტორიტეტი მატრიცაზეასე ცხოვრება ვექტორის შექმნის ძალა:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b →, თუ λ საკმაოდ რიცხვია.

ძალაუფლების ძალა შეიძლება იყოს უხერხული დასამტკიცებლად.

მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ვექტორის ანტიკომუტატიურობის ძალა.

ანტიკომუტაციური მტკიცებულება

→ x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z і b → x a → = i → j → k → b x b y b a x a y a z. და თუ მატრიცების ორი მწკრივი გადანაწილებულია ნაწილებად, მაშინ მატრიცის მარკერის მნიშვნელობა იცვლება მოპირდაპირე მხარეს, იმავედან, a → xb → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, შემდეგ მოიყვანეთ ვექტორის შექმნის ანტიკომუტატიურობა.

Vector tvir - დადე ეგ ხსნარი

ყველაზე ხშირად სამი ტიპის შენობებია.

პირველი ტიპის პრობლემებისთვის, დარწმუნდით, რომ მივანიჭეთ ერთმანეთს ორი ვექტორი, მაგრამ თქვენ უნდა იცოდეთ ერთზე მეტი ვექტორი მეორის მიმართ. დღის ბოლოს გაკიცხავთ შეურაცხმყოფელი ფორმულით c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

კონდახი 1

იცოდე ვექტორების ზოგიერთი ვექტორული დამატება a → ma b →, თუ მოსწონს a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

გადაწყვეტილება

ვექტორების ვექტორული შეკრების დამატებითი მნიშვნელობისთვის a → і b → დაუკავშირებელი, მივცემ ამოცანას: a → × b → = a → b → sin ∠ a → b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2.

ნახვა: 15 2 2 .

სხვა ტიპის ბმულების ზავდანნია არის ვექტორების კოორდინატები, ზოგიერთ ვექტორში მხოლოდ იოგინი. ხუმრობა კოორდინატების მეშვეობით მოცემული ვექტორები a → = (a x; a y; a z) і b → = (b x; b y; b z) .

ამ ტიპის შენობებისთვის შეგიძლიათ შექმნათ სხვადასხვა ვარიანტები შენობისთვის. მაგალითად, a → і b →-ში შესაძლებელია არა ვექტორების კოორდინატების მითითება, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ფორმის კოორდინატთა ვექტორების მიხედვით. b → = b x i → + b y j → + b z k → і c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) ვექტორი a → ma b → შეიძლება იყოს მოცემული წერტილების კოორდინატებით їх cob და წვერი.

ისე გარკვევით ჩაიცვი.

კონდახი 2

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემებს აქვთ ორი ვექტორი a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). იცოდე ეს ვექტორი tvir.

გადაწყვეტილება

სხვა მნიშვნელობებისთვის ჩვენ ვიცით ორი ვექტორის ვექტორული შეკრება მოცემულ კოორდინატებზე: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 ჯ → - 2 კ →.

თუ მატრიცის მატრიცის მეშვეობით ჩავწერთ ვექტორულ შეკრებას, მაშინ ვიგლიდის მოცემული კონდახის ამონახსნი არის შემდეგი რიგით: a → xb → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2. 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

ნახვა: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

კონდახი 3

იცოდე ვექტორების შეკრების სიმრავლე i → - j → ma i → + j → + k →, de i →, j →, k → - orthi მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

გადაწყვეტილება

კობისთვის ჩვენ ვიცით მოცემული ვექტორული კოორდინატის i → - j → × i → + j → + k → მართკუთხა კოორდინატულ სისტემებზე.

როგორც ჩანს, ვექტორები i → - j → і i → + j → + k → მაგრამ კოორდინატები (1; - 1; 0) і (1; 1; 1) სწორია. ჩვენ ვიცით, რომ დამატებითი მატრიცის მატრიცის უკან უფრო მეტი ვექტორული ქმნილებაა, todi maєmo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 კ → ...

ასევე, ვექტორი მყარი i → - j → × i → + j → + k → maє კოორდინატები (- 1; - 1; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემებზე.

დოვჟინის ვექტორის შექმნა ცნობილია ფორმულით (განყოფ. რაზდილ დოჟინის ვექტორები): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ნახვა: i → -j → × i → + j → + k → = 6. ...

