Трикутник - це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже у початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр під час уроків геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі цієї фігури можна назвати? У цій статті ми розглянемо основні формули, необхідні виконання такого завдання, і навіть розберемо види трикутників.

Види трикутників

Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів належать:

• Тупокутний.
• Рівносторонній (правильний).
• Прямокутний трикутник.
• Рівностегновий.

Розглянемо докладніше кожен із існуючих типів трикутників.

Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною під час вирішення геометричних завдань. Коли виникає необхідність накреслити будь-який трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.

У гострокутному трикутнику, як відомо за назвою, всі кути гострі й у сумі становлять 180°.

Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти елементи, що залишилися) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус – це негативне число.

У величина одного з кутів перевищує 90°, тому два кути, що залишилися, можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15° або зовсім 3°).

Щоб знайти площу трикутника цього типу, необхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.

Правильний та рівнобедрений трикутники

Правильним багатокутником називається фігура, що включає n кутів, у якої всі сторони і кути рівні. Таким є правильний трикутник. Оскільки сума всіх кутів трикутника становить 180°, кожен із трьох кутів дорівнює 60°.

Правильний трикутник завдяки його властивості також називають рівносторонньою фігурою.

Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати лише одне коло і біля нього можна описати лише одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.

Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, який несильно від нього відрізняється. У такому трикутнику дві сторони та два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є основою.

На малюнку показано рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є основою.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник названий так тому, що один із його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші два кути в сумі становлять 90°.

Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, решта двох його сторін - це катети. Для цього типу трикутників застосовна теорема Піфагора:

Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC та катетами AB та BC.

Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значення його катетів.

Перейдемо до формул знаходження площі цієї фігури.

Основні формули знаходження площі

У геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупокутного, правильного та рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.

Збоку та висоті

Дана формула є універсальною для знаходження площі, яку ми розглядаємо фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони та довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твору основи на висоту) виглядає так:

де A – сторона даного трикутника, а H – висота трикутника.

Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити значення, що вийшло, на два.

Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника у такий спосіб. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупокутного трикутника необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.

Насправді ця формула застосовується частіше за інших.

По обидва боки і кут

Дана формула, як і попередня, підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто формулу, що розглядається, можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:

S = ½*sinO*A*B,

де A і B – це сторони трикутника, а O – кут між сторонами A та B.

Нагадаємо, що синус кута можна подивитися у спеціальній таблиці, названій на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.

А тепер перейдемо до інших формул, які підходять лише для виняткових видів трикутників.

Площа прямокутного трикутника

Крім універсальної формули, що включає необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти по його катетах.

Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твору його катетів, або:

де a та b - катети прямокутного трикутника.

Правильний трикутник

Даний вид геометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (оскільки всі сторони правильного трикутника рівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися такою формулою:

S = A 2 *√3/4,

де A – це сторона рівностороннього трикутника.

Формула Герону

Останній варіант для знаходження площі трикутника – це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:

S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),

де a, b і c – це сторони цього трикутника.

Іноді завдання дано: «площа правильного трикутника - знайти довжину його боку». В даному випадку потрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника та вивести з неї значення сторони (або її квадрата):

A 2 = 4S/√3.

Екзаменаційні завдання

У завданнях ДПА з математики зустрічається безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на папері.

В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулою для знаходження площі:

Отже, після вивчення наведених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.

Метод координат, запропонований у XVII столітті французькими математиками Р. Декартом (1596-1650) та П. Ферма (1601-1665), є потужним апаратом, що дозволяє перекладати геометричні поняття алгебраїчною мовою. В основі цього методу лежить поняття – система координат. Ми розглядатимемо обчислення площі багатокутника за координатами його вершин у прямокутній системі координат.

Площа трикутника

Теорема 1. Якщо - площа трикутника

то справедлива рівність

називатимемо визначником площі трикутника.

Доведення. Нехай вершини трикутника розташовані у першій координатній чверті. Можливі два випадки.

Випадок 1. Напрямок (або, або) розташування вершин трикутника збігається з напрямком руху кінця годинникової стрілки (рис. 1.30).

Бо постать – трапеція.

Аналогічно вважаємо, що

Виконавши перетворення алгебри

отримаємо, що:

У рівності (1.9) визначник площі, тому перед виразом стоїть знак «мінус», оскільки.

Покажемо, що. Справді, тут

(Площа прямокутника з основою і висотою більше суми площ прямокутників з основами, і висотами, ; (рис. 1.30), звідки

Випадок 2. Зазначені напрямки у разі 1 протилежні напрямку руху кінця годинникової стрілки (рис. 1.31)

тому що фігура - трапеція, а

де. Справді, тут

Теорема доведена, коли вершини трикутника розташовані у першій координатній чверті.

Скориставшись поняттям модуля, рівності (1.9) та (1.10) можна записати так:

Зауваження 1. Ми вивели формулу (1.8), розглядаючи найпростіше розташування вершин, зображене на рисунках 1.30 та 1.31; однак формула (1.8) вірна за будь-якого розташування вершин.

Розглянемо випадок, зображений малюнку 1.32.

Тому, виконавши нескладні геометричні перетворення:

отримаємо знову, що, де

Площа n-кутника

Багатокутник може бути опуклим або неопуклим, порядок нумерації вершин вважається негативним, якщо вершини нумеруються у напрямку руху кінця годинникової стрілки. Багатокутник, який не має самоперетину сторін, називатимемо простим. Для простого саме n-кутника справедлива наступна

Теорема 2. Якщо - площа простого n-кутника, де, то справедлива рівність

будемо називати визначником площі простого n-кутника.

Доведення. Можливі два випадки.

Випадок 1. n-кутник - опуклий. Доведемо формулу (1.11) методом математичної індукції.

Для неї вже доведена (теорема 1). Припустимо, що вона справедлива для n-кутника; доведемо, що вона залишається справедливою і для опуклого ( n+1)-кутника.

Додамо до багатокутника ще одну вершину (рис. 133).

Таким чином, формула справедлива для ( n+1)-кутника, і, отже, умови математичної індукції виконані, тобто формула (1.11) для випадку опуклого n-кутника доведено.

Випадок 2. n-кутник - неопуклий.

У будь-якому невипуклім n-кутник можна провести діагональ, що лежить всередині нього, і тому доказ випадку 2 для неопуклого n-кутника аналогічна доказу для опуклого n-кутника.

Зауваження 2. Вирази запам'ятовуються нелегко. Тому для обчислення його значень зручно виписати в стовпець координати першої, другої, третьої, …, n-й і знову перших вершин n-кутника та провести множення за схемою:

Знаки у стовпці (1.12) треба розставити так, як зазначено у схемі (1.13).

Примітка 3. При складанні стовпця (1.12) для трикутника можна розпочати з будь-якої вершини.

Примітка 4. При складанні стовпця (1.12) для n-кутника () необхідно дотримуватися послідовності виписування координат вершин n-кутника (з якої вершини починати обхід байдуже). Тому обчислення площі n-кутника слід починати з побудови «грубого» креслення