კონდახი 4

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემებმა მიიღეს სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები. იცოდე A B → і A C → ერთი საათის პერპენდიკულარული ვექტორი.

გადაწყვეტილება

ვექტორები A B → і A C → მომავალი კოორდინატების მაისი (-1; 2; 2) і (0; 4; 1) აშკარად. იცოდე ვექტორების დამატება A B → і A C →, ცხადია, ეს არის პერპენდიკულარული ვექტორი მნიშვნელობებისთვის і A B → і A C →, ასე რომ ჩვენი პრობლემების გადაწყვეტისთვის. ჩვენ ვიცით A B → A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

ნახვა: - 6 i → + j → - 4 k →. - ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

Zavdannya მესამე ტიპის orintovani vikoristannya ავტორიტეტების ვექტორული დამატება ვექტორები. ჩვენ შევძლებთ მოცემული პროექტის გადაწყვეტის დაფიქსირებას.

კონდახი 5

ვექტორები a → და b → წრფის კუთხის პერპენდიკულარული 3 და 4-ის მიმართ. იცოდე 3 ვექტორის ვექტორზე მეტი a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → * a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

გადაწყვეტილება

ვექტორის შექმნის განაწილების ძალაზე შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ბოლო ვირაზში ვექტორული შემოქმედების ნიშნის რიცხვით შესრულებასთან ასოცირების ხარისხისთვის: 3 a → × a → + 3 a → = 3 a → × a → + 3 (-2) a → × b → + ( - 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული შექმნა → × a → і b → × b → рівні 0, ფრაგმენტები a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 і b → × b → = b → 0, Todі 3 · a →? ...

ვექტორული გველგესლას ანტიკომუტატიურობის გამო - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

ვექტორის შექმნის ძალით შემცირების შემდეგ, ჩვენ უარვყოფთ ტოლობას 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

სანიაღვრეების უკან არის ვექტორები a → і b → პერპენდიკულური, ისე რომ მათ შორის არის გზები და π 2. ახლა თქვენ არ დაგჭირდებათ მნიშვნელობის ცოდნა შემდეგი ფორმულების წინ: → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

ნახვა: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

დოვჟინის ვექტორი დაამატეთ ვექტორებს გზის რიგიდან a → x b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Oskіlki vіdomo (სკოლის კურსიდან), ტრიციკლის ფართობი ორ მხარეს მრავლდება ორ მხარეს შორის ჭრილობის სინუსზე. ასევე, მეტია ვექტორული დამატება პარალელოგრამის გვერდით არეში - ქვედა ტრიციკლი, და გვერდის დამატება ვექტორების ხედზე a → і b → ჩასმა ერთი წერტილიდან კვეთის სინუსამდე. ისინი სცოდავენ ∠ a →, b →.

Tse і є ვექტორის შექმნის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორის შექმნის ფიზიკური ზმისტი

მექანიკაში, ვექტორის შექმნის ფიზიკის ერთ-ერთ ნაწილზე, შესაძლებელია სივრცეში მომენტის ან წერტილის შექმნა.

ბიზნეს ღირებულება 3

F → ძალის მომენტიდან, რომელიც გამოიყენება B წერტილზე, A წერტილამდე, ვექტორის ტემპერატურა A B → × F → მიმავალი.

როგორც კი ტექსტში აღვნიშნავთ შეწყალებას, იყავით ყელი, ნახეთ და დააჭირეთ Ctrl + Enter

ყველა დონეზე, არსებობს ორი ოპერაცია ვექტორებით: ვექტორული დობუტოკის ვექტორებიі შეცვალოს tvir ვექტორები (რაც შეიძლება მალე, ვის სჭირდება)... ნიჩოგო საშინელებაა, ასე ინოდის ბუ, კარგად ზოგადი ბედნიერებისთვის, კრიმინალი სკალარული ვექტორები, უფრო და უფრო სჭირდებოდა. ეს არის ვექტორული ნარკომანიის ღერძი. დაპირისპირება შეიძლება დაიშალოს ანალიტიკური გეომეტრიის არარსებობის შემთხვევაში. ეს ასე არ არის. vishoї მათემატიკის razdіlі არ არის საკმარისი შეშა, აუცილებელია ბურატინოზე მუშაობა. სინამდვილეში, მასალა კიდევ უფრო უარესია, ვიდრე გაფართოება და უფრო მარტივი - ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ის უფრო დასაკეცი იყოს და არა იგივე. სკალარული ტვირი, ნაკლებად ტიპიური შენობები იქნება. თავი ანალიტიკურ გეომეტრიაშია, რადგან ბევრი რამის განმეორებით მიღებაა, არ იქნებით მოწყალე აივ-დადებითი ადამიანების მიმართ. გაიმეორეთ იაკის შელოცვა, თუ ბედნიერება გაქვთ =)

იაკშტო ვექტორი იყოს აქ შორს ვექტორი ჩაიდანისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ ვექტორების შესახებ. მკითხველის მეტი მომზადებისთვის, ინფორმაციის ვიბრაციიდან შეგიძლიათ ისწავლოთ, ვეცდები მაქსიმალურად გავზარდო კონდახის კოლექცია, როგორც ხშირად ვიყენებ პრაქტიკული რობოტები

როგორ გავახარო? თუ პატარა ვარ, მაშინ შემიძლია ორი ტომრის ჟონგლირება და სამი ჩანთის შეფუთვა. ეს იყო სპონტანური. ჟონგლის ინფექცია არ მოხდება, ნამსხვრევები გამოჩნდება მხოლოდ ღია სივრცეების ვექტორი, და თვითმფრინავის ვექტორები ორი კოორდინატიდან გადადიან ზღვარზე. Რისთვის? ასეთია უკვე diii-ის დაბადება - ვექტორი და ტვ ვექტორის ცვლილება ტრივიალური სივრცის აღნიშვნაში. ისეთივე მარტივია!

მთელ ოპერაციაში, ასე მიდის, როგორც სკალარული შემოქმედების დროს, აიღე ბედი ორი ვექტორი... დაე არ იყოს ასოები.

ძალიან დია ნიშნავსნაბიჯ - ნაბიჯ:. იპოვეთ საუკეთესო ვარიანტები, ან თუნდაც ვექტორების ვექტორული ბრუნვის ხმა იმავე გზით, ჯვრიდან კვადრატულ თაღებზე.

Პირველ რიგში საზრდო: იაკშოში ვექტორების სკალარული შექმნაავიღოთ ორი ვექტორის ბედი, і იქ შეიძლება გამრავლდეს ორ ვექტორზე, todі რატომ ზრდა? Yavna ზრდა, persh ყველაფრისთვის, შედეგები:

სკალარული ვექტორების ვექტორების შედეგი є NUMBER:

ვექტორის ვექტორის შედეგი VECTOR:, ისე რომ ვექტორი გამრავლდეს და ვექტორი ცნობილი იყოს. დახურეთ კლუბი. ვლასნე, ოპერის სახელია. rіznіy-ზე საწყისი ლიტერატურა Poznachenya შეიძლება შეიცვალოს, მე vikoristovuvati წერილი.

ვექტორის შექმნის ღირებულება

იქნება სურათების მცირე არჩევანი, შემდეგ რამდენიმე კომენტარი.

ვიზნაჩენნია: ვექტორიანი ყველი არაკოლინარულივექტორი_ვ, აღება ამ შეკვეთიდანეწოდოს ვექტორი, დოვჟინარამდენად რიცხობრივად გზის პარალელოგრამის არეებიმოცემული ვექტორებით მოტივირებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორები, და კონიუგაციები ისე, რომ საფუძველი სწორად იყოს მოწყობილი:

ხელით აღებული, აქ ბევრი ფერია!

ასევე, შეგიძლიათ ნახოთ ეს სუტა მომენტები:

1) Vyhіdni ვექტორები, აღინიშნება წითელი ისრებით, viznenny-ით არა კოლინარული... კოლინარული ვექტორების მრავალფეროვნება აშკარად ჩანს.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად დადგენილი წესით: – "ა" გამრავლებული "ბაზე", და ჩი არ არის "be" to "a". მრავალი ვექტორის შედეგიє VECTOR, რაც ნიშნავს ლურჯ ფერს. თუ ვექტორი გამრავლებულია მორევის თანმიმდევრობით, შეგვიძლია გამოვყოთ რივნი მდედრისთვის და საპირისპირო სწორი ვექტორისთვის (ჟოლოს ფერი). სამართლიანი პარიტეტი .

3) ახლა შეცნობა ვექტორის შექმნის გეომეტრიული გველიდან. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის დოზა (ა, ასევე, ჟოლოს ვექტორის і) რიცხობრივად არის ვექტორებზე გამოწვეული პარალელოგრამის ფართობის ზომა. შავი ფერის დაჩრდილვის პატარა პატარა პარალელოგრამაზე.

შენიშვნა : სავარძელი є სქემატური, і, ბუნებრივია, ნომინალურია ვექტორული მიმატებისთვის და არა პარალელოგრამის ფართობისთვის.

გამოიცანით ერთ-ერთი გეომეტრიული ფორმულა: გზის პარალელოგრამის ფართობი მათ შორის კუტას სინუსზე შეჯამებული გვერდების დამატებამდე... ამისთვის, რაც ითქვა, DOVE ვექტორის გამოთვლის ფორმულა მოქმედებს:

მაინტერესებს არის თუ არა ფორმულა ვექტორის ჭეშმარიტების შესახებ და არა თავად ვექტორზე. რა პრაქტიკული მგელია? და აზრი ისეთია, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის თანამშრომლებმა ხშირად იციან პარალელოგრამის ფართობი ვექტორის შექმნის გაგებით:

მნიშვნელოვანი ფორმულა მეგობრისთვის. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​უნდა დაიყოს ორ თანაბარ ტრიციტად. Otzhe, სამ ველოსიპედის ფართობი, რომელიც გამოწვეულია ვექტორებით (წითელი დაჩრდილვა), შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულის მიღმა:

4) ის, რომ ველი არანაკლებ მნიშვნელოვანია, არის ის, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ასე რომ ... Zrozumіlo, საპირისპიროდ გასწორებული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია გამომავალი ვექტორების მიმართ.

5) უღლებათა ვექტორი so, scho საფუძველიმაє უფლება orієntаtsіyu. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლამე დავასრულე მოხსენებების მოხსენება orієntatsії ტერიტორიადა ერთდროულად ისინი თავისუფალნი არიან, ისევე როგორც სივრცის გახსნის თავისუფლება. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელები... იპოვნეთ რამდენიმე აზრი საჩვენებელი თითივექტორთან i შუა თითივექტორთან ერთად. ბეჭედი თითი და პატარახეობისკენ შეკუმშვა. Როგორც შედეგი ცერა თითი- ვექტორული ტელევიზორი გაოცებული იქნება გორაზე. Tse і є სამართლებრივი საფუძველი (ცოტა თავად). ახლა გაიხსენეთ ვექტორები ( შუა თითი) რამდენიმე წამში, შედეგად, დიდი თითი გაბრწყინდება და ვექტორული ტელევიზორი უკვე გაოგნდება ქვევით. წე ასევე არის სამართლებრივი საფუძველი. მოჟლივო, დიეტის ნაკლი გაქვს: რა საფუძველი აქვს ნაკლებ გაგებას? „მიიზიდე“ იმავე თითებზე მარცხენა ხელებივექტორი, lіviy საფუძვლის მორთვა და lіvu аrієntatsіyu სივრცე (tsyomu vipadku-ში დიდი თითი გაშლილია ქვედა ვექტორის მარჯვენა კიდეზე)... ფიგურალურად ჩანს, რომ ფუძეები „იგრიალდება“ ანუ გვერდების ირგვლივ სივრცე. პირველი გაგება არ ნიშნავს პატივი სცეს იმას, რასაც ჩვენ ვფიქრობთ, როგორც აბსტრაქტულად - ასე რომ, მაგალითად, ის არ არის სარკის შორეულ სამყაროში, რადგან ის ჰგავს „სარკედან საგნის დანახვას“, მაშინ ის არ არის სარკის შორეული ხედი გამოსვლამდე მიდით სარკესთან სამი თითით და გააანალიზეთ გამოსახულება ;-)

... იაკ, ბოლოს და ბოლოს, კარგია, ახლა თქვენ იცით ამის შესახებ უფლება- და lіvoorієntovanihბაზები, უფრო საშინელი vislovuvannya deyak ლექტორები აზროვნების ცვლილების შესახებ =)

კოლინარული ვექტორების ვექტორული ტრიალი

მოხსენების თარიღი არჩეულია, ის ძალიან დიდ პრობლემად იქცა, მისი ნახვა შესაძლებელია, თუ არის კოლინარული ვექტორები. ვინაიდან ვექტორი კოლინარულია, შესაძლებელია მისი გაფართოება ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი შეიძლება „დაკეცოს“ ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არე, როგორც ჩანს მათემატიკა, ვიროგენიპარალელოგრამი ნულამდე. ეს არის ნულის სინუსი ან 180 გრადუსი ნულის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია

ასეთი წოდება, იაკშო, მაშინ і ... მხეცური პატივისცემა, რომ ვექტორი თავისთავად შეეფერება ნულოვან ვექტორს, მაგრამ პრაქტიკაში ხშირად უღირსია და დაწერე, რომ ნულამდეც ძვირია.

Okremium vipadok - ვექტორის დამატება თავის თავზე:

დამატებითი ვექტორის შესაქმნელად, შეგიძლიათ შეცვალოთ ტრივიალური ვექტორების რაოდენობა და შუალედური ვექტორების დაყენების პროცესი თავისუფლად შეირჩეს.

პრაქტიკული გამოყენებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ტრიგონომეტრიული ცხრილიშობმა იცის სინუსების ღირებულებები.

კარგად, კარგად, rozpalyєmo ცეცხლი:

კონდახი 1

ა) იცოდე ვექტორის ვექტორის გენიალურობა

ბ) იცოდე ვექტორებზე გამოწვეული პარალელოგრამის ფართობი, თუ

გადაწყვეტილება: გამარჯობა, ეს არ არის დრუკარსკა პომილკა, გონების წერტილებში vikhіdnі danі, მე ნავმინო იგივე გავტეხე. ამიტომ გამოვა დიზაინის გადაწყვეტილება!

ა) გონებისთვის ცოდნაა საჭირო სადილზევექტორი (ვექტორი შექმნა). ზოგადი ფორმულისთვის:

ხედი:

ვახშამი რომ ამოვიკვნესე, მაშინ ეტყობა ზომა ერთია.

ბ) გონებისთვის აუცილებელია იცოდე ფართობივექტორებზე გამოწვეული პარალელოგრამა. მოცემული პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად მნიშვნელოვანია ვექტორის მიმატებისთვის:

ხედი:

მხეცური პატივისცემა, კარგი, ვექტორული ტელევიზორის ამბები არ ცდება, ყელში გვქონდა ფიგურების ტერიტორიებიზომის მიხედვით - კვადრატული ერთეული.

გაოცდით, უნდა იცოდეთ რა დგას გონების უკან და გამოდით ფორმულიდან ნათელიხედი. თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ლიტერალიზმით, ალე ასოები გამარჯვების გამარჯვების შუაში და კარგი შანსებით მიმართოთ მოწონებას. თუ ხრიკი არ არის განსაკუთრებით დაძაბული - თუ ის არასწორია, მაშინ მტრობაა, მაგრამ ბიჭს წინააღმდეგი არ არის მარტივი გამოსვლებირომ არ ჩაწვდა ზავდანნიას არსს. მთელი ის მომენტი, როდესაც თქვენ გჭირდებათ კონტროლის მორთვა, დარწმუნდით, რომ ისწავლეთ მთელი მათემატიკიდან და სხვა საგნებიდან, როგორიცაა.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში, გადაწყვეტილების მიღებამდე შესაძლებელია პუნქტის დაცვა, თუნდაც სწრაფი ნოტით, მე არ ვარ გატეხილი. მე გამხნევებული ვარ, მთელი გონიერებით, ეს არის ერთი და იგივეს მნიშვნელობა.

პოპულარული უკანალი თვითგამორკვევისთვის:

კონდახი 2

იცოდე ვექტორებით ამოძრავებული ტრიციკლის ფართობი, იაკშო

ტრიციკლის ფართობის განსაზღვრის ფორმულა ვექტორის დამატების თვალსაზრისით მოცემულია თარიღის კომენტარებში. გადაწყვეტილება და წინადადება გაკვეთილზე.

პრაქტიკულ დონეზე, ბაზრობა უფრო ფართოა, ტრიციტები შეიძლება დაეცეს.

უახლესი ამბებისთვის ჩვენ ვიცით:

ვექტორის შექმნის ვექტორების ძალა

ვექტორის შექმნის ძალის დეიაკი უკვე დაათვალიერეს, ჩამოვთვლი მთელ ჩამონათვალს.

ვექტორების სამართლიანი რაოდენობისთვის და სამართლიანი რიცხვისთვის, შემდეგი ხარისხები მართალია:

1) მათ საინფორმაციო ძერელებში აზრს ვერ ხედავენ ხელისუფლება, მაგრამ უფრო მნიშვნელოვანია პრაქტიკული გეგმისთვის. ასევე, არ ინერვიულო.

2) - ამავე სახელწოდების ძალა ანტიკომუტაციური... როგორც ჩანს, ვექტორების თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია.

3) - კარგ აბოსთან ასოციაციურივექტორული პრაცის კანონები. კონსტანტს არ აქვს პრობლემა ვექტორის შექმნის საზღვრებში. მართლა, ვინ არის?

4) - როზპოდილნი აბო განაწილებავექტორული პრაცის კანონები. ასევე არ არის პრობლემა ტაძრების გახსნასთან დაკავშირებით.

დემონსტრაციისთვის ვაჩვენებ მოკლე კონდახს:

კონდახი 3

იცოდე იაკშო

გადაწყვეტილება:ჭკვიანური ცოდნისთვის აუცილებელია ვექტორული ხელოვნების ოდენობის ცოდნა. აღწერეთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ბრალი მუდმივია ვექტორის შექმნის მიღმა.

(2) ჩვენ ვართ დამნაშავე მოდულს შორის მუდმივობაში, "მინუს" ნიშანს აქვს თავისი მოდული "z'ydag". დოვჟინა შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) უფრო შორს.

ხედი:

დროა ცეცხლთან შეშა დავყაროთ:

კონდახი 4

გამოთვალეთ ტრიციკლის ფართობი, რომელსაც ამოძრავებს ვექტორები, იაკშო

გადაწყვეტილება: ტრიციკლის ფართობი ცნობილია ფორმულით ... მთავარი ის არის, რომ ვექტორი "ცე" და "დე" თავად წარმოდგენილია როგორც ვექტორების ჯამი. ალგორითმი აქ არის სტანდარტული і chimos nagaduє კონდახი No3 და 4 გაკვეთილი სკალარული დანამატის ვექტორები... სიცხადისთვის გამოსავალი არის rosib'єmo სამ ეტაპად:

1) პირველ მცირე მასშტაბში, ვექტორი ტვირი ვექტორის ტვირში, დღისით, ვირასიმოს ვექტორი ვექტორის მეშვეობით... სიტყვა არ დატოვოთ დოჟინის შესახებ!

(1) შემოიღეთ ვექტორი ვირაზი.

(2) ვიკორისტოვუჩის სადისტრიბუციო კანონები, ხელები ღიაა მრავალრიცხოვანი შეცდომების წესისთვის.

(3) ვიკორისტოვუჩის ასოციაციური კანონები, ადანაშაულებენ ყველა მუდმივობას ვექტორთაშორის შემოქმედებაში. მცირე რაოდენობით ინფორმაციის 2-დან 3-მდე შეგიძლიათ ეწვიოთ ერთ საათს.

(4) ძალაუფლების მიღების დადგენის პირველი და ბოლო დამატება ნულოვანი (ნულოვანი ვექტორი). ვიკორისტის მეორე მხარეს აქვს ვექტორის შექმნის ანტიკომუტატიურობის ძალა:

(5) ალბათ ცოტა ზედმეტი.

შედეგად, ვექტორი ჩნდება ვექტორის მეშვეობით, რომელსაც უნდა მიაღწიოს:

2) მეორე ეტაპზე ჩვენ ვიცით ვექტორის შექმნის რაოდენობა, რომელიც გვჭირდება. Tsya diya nagaduє დანართი 3:

3) ჩვენ ვიცით შუკანის ტრიციკლის ფართობი:

ნაბიჯი 2-3 გადაწყვეტილებები შეიძლება გაიცეს ერთ რიგში.

ხედი:

გადახედეთ ფართო სპექტრს სამართავი რობოტები, ღერძის კონდახი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

კონდახი 5

იცოდე იაკშო

მოკლე გადაწყვეტა და გაკვეთილის შეჯამება. გასაკვირია, რომ მათ წინ ბევრი პატივსაცემი უკანალი გვაქვს ;-)

ვექტორების ვექტორი კოორდინატებში

მოცემულია ორთონორმალურ საფუძველზე, შეცვალეთ ფორმულა:

ფორმულა მარტივია: ფორმატირების ხელსაწყოს ზედა მწკრივზე იწერება კოორდინატთა ვექტორები, მეორეზე და მესამე სტრიქონებზე იწერება ვექტორების კოორდინატები და წვლილი არის აქვს მკაცრი ბრძანება- ავიღებ ვექტორის „ვე“ კოორდინატებს, შემდეგ ვექტორის „ორმაგი-ვეს“ კოორდინატებს. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს იმავე თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა დაიმახსოვრონ თაგვებში:

კონდახი 10

გადახედე, სადაც კოლინარი იქნება უზარმაზარობისკენ მიმავალ გზაზე:
ა)
ბ)

გადაწყვეტილება: გადასინჯვა ეფუძნება გაკვეთილზე მიცემულ ერთ-ერთ ინსტრუქციას: თუ ვექტორი კოლინარულია, მაშინ ვექტორული დანამატი გადადის ნულზე (ნულოვან ვექტორზე): .

ა) ჩვენ ვიცით ვექტორი tvir:

ასეთ რანგში ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) ვიცით ვექტორი tvir:

ხედი: ა) არა კოლინარული, ბ)

ღერძი, მაბუტი და ყველა ძირითადი ხედვა ვექტორული დანამატის ვექტორების შესახებ.

Daniy იქნება არანაკლებ დიდი, oskіlki zavdan, de vikoristovutsya zmіshane tvіr ვექტორები, nebagato. სინამდვილეში, ყველაფერი ჯდება მნიშვნელობაში, გეომეტრიულ ცვლილებაში და რამდენიმე სამუშაო ფორმულაში.

Zm_shaniy tvir vectors - ცე ტვირი სამი ვექტორი:

ღერძი ლოკომოტივივით სუნავს და ამოწმებს, არ კვდება, თუ დათვლილია.

შეამოწმეთ შემდეგი სურათი:

ვიზნაჩენნია: ზმიშანიმის ყველი არათანაბარივექტორი_ვ, აღება ამ შეკვეთიდან, ეძახიან ob'єm პარალელეპიპედა, მოწოდებული მოცემულ ვექტორებზე, ნიშნით "+", რომელიც არის წესების საფუძველი და ნიშანი "-", რომელიც არის ხაზების საფუძველი.

Viconaєmo ჩვილი. ხაზები ჩვენთვის უხილავია წერტილოვანი ხაზით:

Porinaєmo at viznachennya:

2) ვექტორები აღებულია სიმღერის შეკვეთა, რათა არსებაში ვექტორების გადალაგება, როგორც გნებავთ, მემკვიდრეობის გარეშე არ მოგიტანოთ.

3) ტიმამდე იაკ პროკომენუვატი გეომეტრიული zm_st ვგულისხმობ აშკარა ფაქტი: ვექტორების ცვლილება є NUMBER:. ლიტერატურის დასაწყისში დიზაინის გაკეთება ძალიან ხშირად შეიძლება, მე ჟღერს, რომ ტვირის მნიშვნელობა გავიგო და შედეგი ინომრება ასო „ნე“-ში.

იყიდება viznachennyam შეცვლა ტვირ - ცე ობსიაგ პარალელეპიპედა, მოწოდებულია ვექტორებზე (ფიგურა დაფარულია წითელი ვექტორებითა და შავი ფერის ხაზებით). ეს არის ბოლო დროის მოცემული პარალელეპიპედის რიცხვი.

შენიშვნა : სავარძელი є სქემატური.

4) ჩვენ არ ვიცით როგორ ავიდეთ საფუძვლისა და სივრცის გაგებით. ფინალური ნაწილის გრძნობა, ვისაც შეუძლია დებატებს მინუსის ნიშანი მისცეს. მარტივი სიტყვებით, ტვირის ცვლილება შეიძლება იყოს უარყოფითი:.

Bezposeredno-ს შემდეგი მნიშვნელობა არის ვექტორებზე მოთხოვნილი პარალელეპიპედის რაოდენობის გამოსათვლელი ფორმულა.